一阶线性微分方程

一个一阶线性微分方程是一个微分方程形式 $y ' + p (x) y = (x)$．方程的左边看起来很像乘法法则所以我们解这个方程的方法是两边同时乘以一个因子使得方程左边正好是乘法法则的结果，然后积分。这个因子称为积分因子。

一阶线性微分方程是唯一可以解的微分方程，即使是变系数的——几乎所有其他类型的方程都要求系数是常数，这使得这类微分方程成为最广泛的一类。

积分因子是一个函数 $f (x)$等式两边同时乘以，

$\{对齐}开始f (x)左\ [y ' + p (x) y \] & = f (x) q (x) \ \ \ \ f (x) y ' + f (x) p (x) y & = f (x) q (x),结束\{对齐}$

在左边给出了一个表达式可以用反乘积法则积分。换句话说，它是满足以下条件的函数:

$\{对齐}开始f (x) y ' + f (x) p (x) y & = f (x) y ' + f (x)左int y \ \ \ \ \ \ [f (x) y ' + f (x) p (x) y \] \ dx & y = f (x) + C \{对齐}结束$

这意味着函数 $f$应该满足 $f (x) = f (x) p (x)$，也就是可分离变量的微分方程．这个可以解为

$\开始{对齐}\压裂{f (x)} {f (x)} \, dx = p (x) \, dx & \意味着\ int \压裂{f (x)} {f (x)} \, dx = \ int p (x) \, dx \\ \\ & \ 意味着\ ln | f (x) | = \ int p (x) \, dx \ \ \ \ & \意味着f (x) ={\大型e} ^ {\ int p (x) \, dx}。结束\{对齐}$

这是解一阶线性微分方程所需要的积分因子。

有了积分因子，方程的求解就相对简单了。

解微分方程 $y ' e + e ^ xy = ^ x$．

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在这里, $p (x) = x (x) = e ^$．积分因子是 $e ^ {\ int x \ e ^, dx} = e ^ {e x ^}。$注意，我们省略了积分常数，因为它只会产生方程的一个移位解。两边同时乘以 $e ^ {e x ^}$得到 $e ^ y {e x ^} ' + e ^ {e x ^} e ^ xy = e ^ xe ^ {e x ^} \意味着\离开[e ^ {e x ^} y \]”= e ^ xe ^ {e x ^},$两边积分得到 $e ^ {e x ^} e ^ y = {e x ^} + C \意味着y = Ce ^ {x} - e ^ + 1。$

解决 $e^{2x}， \quad y(0) = 3$

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$v (x) = e ^ {3} \ Rightarrow e ^ {3} \ dfrac {dy} {dx} - 3 e ^ {3} e ^ y = {- x} \ Rightarrow$ $d \ dfrac {} {dx} \离开(e ^ y{3} \右)= e ^ {- x} \ Rightarrow$ $e ^ y = {3} - e ^ {- x} + C \ Rightarrow y (x) = Ce ^ {3} - e ^ {2 x}$沿着条件 $y (0) = 3$我们得到了 $C = 4$函数是 $Y (x) = 4e^{3x} - e^{2x}$

解决 $\{病例}开始泰' + t + 1 (2) y = te ^ t} {2, t \四\ [1 \ infty) \ \ y(1) = 0 \{病例}结束$

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$e^{-2t} \右tarrow v(t) = te^{2t} \右tarrow {d}{dt} (te^{2t}y) = t \右tarrow$ $y (t) = \压裂{1}{t} e ^ {2 t} \离开(\压裂{t ^ 2} {2} + C \右),y(1) = 0 \ \四Rightarrow C = \压裂{1}{2}\ Rightarrow$ $y（t）= \ frac {1} {2} \ left（t - \ frac {1} {t} \ rick）e ^ { - 2t}$

许多物理系统可以用一阶线性微分方程来描述。

假设有一个由开关、电池、电阻器和电感串联而成的电路。电池产生45伏的电压和电流 $我(t$安培时 $t$．电阻器是 $9$欧姆电阻和电感有一个电感 $3.$用。如果开关最初是闭合的，那么在开关打开后很长一段时间内电路中的电流是多少?

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欧姆定律说，电阻引起的电压降是 $9我(t)$伏特。电感的电压降为 $3我（t）$．基尔霍夫定律说电压降之和等于供给电压，所以我们发现 $3 I ' (t) + 9 (t) = 45 \意味着我(t) + 3 (t) = 15。$整合因子是 $e ^ {3 \ \ int, dt} = e ^ {3 t}$，乘以这个就得到 $我(t) e ^ {3 t} + 3 e ^ {3 t}我(t) = 15 e ^ {3 t} \意味着\离开我(t) e ^ {3 t} \右]' = 15 e ^ {3 t} \意味着我(t) e ^ {3 t} = 5 e ^ {3 t} + C \意味着我(t) = Ce ^ {3 t} + 5。$作为 $t \ \ infty$，我们可以看到 $我(t) \ 5$，所以长时间后的电流是5安培。