算术函数gydF4y2Ba

从1到1000的欧拉总力函数。gydF4y2Ba^{［1］gydF4y2Ba}

算术函数gydF4y2Ba是gydF4y2Ba真实的gydF4y2Ba——或者gydF4y2Ba复杂的gydF4y2Ba-值函数定义在集合上gydF4y2Ba $\ mathbb {Z ^ +}gydF4y2Ba$的正整数。他们描述的数字运算性能，被广泛应用于领域gydF4y2Ba数论gydF4y2Ba．算术函数是从在它们通常不能由简单的公式说明典型的功能不同，因此它们在以下方面经常评估其gydF4y2Ba平均gydF4y2Ba或gydF4y2Ba渐近gydF4y2Ba行为。gydF4y2Ba

算术函数的一个例子是gydF4y2Ba除数函数gydF4y2Ba $\τ(n)gydF4y2Ba$，对于一个给定的正整数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$，返回的正因数的个数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．例如,gydF4y2Ba $12gydF4y2Ba$的正除数是gydF4y2Ba $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $\τ(12)= 6gydF4y2Ba$．在另一方面，任何质数gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$只有两个除数，gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$和本身，因此gydF4y2Ba $\ tau蛋白（P）= 2gydF4y2Ba$对于任何素gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$．因为一个数的除数取决于它的大小gydF4y2Ba因式分解gydF4y2Ba，这是非常不规则，除数函数更容易在其平均订单而言分析gydF4y2Ba $\ log ngydF4y2Ba$和它的gydF4y2Ba限制优越gydF4y2Ba $E 1 {\伽马} n的\日志\日志ÑgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

像除数函数一样，许多算术函数不能用简单的公式来表示。幸运的是，数论学家通常对任何特定输入的算术函数的值不太感兴趣，他们对该函数的平均行为或渐近极限更感兴趣。这部分是由于历史上的联系gydF4y2Ba素数定理gydF4y2Ba也证明了理论上的保证gydF4y2Ba加密应用程序gydF4y2Ba，这通常依赖于非常大的数字，以提供安全保障。分析运算功能的两个主要方法是gydF4y2Ba渐近分析gydF4y2Ba和gydF4y2Ba平均订单分析gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

算术函数的渐近极限gydF4y2Ba

简单地说,gydF4y2Ba渐近极限gydF4y2Ba算术函数的gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $g (n)gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$\ lim_ {N \到\ infty} \压裂{F（N）} {G（N）} = 1。gydF4y2Ba$

直观地说，它是函数的一个非常大的输入的近似值。在一个函数太复杂而不能直接计算或输入太大而不能计算的情况下，渐近分析提供了一种分析函数本质行为的方法。这种关系通常被表示出来gydF4y2Ba $f (n) \ sim g (n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

例如，gydF4y2Ba分区功能gydF4y2Ba $P（N）gydF4y2Ba$，其计数的写一个整数的独特的方式数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$作为正整数的总和，最容易通过定义gydF4y2Ba递归关系gydF4y2Ba

$P（N）= \ sum_ {K = 1} ^ N（-1）^ {K + 1} \左[P \左（正\压裂{K} {2}（3K -1）\右）\p \左（正\压裂{K} {2}（3K 1）\右）\右]gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $p (n) = 0gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $ñ\乐0gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $p (1) = 1gydF4y2Ba$．这是一个困难的功能准确评估大量涌现。幸运的是，渐近极限是更简单分析。这是gydF4y2Ba

$F（N）\ SIM \压裂{1} {4N \ sqrt3} \ EXP \左（{\ PI \ SQRT {\压裂{2N} {3}}} \右），gydF4y2Ba$

这意味着gydF4y2Ba

$\ LOG P（N）\性sim C \ SQRT N，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $C = \ PI \ SQRT \压裂{2} {3}gydF4y2Ba$．因此，对于非常大的数字，日志分区功能gydF4y2Ba $P（N）gydF4y2Ba$行为就像的平方根gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．这比递归关系更容易解释说明配分函数增长得非常非常快。gydF4y2Ba

算术函数的平均订单gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba算术函数的平均阶数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $g (n)gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$\sum_{n \le x} f(n) \sim \sum_{n \le x} g(n)gydF4y2Ba$

