算术函数gydF4y2Ba

欧拉的totient函数从1到1000。gydF4y2Ba^{［1］gydF4y2Ba}

算术函数gydF4y2Ba是gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba——或者gydF4y2Ba复杂的gydF4y2Ba-值函数定义在集合上gydF4y2Ba $Z ^ \ mathbb {+}gydF4y2Ba$的正整数。它们描述数的算术性质，广泛应用于数学领域gydF4y2Ba数论gydF4y2Ba．算术函数与典型函数的不同之处在于，它们通常不能用简单的公式来描述，因此通常用它们的表达式来计算gydF4y2Ba平均gydF4y2Ba或gydF4y2Ba渐近gydF4y2Ba的行为。gydF4y2Ba

算术函数的一个例子是gydF4y2Ba除数函数gydF4y2Ba $\τ(n)gydF4y2Ba$，对于一个给定的正整数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$的正除数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．例如,gydF4y2Ba $12gydF4y2Ba$的正约数为gydF4y2Ba $\{1,2,3,4,6,12 \}gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $\τ(12)= 6gydF4y2Ba$．另一方面，任何质数gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$只有两个因数，gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$和本身,所以gydF4y2Ba $\τ(p) = 2gydF4y2Ba$对于任何'gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$．因为一个数的除数数取决于它的个数gydF4y2Ba质因数分解gydF4y2Ba，这是非常不规则的，除数函数更容易从其平均顺序来分析gydF4y2Ba $\ log ngydF4y2Ba$和它的gydF4y2Ba限制优越gydF4y2Ba $E ^{\gamma} n \log \log ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

和除数函数一样，许多算术函数也不能用简单的公式表示。幸运的是，数论学家通常对算术函数在任何特定输入下的值不太感兴趣，他们更感兴趣的是该函数的平均行为或渐近极限。这在一定程度上是由历史与gydF4y2Ba素数定理gydF4y2Ba并证明了理论保证gydF4y2Ba加密应用程序gydF4y2Ba这通常依赖于非常庞大的数字来提供安全保障。分析算术函数的两种主要方法是gydF4y2Ba渐近分析gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba平均订单分析gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

算术函数的渐近极限gydF4y2Ba

简单地说,gydF4y2Ba渐近极限gydF4y2Ba等差函数的gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $g (n)gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1。gydF4y2Ba$

直观地说，它是对于非常大的输入函数的近似值。在函数过于复杂而无法直接求值或输入太大而无法计算的情况下，渐近分析提供了一种分析函数基本行为的方法。这种关系通常用符号表示gydF4y2Ba $f (n) \ sim g (n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

例如,gydF4y2Ba配分函数gydF4y2Ba $p (n)gydF4y2Ba$，它计算整数的唯一书写方式的数量gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$作为正整数的和，最容易由gydF4y2Ba递归关系gydF4y2Ba

$p (n) = \ sum_ {k = 1} ^ n (1) ^ {k + 1}左\ [p \离开(n - \压裂{k} {2} (3 k 1) \) \ p \离开(n - \压裂{k} {2} (3 k + 1) \) \右),gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $p (n) = 0gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $n \ le 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $p (1) = 1gydF4y2Ba$．对于较大的数字，这是一个很难精确计算的函数。幸运的是，渐近极限的分析要简单得多。它是gydF4y2Ba

$f (n) \ sim \压裂{1}{4 n \ sqrt3} \ exp \离开({\π\√6{\压裂{2 n}{3}}} \右),gydF4y2Ba$

这意味着gydF4y2Ba

$\log p(n) \sim C \sqrt n，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $C = \pi \sqrt \frac{2}{3}gydF4y2Ba$．对于非常大的数，配分函数的对数gydF4y2Ba $p (n)gydF4y2Ba$就像平方根gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．这比递归关系更容易解释而且表明配分函数增长得非常非常快。gydF4y2Ba

算术函数的平均阶gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba等差函数的平均阶gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $g (n)gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

