可分离变量的微分方程GyD.F4.y2Ba

一种GyD.F4.y2Ba可分离微分方程GyD.F4.y2Ba是一种常见的那种GyD.F4.y2Ba微分方程GyD.F4.y2Ba这个问题特别容易解决。可分离方程有这种形式GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = F（X）克（y）的GyD.F4.y2Ba$，和被称为可分离的，因为变量GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$可以被带到方程的相对侧。然后，GyD.F4.y2Ba整合GyD.F4.y2Ba双方给出GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$作为一个函数GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$，求解微分方程。因为它们可以用来了解化学反应的速率，人口等诸多物理系统的增加，弹丸的运动，可分微分方程是有用的。GyD.F4.y2Ba

解可分离变量方程的思路是把变量移到相对的两边，然后积分。在这个过程中，我们处理了导数GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4.y2Ba$像的一部分，这是在这种情况下（尽管它不是一般的）有效的操纵。GyD.F4.y2Ba

解微分方程GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = XYGyD.F4.y2Ba$，与初始状态GyD.F4.y2Ba $Y（0）= 3GyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

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我们可以重新安排这个方程GyD.F4.y2Ba $\压裂{1} {Y} \，DY = X \，DX，GyD.F4.y2Ba$治疗GyD.F4.y2Ba $DX.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $dyGyD.F4.y2Ba$作为变量。然后，两边积分，得到GyD.F4.y2Ba $\ INT \压裂{1} {Y} \，DY = \ INT X \，DX \意味着\ LN | Y | = \压裂{X ^ 2} {2} + C \意味着Y =铈^ {X ^ 2/ 2}。GyD.F4.y2Ba$在初始状态下给堵GyD.F4.y2Ba $C = 3GyD.F4.y2Ba$，因此该解决方案对我们的方程GyD.F4.y2Ba $Y = 3E ^ {X ^ 2/2}GyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

在一般情况下，关键是要重新安排GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = F（X）克（y）的GyD.F4.y2Ba$进入GyD.F4.y2Ba $\压裂{1} {克（Y）} \，DY = F（X）\，DX，GyD.F4.y2Ba$然后整合。然而，有时可能很难识别功能GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $GGyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

解微分方程GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = XY + XGyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

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我们必须因素右侧;这给了GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = X（Y + 1）\意味着\压裂{1} {Y + 1} = X \，DX \意味着\ LN | Y + 1 | = \压裂{X ^ 2} {2} + C \，DX \意味着Y =铈^ {X ^ 2/2} -1，GyD.F4.y2Ba$这是解决我们的方程。GyD.F4.y2Ba

有时，它甚至不是必要的变量分离。GyD.F4.y2Ba

找GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$按照GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $\frac {dy}{dx} = frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $Y（4）= 2。GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba $\ BEGIN {对齐} \压裂{DY} {DX}＆= \压裂{X} {\ SQRT {X ^ 2 + 9}} \\ DY＆= \压裂{X} {\ SQRT {X ^ 2 + 9}} DX \\？\ INT DY＆= \ INT \压裂{X} {\ SQRT {X ^ 2 + 9}} DX \\ Y'= \ SQRT {X ^ 2 + 9} + C。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

替换GyD.F4.y2Ba $Y（4）= 2GyD.F4.y2Ba$给GyD.F4.y2Ba

$2 = \ SQRT {4 ^ 2 + 9} + C = 5 + C \ RIGHTARROW C = -3，GyD.F4.y2Ba$

因此，我们的答案是GyD.F4.y2Ba

$Y = \ SQRT {X ^ 2 + 9} -3-。\ _ \方GyD.F4.y2Ba$

如果GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {DX} = Y ^ 2 + 2GyD.F4.y2Ba$， 表达GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$按照GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

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乘以双方GyD.F4.y2Ba ${} DXGyD.F4.y2Ba$并通过将双方GyD.F4.y2Ba ${Y ^ 2 + 2}GyD.F4.y2Ba$我们得到：GyD.F4.y2Ba $\压裂{DY} {Y ^ 2 + 2} = {} DX。GyD.F4.y2Ba$以双方的积分产生GyD.F4.y2Ba $\ INT \压裂{DY} {Y ^ 2 + 2} = \ INT {DX}，GyD.F4.y2Ba$现在变为：如果我们整合：GyD.F4.y2Ba $\ dfrac {\ sqrt{2}}{2} \反正切{\离开(\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} y \右)}= x + c。GyD.F4.y2Ba$现在，我们可以重新获得：GyD.F4.y2Ba $Y = \ SQRT2 \黄褐色（\ SQRT2（X + C））。GyD.F4.y2Ba$

简化微分方程GyD.F4.y2Ba $X ^ 2 \ dfrac {DY} {DX} = \ dfrac {X ^ 2 + 1} {3Y ^ 2 + 1}。GyD.F4.y2Ba$