作为gydF4y2Ba $x \ \ inftygydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $g (n)gydF4y2Ba$通常选择为一gydF4y2Ba连续函数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba单调gydF4y2Ba．直觉上，它的值和gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$一般gydF4y2Ba．一般来说，对于一个给定的算术函数，平均阶数不是唯一的gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$它的形式通常与渐近极限不同。gydF4y2Ba

例如,gydF4y2Ba欧拉函数gydF4y2Ba $\ varphi (n)gydF4y2Ba$计算小于的正整数的数目gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$那是gydF4y2Ba相对黄金gydF4y2Ba来gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．它最容易定义为gydF4y2Ba

$\ varphi（N）= N \ prod_ {P \中间N} \左（1- \压裂{1} {P} \右），gydF4y2Ba$

从1欧拉函数1000在红色平均订单gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba $p \ñ中旬gydF4y2Ba$表示“首相gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$分gydF4y2Ba $ñ。gydF4y2Ba$“因为质数的间距是不规则的，所以这个公式对于大整数是准确的gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$要求要么测试是否gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是每一个素数小于整除gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$(根据质数定理，这样的例子有很多)或者求质因数分解gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$，这是非常困难的。由于寻找欧拉函数的精确值并不总是必要的，有时是确定平均的行为就足够了。在欧拉功能的情况下，gydF4y2Ba

$le x \ sum_ {n \} \ varphi (n) \ sim \ sum_ {le x n \} \压裂{6}{\π^ 2}ngydF4y2Ba$

作为gydF4y2Ba $x \ \ inftygydF4y2Ba$．因此，totient函数的增长速度大致与gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．换句话说，自从gydF4y2Ba $\压裂{6} {\ PI ^ 2} \约0.6079gydF4y2Ba$，一个整数平均是比它小的正整数的61%的质数。显然，这个规则只适用于质数之后的平均情况gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$将是每一个小于它的正整数的互质数(即100%小于它的正整数)，而gydF4y2Ba素数阶乘gydF4y2Ba会比61%少得多。gydF4y2Ba

在过去的400年里，数论学家研究了几十种不同的运算功能。突出的例子包括gydF4y2Ba除数函数gydF4y2Ba $\τ(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba欧拉函数gydF4y2Ba $\ varphi (n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba默比乌斯函数gydF4y2Ba $\亩（n）的gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba刘维尔函数gydF4y2Ba $\拉姆达（n）的gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba狄氏人物gydF4y2Ba $\气(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba素计数功能gydF4y2Ba $\别针）gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba冯曼戈尔特功能gydF4y2Ba $\λ(n)gydF4y2Ba$， 和gydF4y2Ba分区功能gydF4y2Ba $P（N）gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

最重要的算术函数下表现出加法或乘法便利的行为。这是不是太令人惊讶，因为算术函数描述的正整数的性质gydF4y2Ba $\ mathbb {Z ^ +}gydF4y2Ba$，对加法和乘法封闭。在加法运算中表现出这些性质的算术函数称为gydF4y2Ba添加剂的功能gydF4y2Ba，而那些在乘法运算下是已知的gydF4y2Ba乘法函数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

添加剂功能gydF4y2Ba

加性函数定义为算术函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$使得的产品的功能gydF4y2Ba互质gydF4y2Ba正整数是函数在这些整数上的和。完全可加函数是不受操作数为互素限制的可加函数。其正式定义如下:gydF4y2Ba

一个算术函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba加法函数gydF4y2Ba如果，质数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$的F（ab）= F（A）+ F（b）中。gydF4y2Ba$

一个算术函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba完全加法函数gydF4y2Ba如果对于所有正整数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$的F（ab）= F（A）+ F（b）中。gydF4y2Ba$

乘法函数gydF4y2Ba

乘法函数定义为算术函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$这样，一个互素正整数的乘积的函数就是这个函数在这些整数上的乘积。一个完全乘法函数是一个不受操作数为互素限制的加性函数。其正式定义如下:gydF4y2Ba