$\sum_{n \le x} f(n) \sim \sum_{n \le x} g(n)gydF4y2Ba$

作为gydF4y2Ba $x \ \ inftygydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $g (n)gydF4y2Ba$是传统上被选为gydF4y2Ba连续函数gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba单调gydF4y2Ba．直观上，它的值与gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$平均gydF4y2Ba．一般来说，对于一个给定的算术函数，平均顺序不是唯一的gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$它的形式通常与渐近极限不同。gydF4y2Ba

例如,gydF4y2Ba欧拉totient函数gydF4y2Ba $\ varphi (n)gydF4y2Ba$计算小于的正整数的个数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$这是gydF4y2Ba互质gydF4y2Ba来gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．它最容易定义为gydF4y2Ba

$n \ \ varphi (n) = prod_ {p中期\ n} \离开(1 - \压裂{1}{p} \右),gydF4y2Ba$

欧拉totient函数，从1到1000，平均顺序用红色表示gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba $p \ n中期gydF4y2Ba$表示“'gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$分gydF4y2Ba $n。gydF4y2Ba$“由于质数的间距是不规则的，因此可以对大整数精确地计算这个公式gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$需要测试gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$能被所有质数整除吗gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$(根据质数定理，有很多质数)或者找到质因数分解gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$这是非常困难的。因为找到totient函数的确切值并不总是必要的，有时确定平均行为就足够了。对于totient函数，gydF4y2Ba

$le x \ sum_ {n \} \ varphi (n) \ sim \ sum_ {le x n \} \压裂{6}{\π^ 2}ngydF4y2Ba$

作为gydF4y2Ba $x \ \ inftygydF4y2Ba$．因此，totient函数大致以相同的速率增长gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．换句话说，自从gydF4y2Ba $\压裂{6}{\π^ 2}\约0.6079gydF4y2Ba$一般来说，一个整数是小于它的61%的正整数的互素。显然，这个规则只适用于质数之后的平均值gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$是小于它的所有正整数的互素(即小于它的100%正整数)，而gydF4y2BaprimorialsgydF4y2Ba会比61%少得多。gydF4y2Ba

在过去的400年里，数论学家研究了几十种不同的算术函数。著名的例子包括gydF4y2Ba除数函数gydF4y2Ba $\τ(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba欧拉totient函数gydF4y2Ba $\ varphi (n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba默比乌斯函数gydF4y2Ba $\μ(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba刘维尔函数gydF4y2Ba $\λ(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba狄利克雷字符gydF4y2Ba $\气(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba'计数函数gydF4y2Ba $\π(n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba冯Mangoldt函数gydF4y2Ba $\λ(n)gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba配分函数gydF4y2Ba $p (n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

大多数重要的算术函数在加法或乘法下表现出方便的行为。这并不奇怪，因为算术函数描述的是正整数的性质gydF4y2Ba $Z ^ \ mathbb {+}gydF4y2Ba$，它们在加法和乘法下是封闭的。在加法下表现出这些性质的算术函数称为gydF4y2Ba添加剂的功能gydF4y2Ba，而乘法下的则称为gydF4y2Ba乘法函数gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

添加剂的功能gydF4y2Ba

加性函数被定义为算术函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$产品的功能gydF4y2BacoprimegydF4y2Ba正整数是函数对这些整数的和。完全加性函数是不受操作数互素限制的加性函数。形式上，它们的定义如下:gydF4y2Ba

一个算术函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba加法函数gydF4y2Ba如果coprimegydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$F (ab) = F (a) + F (b)。gydF4y2Ba$

一个算术函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba完全加法函数gydF4y2Ba对于所有正整数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

$F (ab) = F (a) + F (b)。gydF4y2Ba$

乘法函数gydF4y2Ba

乘法函数被定义为算术函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$使互素正整数的乘积的函数等于这些整数上的函数的乘积。完全乘函数是加性函数，不受操作数互素的限制。形式上，它们的定义如下:gydF4y2Ba

一个算术函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba乘法函数gydF4y2Ba如果coprimegydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $f (1) = 1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba

$F (ab) = F (a) \cdot F (b)。gydF4y2Ba$

一个算术函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba完全乘法函数gydF4y2Ba对于所有正整数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $f (1) = 1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba

$F (ab) = F (a) \cdot F (b)。gydF4y2Ba$

主要连接gydF4y2Ba

由于加性函数和乘性函数定义上的协协性约束，由gydF4y2Ba算术基本定理gydF4y2Ba他们完全是由他们的价值观决定的gydF4y2Ba主要的gydF4y2Ba权力。例如,gydF4y2Ba $90gydF4y2Ba$的质因数分解为gydF4y2Ba $2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}gydF4y2Ba$．对于加性函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $F (90) = F (2) + F (3^2) + F (5)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

给定一个质因数分解gydF4y2Ba $n = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \点p_k ^ {\ _k}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba加法函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$f (n) = f (p_1 ^ {\ alpha_1}) + f (p_2 ^ {\ alpha_2}) + \ cdots + f (p_k ^ {\ _k})gydF4y2Ba$

和一个gydF4y2Ba乘法函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$f (n) = f (p_1 ^ {\ alpha_1}) \ cdot f (p_2 ^ {\ alpha_2}) \ cdots f (p_k ^ {\ _k})。gydF4y2Ba$

此外，完全加性函数和完全乘性函数没有协协性约束，因此它们完全由质数上的值定义。gydF4y2Ba

给定一个质因数分解gydF4y2Ba $n = p_1 ^ {\ alpha_1} p_2 ^ {\ alpha_2} \点p_k ^ {\ _k}gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba完全加法函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$f (n) = f (p_1) + \ \ alpha_1 alpha_2 f (p_2) + + \ \点_k f (p_k)gydF4y2Ba$

和一个gydF4y2Ba完全乘法函数gydF4y2Ba $f (n)gydF4y2Ba$有财产gydF4y2Ba

$f (n) = f (p_1) ^ {\ alpha_1} \ cdot f (p_2) ^ {\ alpha_2} \ cdots f (p_k) ^ {\ _k}。gydF4y2Ba$

某些算术函数的加性和乘性极大地简化了它们的分析，因为它们仅由它们在素数和素数幂处的值决定。素数的平均性和渐近性已经得到了很好的研究，因此加性和乘性函数比非加性和非乘性算术函数更易于分析。gydF4y2Ba

此外，许多自然数上的级数在分解成质数上的乘积时可以简化。一个例子是gydF4y2Ba欧拉产品gydF4y2Ba，表示gydF4y2Ba狄利克雷级数gydF4y2Ba作为质数的无穷乘积，假设级数项具有一定的乘法性质。欧拉乘积具有重要的历史意义因为它是由莱昂哈德·欧拉在证明gydF4y2Ba黎曼ζ函数gydF4y2Ba还有质数。gydF4y2Ba

此外，可有效地计算加性或乘性函数的值gydF4y2Ba计算数论gydF4y2Ba使用gydF4y2Ba记忆有关gydF4y2Ba对于如下的参数gydF4y2Ba光滑的数字gydF4y2Ba．这对于可能采用其他方法的函数尤其有用gydF4y2Ba线性时间gydF4y2Ba在幼稚的实现中，例如gydF4y2Ba欧拉totient函数gydF4y2Ba，这是一个乘法函数。gydF4y2Ba

这些函数的计算便利性是现代密码方法发展的核心。具体来说，许多密码学应用程序依赖于使用非常大的数字(通常是数百位)来编码信息，它们的安全性通常取决于某些数论函数值的反求难度。这些函数通常被选择为乘函数，因为这允许gydF4y2Ba快gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba节省内存gydF4y2Ba对非常大的值的计算，对网络加密等应用非常重要。然而，由于这些函数在质因数分解的条件下很容易计算，因此在质因数分解的条件下，它们也相对容易求反。幸运的是，确定一个大数的质因数分解是困难的，因此密码方法可以利用乘法函数的优点而不屈服于它们的缺点。gydF4y2Ba

1. Battiston, P。gydF4y2BaEulerPhigydF4y2Ba．2009年5月24日，从gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:EulerPhi.svggydF4y2Ba