乘法函数

一个乘法函数 $f$是一个算术函数令人满意的 $f (1) = 1, (ab) = f (a) (b)$对于coprime整数 $一个$和 $b。$一个完全乘法函数满足 $(ab) = f (a) (b)$对于所有值 $一个$和 $b。$

乘法函数在数论和代数中经常出现。的狄利克雷级数与乘法有关的函数有有用的乘积公式，如公式为黎曼ζ函数．

以下是一些重要的乘法函数:

• 欧拉totient函数： $\φ(n) =$正整数的数目 $n \勒$这样,肾小球囊性肾病 $(n) = 1$
• 的默比乌斯函数： $\μ(n)$
• 的总和 $文本\α^ \ {th}$权力的因数: $∑_ (n) =∑{d|n} d^ (n$
• 这个函数 $E (n) = \left\lfloor\frac{1}{n}\right\rfloor = \begin{cases} 1&\text{if} \ n = 1 \\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$
• 单元功能: $\ mathbf {1} (n) = 1$
• 恒等函数: $我(n) = n$

最后三个也是完全相乘的。

如果 $f$是一个乘法函数，那么它完全由它的值决定 $f (p ^ k)$在总理的权力。如果 $f$是完全相乘的，那么它完全由它的值决定 $f (p)$质数。

在此之前的独特的分解:写 $n = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \ cdots p_k ^ {\ _k}$对于一些非负 $k$,质数 $p_i$，和正整数 $\ alpha_i$．然后

$\{对齐}开始f (n) & = f (p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \ cdots p_k ^ {\ _k}) \ \ & = f (p_1 ^ {\ alpha_1}) f (p_2 ^ {\ alpha_2}) \ cdots f (p_k ^ {\ _k }) \\ &= \ prod_ {i = 1} ^ k f (p_i ^ {\ alpha_i}) \{对齐}结束$

因为质数 $p_i ^ {\ alpha_i}$都是相对质数。所以 $f (n)$是值的乘积吗 $f (p_i ^ {\ alpha_i})$．如果 $f$是完全相乘的吗 $f (p_i ^ {\ alpha_i}) = f (p_i) ^ {\ alpha_i}$,所以 $f (n)$是由的值决定的 $f (p_i)$． $_ \广场$

如果 $f$是一个乘法函数，那么它完全由它的值决定 $f (p ^ k)$在总理的权力。如果 $f$是完全相乘的，那么它完全由它的值决定 $f (p)$质数。

在此之前的独特的分解:写 $n = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \ cdots p_k ^ {\ _k}$对于一些非负 $k$,质数 $p_i$，和正整数 $\ alpha_i$．然后

$\{对齐}开始f (n) & = f (p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \ cdots p_k ^ {\ _k}) \ \ & = f (p_1 ^ {\ alpha_1}) f (p_2 ^ {\ alpha_2}) \ cdots f (p_k ^ {\ _k }) \\ &= \ prod_ {i = 1} ^ k f (p_i ^ {\ alpha_i}) \{对齐}结束$

因为质数 $p_i ^ {\ alpha_i}$都是相对质数。所以 $f (n)$是值的乘积吗 $f (p_i ^ {\ alpha_i})$．如果 $f$是完全相乘的吗 $f (p_i ^ {\ alpha_i}) = f (p_i) ^ {\ alpha_i}$,所以 $f (n)$是由的值决定的 $f (p_i)$． $_ \广场$

第一个定理的技巧可以用来写产品配方乘法功能。例如，考虑乘法函数 $\ n压裂{\φ(n)}。$当 $n = p ^ k,$这个评估 $\压裂p {^ kp) ^ {k - 1}} {p ^ k} = 1 - \ frac1 {p}$,所以

$\压裂{\φ(n)} {n} = \ prod_ {\ stackrel {p | n}{文本\ \ p{'}}} \离开(1 - \ frac1 p{} \右)。$

让 $N = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\ alphak}$时，可以用类似的方法推导出下列公式:

${对齐}\ \开始sigma_0 (n) & = \ prod_ {i = 1} ^ k (1 + \ alpha_i) \ \ \ sigma_r (n) & = \ prod_ {i = 1} ^ k \压裂{p_i ^ {r (\ alpha_i + 1)} 1} {p_i ^ r 1} \四(r \ {\ mathbb n})。\ \ \{对齐}结束$

把这两个定理放在一起，可以用来导出几个涉及乘函数的有趣恒等式。第一个定理表明在素数幂参数上一致的两个乘法函数一定是同一个函数．这对证明很有用。

让 $\ω(n) =$的不同素数因子的个数 $n$．让 ${rad} (n) = \文本$的不同素数因子的乘积 $n$．表明, $\ sum_ {d | n} \μ(d) \ sigma_0 (d) =(1) ^{\ω(n)} \文本{rad} (n)。$

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证明:乘法函数的乘积显然是乘法的 $\ \ sigma_0μ$是乘法。左边的和是狄利克雷卷积 $\ \ sigma_0μ* \ mathbf {1}$，所以它可以乘以第二定理。右边的乘积也是乘法的，因为很容易检查两者 $(1) ^{\ω(n)}$和 ${rad} \文本(n)$是乘法函数。

所以它足以证明定理是正确的 $n = p ^ k$， $p$主要的在这种情况下，左边是 $1 + (p+1) = -p$右边是 $(-1)^1 p = -p$因此，双方在主要权力上达成了一致，因此在任何地方都达成了一致。 $_ \广场$

表明, $\∑_{d|n} \sigma_0(d^2) =∑_0(n)^2。$

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证明:两边都是乘的(类似于前面的例子)，因此检查它们是否一致就足够了 $n = p ^ k$．在这种情况下，左边是

$1 + 3 + 5 + \ cdots + (2 k + 1)$

右边是

$(k + 1) ^ 2,$

但是很容易检查它们是否相等。 $_ \广场$