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我们有GyD.F4.y2Ba $\{对齐}开始x ^ 2 \压裂{dy} {dx} & = \压裂{x ^ 2 + 1} {3 y ^ 2 + 1} \ \ (3 y ^ 2 + 1) dy = \离开(1 + \压裂{1}{x ^ 2} \右)dx \ \ \ int y ^ 2 + 1 (3) dy = \ int \离开(1 + \压裂{1}{x ^ 2} \右)dx \ \ \ Rightarrow y ^ 3 + y = x - \压裂{1}{x} + C \{对齐}结束GyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$是积分常数。GyD.F4.y2Ba $_\正方形GyD.F4.y2Ba$

涉及可分离微分方程的许多问题是字的问题。这些问题需要翻译声明成微分方程的额外步骤。GyD.F4.y2Ba

当读取一个涉及函数及其衍生物的一个句子，它会产生一个微分方程重要的是要提取正确含义。关键是要寻找喜欢“变化率”的短语，因为它们表明，有一个衍生参与。事实上，术语“衍生物”和短语“变化率”是同义的，所以这些应该构建一个差分方程模型的一个字问题时要牢记这一点。GyD.F4.y2Ba

我们怎样才能写出一个微分方程的形式，下面的句子？GyD.F4.y2Ba

• 细菌群体的生长速率是直接正比于电流的细菌群体。GyD.F4.y2Ba

• 对象的温度的变化率成正比的对象的当前温度的差和周围环境的温度。GyD.F4.y2Ba

• 一个物体在自由落体中所感受到的力是它的重量和阻力的差值，其中阻力与物体的当前速度成正比。GyD.F4.y2Ba

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• 当我们阅读句子时，我们在寻找有数学意义的单词或短语。例如，短语“细菌种群的增长率”是一组词，可以简单地表示为GyD.F4.y2Ba $\压裂{的dP} {} dt的GyD.F4.y2Ba$。当我们看到“成正比”，这告诉我们引入比例常数，通常GyD.F4.y2Ba $公斤yD.F4.y2Ba$。此外，这样的速度是成正比的“当前细菌总数”，这意味着我们需要引入GyD.F4.y2Ba $P.GyD.F4.y2Ba$这里。为了将其结合在一起，这两件由一个“=”因为这个词的“是”链接。这给了GyD.F4.y2Ba $\ underbrace {\文本{细菌种群的生长}的速率} _ {\压裂{的dP} {dt的}} \ underbrace {\文本{是}} _ {=} \ underbrace {\文本{成正比}}_ {K} \ underbrace {\文本{到当前细菌种群}} _ {P}。GyD.F4.y2Ba$

• 这是GyD.F4.y2Ba $\ underbrace {\ stackrel {\文本{的变化}的速率} {\文本{对象的温度}}} _ {\ dfrac {的dT} {DT}} \ underbrace {\文本{是}} _ {\大{=} } \underbrace{ \text{ directly proportional }}_{\Large{k}} \underbrace{ \stackrel{ \text{ to the difference of the object's current temperature}}{\text{ and the temperature of the surrounding environment. }}} _{\Large{(T - T_{a} )} }$

• 这成为GyD.F4.y2Ba $\ underbrace {\文本{在自由下落通过对象感受到的力}} _ {F} \ underbrace {\文本{是}} _ {=} \ underbrace {\文本{是其重量和拖曳力的差。}} _ {毫克 - BV}GyD.F4.y2Ba$
  

一旦一个单词的问题已经被写成微分方程，它可以使用上一节的方法来解决。GyD.F4.y2Ba

的速率在流动空气的物质冷却时正比于物质的温度之间，并使得空气的差异。如果空气的温度为GyD.F4.y2Ba $290 \文本{K}GyD.F4.y2Ba$从物质库尔斯GyD.F4.y2Ba $370 \文本{K}GyD.F4.y2Ba$到GyD.F4.y2Ba $330 \文字{K}GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $10 \文本{分钟}，GyD.F4.y2Ba$当将所述物质的温度变得GyD.F4.y2Ba $295 \文字{K}？GyD.F4.y2Ba$

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让GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$表示温度，GyD.F4.y2Ba $T_ {0}GyD.F4.y2Ba$初始温度，和GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$的时间，所以我们有GyD.F4.y2Ba

$\ underbrace {\文本{的速率物质冷却时}} _ {\巨大{ - \压裂{的dT} {dt的}}} \ underbrace {\文本{是}} _ {\巨大{=}} \ underbrace {\文本{成正比}} _ {\巨大{K}} \ underbrace {\文本{物质和空气的临时工之间的差。}} _ {\巨大{（T-T_ {0}）}}。GyD.F4.y2Ba$