一个算术函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba乘法函数gydF4y2Ba如果，质数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $F（1）= 1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba

$的F（ab）= F（A）\ CDOT F（b）中。gydF4y2Ba$

一个算术函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba完全乘法函数gydF4y2Ba如果对于所有正整数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $F（1）= 1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba

$的F（ab）= F（A）\ CDOT F（b）中。gydF4y2Ba$

主要连接gydF4y2Ba

因为上的可加和可乘函数的定义的coprimality约束的，由gydF4y2Ba算术基本定理gydF4y2Ba他们完全被它们的值确定gydF4y2Ba主要的gydF4y2Ba权力。例如,gydF4y2Ba $90.gydF4y2Ba$的质因数分解是gydF4y2Ba $2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}gydF4y2Ba$．对于添加剂的功能gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $F（90）= F（2）+ F（3 ^ 2）+ F（5）gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

给定一个质数分解为gydF4y2Ba $n = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \点p_k ^ {\ _k}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba加法函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$f (n) = f (p_1 ^ {\ alpha_1}) + f (p_2 ^ {\ alpha_2}) + \ cdots + f (p_k ^ {\ _k})gydF4y2Ba$

A.gydF4y2Ba乘法函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$F（N）= F（P_1 ^ {\ alpha_1}）\ CDOT F（P_2 ^ {\ alpha_2}）\ cdots F（P_K ^ {\ alpha_k}）。gydF4y2Ba$

完全可加函数和完全可乘函数没有素数约束，完全由它们在素数上的值来定义。gydF4y2Ba

给定一个质数分解为gydF4y2Ba $n = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \点p_k ^ {\ _k}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba完全加法函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$f (n) = f (p_1) + \ \ alpha_1 alpha_2 f (p_2) + + \ \点_k f (p_k)gydF4y2Ba$

A.gydF4y2Ba完全乘法函数gydF4y2Ba $F（N）gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$F（N）= F（P_1）^ {\ alpha_1} \ CDOT F（P_2）^ {\ alpha_2} \ cdots F（P_K）^ {\ alpha_k}。gydF4y2Ba$

因为它们只能通过它们的值在素数和总理的权力决定某些算术功能的加法和乘法性能大大简化他们的分析。素数的平均值和渐近行为已经得到很好的研究，所以加法和乘法功能更容易地分析比非加性和非乘法运算功能。gydF4y2Ba

此外，许多自然数上的级数可以被简化为质数上的乘积。一个例子是gydF4y2Ba欧拉产品gydF4y2Ba，其表达gydF4y2Ba狄利克雷级数gydF4y2Ba作为在素数无限产物，假设系列术语具有一定乘法性质。因为它是由欧拉在他的之间的联系的证据引进欧拉产品是具有重要历史意义gydF4y2Ba黎曼zeta函数gydF4y2Ba而素数。gydF4y2Ba

此外，可有效地计算可加函数或可乘函数的值gydF4y2Ba计算数论gydF4y2Ba使用gydF4y2Ba记忆化gydF4y2Ba对于论据是gydF4y2Ba光滑的数字gydF4y2Ba．这对于函数特别有用gydF4y2Ba线性时间gydF4y2Ba在天真的实现中，例如gydF4y2Ba欧拉函数gydF4y2Ba，这是一个乘法函数。gydF4y2Ba

这些函数的计算方便，是中央的现代加密方法的发展。具体来说，许多密码应用程序依赖于（在数位常）来编码信息的使用非常大的数字，而且他们的安全往往取决于反转的某些数论函数值的难度。这些功能通常选择为乘法，因为这允许gydF4y2Ba快gydF4y2Ba和gydF4y2Ba节省内存gydF4y2Ba非常大的值的计算，对网络加密等应用至关重要。然而，由于这些函数很容易计算，给定一个数的质因数分解，它们也相对容易反转给定的质因数分解。幸运的是，确定一个大数字的质因数分解是困难的，所以加密方法可以利用乘法函数的优点，而不会屈服于它们的弱点。gydF4y2Ba

1. Battiston, P。gydF4y2BaEulerPhigydF4y2Ba．2009年5月24日，从gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:EulerPhi.svggydF4y2Ba