线性微分方程组gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba线性微分方程组gydF4y2Ba是一套gydF4y2Ba线性方程gydF4y2Ba把一组函数与其导数联系起来的。因为它们涉及到函数及其导数，每一个线性方程本身都是agydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba．例如,gydF4y2Ba $f (x) = f (x) + g (x)gydF4y2Ba$线性方程有关系吗gydF4y2Ba $f 'gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $成品ydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$,但gydF4y2Ba $f ' = fggydF4y2Ba$不是，因为gydF4y2Ba $成品gydF4y2Ba$期限不是线性的。这些方程可以通过把它们代入来求解gydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba形式，然后把它们当作标准微分方程来处理。gydF4y2Ba

微分方程组可以用来为各种物理系统建模，比如捕食者-被捕食者之间的相互作用，但线性系统是唯一可以一致明确求解的系统。gydF4y2Ba

给出一个线性微分方程组的形式gydF4y2Ba

$f \开始{对齐}' (x) & =现代{11}f (x) + \ cdots +现代{1 n} fn (x) \ \₂”(x) & =现代{21}f (x) + \ cdots +现代{2 n} fn (x) \ \ & \ vdots \ \ fn ' (x) & =现代{n1} f (x) + \ cdots +现代{nn} fn (x) \ \ \{对齐}结束gydF4y2Ba$

如果将这个系统重写为，那么它是最容易使用的gydF4y2Ba $v ' = AvgydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $左v = \ [\ f开始{数组}{c} \ \ \ vdots数组{}\ \ \ fn \端]{和}\ \四\文本左四= \[开始\{数组}{ccc}现代{11}& \ cdots&a_ {1 n} \ \ \ vdots& \ ddots& \ vdots \ \现代{n1} & \ cdots&a_ {nn}{数组}\ \端)。gydF4y2Ba$现在,gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$方程式被简化为一个方程式，这样更容易处理。gydF4y2Ba

因为这个矩阵gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$方程是常数吗gydF4y2Ba $v ' = AvgydF4y2Ba$类似的方程gydF4y2Ba $f ' = cfgydF4y2Ba$．后一个方程有解gydF4y2Ba $f = Ce ^{残雪}gydF4y2Ba$，所以很容易猜测这个方程的解也包含指数。这个猜想是正确的:这个方程的解是gydF4y2Ba $v (x) = e ^ {Ax} v (0)gydF4y2Ba$，我们定义gydF4y2Ba $e ^ = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{^ n} {n !} =我+ + \压裂{^ 2}{2}+ \压裂{^ 3}{6}+ \ cdots,gydF4y2Ba$使用gydF4y2Ba幂级数gydF4y2Ba为gydF4y2Ba指数函数gydF4y2Ba．这个事实可以通过对幂级数求导得到验证。gydF4y2Ba

解微分方程组gydF4y2Ba $f (x) = g (x)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g’(x) = f (x)gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $f (0) = 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g (0) = 1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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在矩阵形式中，这个系统是gydF4y2Ba $左\[开始\{数组}{c} f \ \ g \结束数组{}\右]' = \ underbrace左{\[开始\{数组}{cc} 0 & 1 \ \ 1四维\结束数组{}\]}_ {}\ underbrace左{\[开始\{数组}{c} f \ \ g \结束数组{}\右]}_ {v}。gydF4y2Ba$还需要计算gydF4y2Ba $e ^ {Ax}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

如果我们计算一个小的幂gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，我们发现gydF4y2Ba $一个^ {2 n} =我gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $一个^ {2 n + 1} =gydF4y2Ba$即偶次幂是单位数奇次幂是单位数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．然后,gydF4y2Ba $e ^ {Ax} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(Ax) ^ n} {n !} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(Ax) ^ {2 n}} {(2 n) !} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{(Ax) ^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !} = A \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{x ^ {2 n}} {(2 n) !} + I \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \压裂{x ^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !}。gydF4y2Ba$现在，我们可以把这两个和看成gydF4y2Ba泰勒级数gydF4y2Ba为gydF4y2Ba双曲正弦gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba双曲余弦gydF4y2Ba，所以我们有gydF4y2Ba $e^{Ax}=A\sinh x+I\cosh x=\left[\begin{array}{cc} \cosh x&\ sinh x\\ \sinh x&\cosh x\end{array}\right]。gydF4y2Ba$最后,我们发现gydF4y2Ba $v e (x) = ^ {Ax}左v(0) = \[开始\{数组}{cc} \ cosh x \ sinh x \ \ \ sinh x \ cosh x \结束数组{}\]\离开[\ 0开始{数组}{c} \ \ 1 \结束数组{}\]左= \[开始\{数组}{c} \ sinh x \ \ \ cosh x \结束数组{}\],gydF4y2Ba$所以解是gydF4y2Ba $f (x) = \ sinh xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g (x) = \ cosh xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba