数论
有关……
- 数论年代p一个n><年代p一个nclass="chevron">>年代p一个n>
模算术运算一个>
数论年代trong>是研究的性质吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integers/" class="wiki_link" title="整数gydF4y2Ba" target="_blank">整数一个>.由于整数在数学中的基本性质,以及数学在科学中的基本性质,这位著名的数学家和物理学家<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gauss-the-prince-of-mathematics/" class="wiki_link" title="高斯gydF4y2Ba" target="_blank">高斯一个>写道:
<年代trong>“数学是科学女王,数论是数学女王。”年代trong>
关于整数有很多简单的公式问题,这些问题只涉及基本的加法和乘法<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ring-theory/" class="wiki_link" title="环gydF4y2Ba" target="_blank">环一个>对整数的运算),但这些问题仍然无法解决或极难解决。例如:
哪些整数可以写成四个平方和?
如果<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≥年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>是正整数,可以是正整数吗<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>幂可以写成两个正数的和<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>权力?
是否存在一个矩形盒子,它的边长、正面对角线长度和主体对角线长度都是整数?
第一个问题在很久以前就由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="拉格朗日gydF4y2Ba" target="_blank">拉格朗日一个>:
gydF4y2Ba第二个问题是由于<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">7年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">th年代p一个n>年代p一个n>费马在1637年声称发现了一个证明,证明答案是否定的。尽管答案是否定的,但直到1995年,安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)在几十位当代顶尖数学家的基础上,完成了一个困难而复杂的证明,这才被严格地建立起来。其结果就是众所周知的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="费马最后定理gydF4y2Ba" target="_blank">费马最后定理一个>.
gydF4y2Ba第三个问题是目前答案未知的众多数论问题之一。有可能生产无限多个盒子(有时称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/leonhard-euler/" class="wiki_link" title="欧拉gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉一个>砖块),所有的边和面对角线都是整数,但没有人能够构造出这样一个体对角线长度为整数的盒子,或者证明不存在这样的盒子。
可分性
关于整数的第一个重要事实与可除性的概念有关:如果<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n>年代p一个n>那么是两个整数吗<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n>年代p一个n>(读作“<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>分<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>)当且仅当存在整数时<年代p一个nclass="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
整数有一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/division-algorithm/" class="wiki_link" title="辗转相除法gydF4y2Ba" target="_blank">辗转相除法一个>,其中两个整数可以被余数除:for any<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">Z年代p一个n>年代p一个n>与<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n>年代p一个n>0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>有一个唯一的整数<年代p一个nclass="katex"> 问年代p一个n>年代p一个n>一个唯一的整数<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>与<年代p一个nclass="katex"> 0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">r年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n>年代p一个n>令人满意的<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">r年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>在这里<年代p一个nclass="katex"> 问年代p一个n>年代p一个n>商是和吗<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>是余数。
gydF4y2Ba在除法算法中,如果<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">b年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>所以迭代除法算法提供了一种计算<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/greatest-common-divisor/" class="wiki_link" title="最大公约数gydF4y2Ba" target="_blank">最大公约数一个>的<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="欧几里得算法gydF4y2Ba" target="_blank">欧几里得算法一个>.最大公约数也满足<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bezouts-identity/" class="wiki_link" title="Bezout的身份gydF4y2Ba" target="_blank">Bezout的身份一个>——形式的整数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>是的最大公约数的倍数吗<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>特别是<年代p一个nclass="katex"> g年代p一个n>cd年代p一个n>本身可以写成<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>对于某些整数<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>的可能值<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extended-euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="扩展欧几里得算法gydF4y2Ba" target="_blank">扩展欧几里得算法一个>.
gydF4y2Ba这些计算和算法在初等数论的各种应用中是有用的;请看下面的例子。
质数
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-numbers/" class="wiki_link" title="质数gydF4y2Ba" target="_blank">质数一个>
让<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>为正整数。如果<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>是的除数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>它不等于<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n>年代p一个n>或<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>(即。<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>的非平凡固有因数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>),然后<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>可以因式分解为<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>的非平凡固有因子吗<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>然后我们就可以分解了<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> c年代p一个n>年代p一个n>类似地,得到的表达式<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>作为更小除数的乘积。
gydF4y2Ba只有当产品中的每个因数不能进一步分解时,这个过程才会停止;换句话说,当乘积中的因数没有任何非平凡的固有因数时。
如果<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>是一个非平凡的固有除数。所以<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>现在<年代p一个nclass="katex"> 2年代p一个n>年代p一个n>没有非平凡的固有因子,但是<年代p一个nclass="katex"> 6年代p一个n>年代p一个n>:<年代p一个nclass="katex"> 2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">∣年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>所以<年代p一个nclass="katex"> 6年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
大于的整数<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n>年代p一个n>在没有非平凡因子的情况下调用固有因子<年代trong>质数年代trong>.
以上讨论表明,每一个整数都可以分解为质数的乘积。质数是整数的乘法组成部分。这个事实是如此重要,以至于它被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-arithmetic/" class="wiki_link" title="算术基本定理gydF4y2Ba" target="_blank">算术基本定理一个>:
每一个正整数都可以写成质数的乘积。分解是唯一的,直到因子的重排。
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distribution-of-primes/" class="wiki_link" title="质数的分布gydF4y2Ba" target="_blank">质数的分布一个>整数的内部是一个困难和丰富的研究课题。有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infinitely-many-primes/" class="wiki_link" title="无限个质数gydF4y2Ba" target="_blank">无限个质数一个>这是欧几里得所知道的事实。一个更复杂的估计是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distribution-of-primes/" class="wiki_link" title="质数定理gydF4y2Ba" target="_blank">质数定理一个>,它粗略地说,一个随机整数的概率<年代p一个nclass="katex"> ≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n>年代p一个n>成为最重要的人<年代p一个nclass="katex"> ln年代p一个n><年代p一个nclass="mspace mtight" style="margin-right:0.19516666666666668em;">x年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>其他更精确的估计通常涉及<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-hypothesis/" class="wiki_link" title="黎曼假设gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼假设一个>,这是一个关于某个零点的深奥而未解的猜想<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的gydF4y2Ba" target="_blank">复杂的一个>价值函数。
gydF4y2Ba关于质数的其他基本问题仍然没有解决。特别是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/twin-primes/" class="wiki_link" title="双胞胎'gydF4y2Ba" target="_blank">双胞胎'一个>假设有无限多个质数<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>这样<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n>年代p一个n>也是质数,和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/the-goldbach-conjecture/" class="wiki_link" title="哥德巴赫猜想gydF4y2Ba" target="_blank">哥德巴赫猜想一个>任何偶数<年代p一个nclass="katex"> ≥年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n>年代p一个n>可以写成两个质数的和,尽管无数数学家努力了几个世纪,仍然没有解决。
模运算
涉及可除性的结果通常最容易用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模运算gydF4y2Ba" target="_blank">模运算一个>.如果两个整数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>当除以一个整数时,余数保持不变<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>我们写<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>读作“<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>等于<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>国防部<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>“例如,<年代p一个nclass="katex"> 6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">4年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>7年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>或<年代p一个nclass="katex"> −年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">7年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
模算术的基本规则有助于解释各种<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/proof-of-divisibility-rules/" class="wiki_link" title="可分性测试gydF4y2Ba" target="_blank">可分性测试一个>在小学就学过。例如,
每个正整数都相等<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>对其数字的和。
例如,<年代p一个nclass="katex"> 2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">8年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n>年代p一个n>等于<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">6年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">8年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>因为<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n>年代p一个n>都是相等的吗<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n>年代p一个n>国防部<年代p一个nclass="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这对任意次幂都成立<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n>年代p一个n> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>所以不管整数有多少位,这个表述都成立。
gydF4y2Ba加法、减法和乘法的运算和预期的一样,但还有一种形式的除法。特别是这个方程<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>如果<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这样一个<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>存在时且仅当<年代p一个nclass="katex"> 肾小球囊性肾病年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>Bezout的身份。
gydF4y2Ba一组<年代p一个nclass="katex"> {年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">}年代p一个n>年代p一个n>对整数的代表取mod<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>用运算给出的模加法和模乘法,常被称为<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>的子集<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>由可逆元素组成的称为<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n>年代p一个n>∗年代p一个n>年代p一个n>;它在乘法下是封闭的<年代p一个nclass="katex"> φ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>元素,<年代p一个nclass="katex"> φ年代p一个n>年代p一个n>是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-totient-function/" class="wiki_link" title="欧拉totient函数gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉totient函数一个>.特别是,当<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>是'<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>p年代p一个n>年代p一个n>∗年代p一个n>年代p一个n>由…的所有元素组成<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>p年代p一个n>年代p一个n>除了<年代p一个nclass="katex"> 0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>确实如此<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>元素。
gydF4y2Ba这是初等数论中第一个非平凡定理之一的建立,被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/" class="wiki_link" title="费马小定理gydF4y2Ba" target="_blank">费马小定理一个>.
如果<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>是质数<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">∤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>p年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
这推广到任何模量<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>:
这些定理有无数不同的应用,例如,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试gydF4y2Ba" target="_blank">素性测试一个>分数的十进制展开时期,以及现代密码学。下一节将概述后者的一些示例。
密码学的应用
初等数论中的一些基本问题非常适合应用于现代密码学。许多密码系统需要一个计算困难的单向过程,这是快速的,但很难逆转。最常见的两个过程都来自数论。
gydF4y2Ba其中一个过程是<年代trong>保理年代trong>对计算机来说,将两个大素数相乘很容易,但要计算出它们的乘积却非常困难。如果<年代p一个nclass="katex"> N年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">p年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">问年代p一个n>年代p一个n>是大素数吗<年代p一个nclass="katex"> p年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 问年代p一个n>年代p一个n>在寻找的难度上是相等的吗<年代p一个nclass="katex"> φ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.10903em;">N年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">p年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">问年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">问年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这一事实,加上欧拉定理,是广泛应用的基础<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rsa-encryption/" class="wiki_link" title="RSA密码系统gydF4y2Ba" target="_blank">RSA密码系统一个>.
gydF4y2Ba另一个这样的过程是所谓的<年代trong>离散对数问题年代trong>:给定互素整数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>(<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n>年代p一个n>是非常大的),和一个整数<年代p一个nclass="katex"> k年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>计算起来很简单<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>但是很难恢复<年代p一个nclass="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>鉴于<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">n年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">k年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这一思想的基础<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/diffie-hellman-protocol/" class="wiki_link" title="diffie - hellman协议gydF4y2Ba" target="_blank">diffie - hellman协议一个>.
gydF4y2Ba最近,通过在点上的奇异运算取代模运算,这些思想得到了扩展和丰富<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/elliptic-curves/" class="wiki_link" title="椭圆曲线gydF4y2Ba" target="_blank">椭圆曲线一个>.
丢番图方程
数论中许多最古老的问题都涉及到现在所知的<年代trong>丢番图方程年代trong>:多变量整数系数多项式方程,其中未知数也被限制为整数。事实上,寻找最简单线性丢番图方程解的问题,<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>本质上是Bezout恒等式的内容。
gydF4y2Ba非常简单的丢番图方程往往有非常困难的解。所涉及的技术通常来自数学的其他领域,最著名的是代数几何:丢片图方程的解可以被看作是一个更大的几何物体(如曲线或曲面)上的特殊点(具有整数坐标的点),由同一方程的实解或复解切割出来。
gydF4y2Ba例如,毕达哥拉斯方程的正整数解<年代p一个nclass="katex">
x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-triples/" class="wiki_link" title="毕达哥拉斯的三元组gydF4y2Ba" target="_blank">毕达哥拉斯的三元组一个>在2500多年前就已经引起了人们的兴趣。除以<年代p一个nclass="katex">
z年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>给了<年代p一个nclass="katex">
(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>毕达哥拉斯三重矩阵对应于一个点<年代p一个nclass="katex">
(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>与
对毕达哥拉斯方程的推广有很多,但难度很快就上升了。特别是,增加指数会导致一个著名的困难定理:
将注意力限制在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="平方和gydF4y2Ba" target="_blank">平方和一个>引出基本经典结果,其中整数可以表示为2、3和4平方的和;特别是,
gydF4y2Ba另一方面,引言中的欧拉砖问题给出了一个具体的丢稿图方程组的例子,其解尚未确定。甚至有一种普遍的负面结果被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hilberts-tenth-problem/?wiki_title=Hilbert's tenth problem" class="wiki_link new" title="希尔伯特第十题gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">希尔伯特第十题一个>这表明不可能存在普遍性<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algorithm/" class="wiki_link" title="算法gydF4y2Ba" target="_blank">算法一个>用来确定丢番图方程是否有解。目前在这一领域的研究倾向于集中在特定类型的丢番图方程上,由于某些原因,数学家对这些方程特别感兴趣(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/elliptic-curves/" class="wiki_link" title="椭圆曲线gydF4y2Ba" target="_blank">椭圆曲线一个>是一个特别丰富的主题),但在这方面仍有许多未解决的问题。
代数数论
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="代数数论gydF4y2Ba" target="_blank">代数数论一个>
的性质可以解决这个问题<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ring-theory/" class="wiki_link" title="环gydF4y2Ba" target="_blank">环一个>除了整数。(初步分析也以一种常见的方式使用了模算法。)
求的所有整数解<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
这是一张样板草图。
gydF4y2Ba首先请注意,如果<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>是偶数,那么<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>≡年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mspace allowbreak">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">o年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathrm">d年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这是不可能的,所以呢<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>是奇数,因此<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>是偶数。改写为<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>和因素<年代p一个nclass="katex-display"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>的公因数<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n>年代p一个n>一定是他们差异的一个共同因素<年代p一个nclass="katex"> 2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>要验证这一点并不难<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n>年代p一个n>是素数,在以下意义上:它唯一的因数是单位(1的因数)<年代p一个nclass="katex"> ±年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">±年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">我年代p一个n>年代p一个n>以及它自身的单位倍数。但是,如果<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n>年代p一个n>分<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>说<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>我们得到了<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这意味着<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>很奇怪,这是不可能的。
gydF4y2Ba所以<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n>年代p一个n>是相对质数的。两个相对质数的乘积是一个立方体,它们本身必须都是立方体。但<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">我年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>给了<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord">b年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>只有当<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>都是<年代p一个nclass="katex"> ±年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>只有当<年代p一个nclass="katex"> b年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>这就导致<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>这是唯一的解。
上面的证明草图可以做得很严谨,但在书面证明中有一些漏洞——特别是,最后一段的前两句话假设<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gaussian-integers/" class="wiki_link" title="高斯整数gydF4y2Ba" target="_blank">高斯整数一个>,复数的形式<年代p一个nclass="katex">
gydF4y2Ba而戒指<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">我年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">]年代p一个n>年代p一个n>确实具有使上述证明严格所需的性质——最值得注意的是,一种唯一分解为不可约元素的形式——其他类似的环不具有相同的性质。
在拳击场上<年代p一个nclass="katex"> Z年代p一个n>年代p一个n>[年代p一个n><年代p一个nclass="mord sqrt">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n>年代p一个n> ]年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>分解成不可约元素不一定是唯一的。例如,<年代p一个nclass="katex-display"> 6年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n>年代p一个n> )年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n>年代p一个n> )年代p一个n>年代p一个n>四个因子都是不可约的(唯一的因子是不可约的)<年代p一个nclass="katex"> ±年代p一个n>年代p一个n>1)。
19世纪,对这种环的错误假设导致了费马大定理的错误证明。这种环的理论本身是美丽而有趣的,但它也有许多应用于实际的整数问题。下面是一些例子:
在上面的例子中,对于许多特定的丢番图方程,通过在大于整数的环中使用算术来寻找解并显示给定的解集是完整的
费马二方定理(使用高斯整数)和拉格朗日四方定理(使用四元数)的证明
更深层次的理解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/law-of-quadratic-reciprocity/" class="wiki_link" title="二次互反性gydF4y2Ba" target="_blank">二次互反性一个>并将其推广到更高层次的互易定律
质数检验(通过例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/lucas-lehmer-primality-test/?wiki_title=Lucas-Lehmer primality test" class="wiki_link new" title="Lucas-Lehmer质数检验gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">Lucas-Lehmer质数检验一个>)和因数分解算法(通过例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-field-sieve/" class="wiki_link" title="数场筛gydF4y2Ba" target="_blank">数场筛一个>)
解析数论
使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-analysis/" class="wiki_link" title="复杂的分析gydF4y2Ba" target="_blank">复杂的分析一个>解决困难的数论问题有着悠久的历史,可以追溯到近200年前的法国数学家狄利克雷。最初的激励问题是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distribution-of-primes/" class="wiki_link" title="质数定理gydF4y2Ba" target="_blank">质数定理一个>,给出了该数的有效渐近估计<年代p一个nclass="katex"> π年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>的质数<年代p一个nclass="katex"> ≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>狄利克雷本人使用复杂分析工具来证明他著名的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dirichlets-theorem/" class="wiki_link" title="定理gydF4y2Ba" target="_blank">定理一个>关于等差数列中的质数密度:他证明了互素正整数的质数密度<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>有无穷多个同余质数<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>国防部<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>但他的实际结果要强得多<年代p一个nclass="katex"> φ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">n年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>质数模的可能同余类<年代p一个nclass="katex"> n年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>狄利克雷证明质数(渐近地)在这些类中平均分布。
gydF4y2Ba解析数论的技术通常可以用以下的一般方式描述:
创建与感兴趣的数论对象(如质数或幂和)相关的复值函数;
使用复杂分析工具(例如,线集成、曲线分析等)<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/residue-theorem/" class="wiki_link" title="残数定理gydF4y2Ba" target="_blank">残数定理一个>,解析/亚纯延拓)来获得函数的解析信息;
发展函数的解析性质与原始数论对象之间的对应关系;
将分析信息转换为希望研究的数论对象的结果(通常是渐近估计)。
该技术的一个经典示例涉及<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-zeta-function/" class="wiki_link" title="黎曼ζ函数gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼ζ函数一个><年代p一个nclass="katex-display"> ζ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个nclass="mrel mtight">=年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>∑年代p一个n>年代p一个n>∞年代p一个n>年代p一个n>n年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">年代年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>在哪里<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>一个复数的实部大于吗<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>表达<年代p一个nclass="katex"> ζ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>作为一个积分,它可以扩展(或“延续”)到复平面上除单极处外的任何地方都有定义的函数<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
质数与质数的关系是通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-zeta-function/" class="wiki_link" title="欧拉积表示gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉积表示一个><年代p一个nclass="katex-display"> ζ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">p年代p一个n><年代p一个nclass="mord text mtight">主要的年代p一个n>年代p一个n>∏年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">p年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">年代年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>著名的,关于价值观的事实<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>的<年代p一个nclass="katex"> ζ年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>对应素数分布的深层事实。有“琐碎的”零<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">4年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">...年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">,年代p一个n>年代p一个n>但是,从解析延拓的形式可以直接看出,其他零点都在这条长条上<年代p一个nclass="katex"> 0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">再保险年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>质数定理等价于这样一种说法即在这条线的边缘上没有零<年代p一个nclass="katex"> 再保险年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
事实上,计算证据表明,所有的零都位于条带的中心,<年代p一个nclass="katex"> 再保险年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">年代年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">;年代p一个n>年代p一个n>这就是著名的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-hypothesis/" class="wiki_link" title="黎曼假设gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼假设一个>.它仍然没有得到解决,它之所以引起人们极大的兴趣,正是因为它暗示了许多关于质数分布的有趣事实,包括对质数定理中给出的估计的准确性的改进。
gydF4y2Ba函数的推广<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dirichlet-series/" class="wiki_link" title="狄利克雷级数gydF4y2Ba" target="_blank">狄利克雷级数一个>可以用来研究别的吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-function/" class="wiki_link" title="算术函数gydF4y2Ba" target="_blank">算术函数一个>也
gydF4y2Ba使用分析技术证明的另一个著名结果(由于Hardy和Littlewood)是对韦林问题中涉及的幂的显式估计:
(Vinogradov)让<年代p一个nclass="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>为正整数。每一个正整数都可以写成<年代p一个nclass="katex"> G年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>非负<年代p一个nclass="katex"> k年代p一个n>年代p一个n>Th次幂,其中<年代p一个nclass="katex"> G年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">≤年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">日志ydF4y2Bag年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">k年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
请参阅有关文章<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/srinivasa-ramanujan/" class="wiki_link" title="RamanujangydF4y2Ba" target="_blank">Ramanujan一个>其他例子。
参考文献
- 戴维斯,J。
Stereoprojzero .检索2007年4月28日,从<一个href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stereoprojzero.svg">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stereoprojzero.svg一个>