这是GyD.F4.y2Ba $- \压裂{的dT}【T - T_ {0}} = K \ DT \意味着\ INT - \压裂{的dT}【T - T_ {0}} = \ INTķ\ DT \意味着 - \ LN（T -T_ {0}）=克拉+ C.GyD.F4.y2Ba$

为了找到初始条件，我们使用我们提供的事实GyD.F4.y2Ba $T_{0} = 290 \text{K}GyD.F4.y2Ba$。自从GyD.F4.y2Ba $T = 370 \文本{K}GyD.F4.y2Ba$最初在GyD.F4.y2Ba $t = 0时\文本{S}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $T = 330 \text{K}GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $T = 600 \text{s}GyD.F4.y2Ba$， 从GyD.F4.y2Ba $（1）GyD.F4.y2Ba$我们有GyD.F4.y2Ba

$\开始{箱子} - \ LN（370 - 290）＆= K \倍0 + C \\ - \ LN（330 - 290）＆= K \倍600 + C. \ {端}的情况下GyD.F4.y2Ba$

从第一个方程，我们得到GyD.F4.y2Ba $C = - ln 80GyD.F4.y2Ba$。在第二个公式代入这给GyD.F4.y2Ba $K = \ dfrac {\ LN 2} {600}GyD.F4.y2Ba$。然后，从GyD.F4.y2Ba $（1）GyD.F4.y2Ba$我们纯粹获得方程式GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $T：GyD.F4.y2Ba$

$- ln (T - 290) = frac{ln 2}{600}乘以T - ln 80。GyD.F4.y2Ba$

解决GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$为了使计算更容易看到的关系更加清楚，我们有GyD.F4.y2Ba

$T = 80 \倍2 ^ { - 吨/ 600} + 290，GyD.F4.y2Ba$

在这里我们可以清楚地看到，GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$处于减小功能GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$和方法GyD.F4.y2Ba $290.GyD.F4.y2Ba$作为GyD.F4.y2Ba $吨\到\ inftyGyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

最后，我们得到的时间GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$此时GyD.F4.y2Ba $T = 295 \文本{K}GyD.F4.y2Ba$如下:GyD.F4.y2Ba

$295 = 80 \倍2 ^ { - 吨/ 600} + 290 \意味着T = 600 \ LOG_ {2}（16）\文本{S} = 2400 \文本{S} = 40 \文本{分钟}。GyD.F4.y2Ba$

确切的同样的方法可以在其他问题，以及使用。GyD.F4.y2Ba

一个豆茎的生长速率正比于它的当前高度的平方根。如果高度100英尺开始，它在5天后长至400英尺，这将是经过20多天有多高？GyD.F4.y2Ba

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让豆茎的高度(以英尺计)用GyD.F4.y2Ba $HGyD.F4.y2Ba$和时间（天数）由GyD.F4.y2Ba $T.GyD.F4.y2Ba$。然后GyD.F4.y2Ba $\ underbrace {\文本{一个豆茎的生长}的速率} _ {\巨大{\压裂{DH} {dt的}}} \ underbrace {\文本{是}} _ {\巨大{=}} \ underbrace {\文本{成正比}} _ {\巨大{K}} \ underbrace {\文本{它的当前高度的平方根。}} _ {\巨大{\ SQRT {H}}}GyD.F4.y2Ba$

现在，GyD.F4.y2Ba $\压裂{DH} {\ SQRT {H}} = K \ DT \意味着\ INT \压裂{DH} {\ SQRT {H}} = \ INTķ\ DT \意味着2 \ SQRT {H} =克拉+ C。GyD.F4.y2Ba$

自从GyD.F4.y2Ba $H = 100GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $t = 0.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $H = 400GyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $T = 5GyD.F4.y2Ba$， 我们有GyD.F4.y2Ba

$\开始{箱子} 2 \ SQRT {100}＆= K \倍0 + C 2 \\ \ SQRT {400}＆= K \次5 + C. \ {端}的情况下GyD.F4.y2Ba$

从我们第一个方程GyD.F4.y2Ba $C = 20GyD.F4.y2Ba$。代入第二个方程这给GyD.F4.y2Ba $40 = 5K + 20GyD.F4.y2Ba$，这意味着GyD.F4.y2Ba $K = 4GyD.F4.y2Ba$。GyD.F4.y2Ba

因此，我们现在有微分方程的特解：GyD.F4.y2Ba $2 \ SQRT {H} = 4T + 20 \意味着H =（2T + 10）^ {2}。GyD.F4.y2Ba$

再过20天就能找到豆茎的高度了。我们只需要求出豆茎的高度GyD.F4.y2Ba $T = 5 + 20 = 25 \文本{天}GyD.F4.y2Ba$。简单地替代GyD.F4.y2Ba $T = 25GyD.F4.y2Ba$在方程，得到：GyD.F4.y2Ba $H =（2 \倍25 + 10）^ {2} = 60 ^ {2} = 3600 \文本{（英尺）}。GyD.F4.y2Ba$