连续函数

在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/calculus/" class="wiki_link" title="微积分" target="_blank">微积分,一个连续函数是一个实值函数，其图上没有任何间断或洞。连续性奠定了基础的基础<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/intermediate-value-theorem/" class="wiki_link" title="介值定理" target="_blank">介值定理和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extreme-value-theorem/" class="wiki_link" title="极值定理" target="_blank">极值定理．在某种意义上，它们是可能的“最好的”函数，在实际分析中，许多证明依赖于用连续函数逼近任意函数。

在微积分中，知道函数是否是连续的是至关重要的，因为微分只有在函数是连续的情况下才可能发生。连续性的概念很简单：如果函数的图在某个区间内没有任何中断或漏洞，则称函数在该区间内是连续的。因此，简单地绘制图形可能会告诉您函数是否连续。然而，并非所有函数都容易绘制，有时我们需要使用连续性的定义来确定函数的连续性。连续函数的数学定义如下：

为一个函数 $f (x)$连续在某一点上连续 $x =一个$，必须满足以下前三个条件:

$\四$(我) $f（a）$的存在。

$\四$(2) $\ displaystyle {\ lim_ f (x) {x \ rightarrow}}$的存在。

$\四$(3) $\ displaystyle {\ lim_ f (x) {x \ rightarrow}} = f (a)。$

$\四$(iv)对所有 $\ varepsilon > 0$,存在 $\δ> 0$这样 $|x-a |<\delta，x\neq a$意味着 $\大| f（x）-f（a）\big |<\varepsilon。$

当我们说一个函数 $f$上是连续的 $[a, b],$即对于区间内的所有元素都满足上述条件。但请注意，在试图证明连续性的同时 $[a, b],$我们不必考虑LHL $一个$和生殖卫生图书馆 $b$的左边的点 $一个$在右边 $b$不包括在 $[a, b]。$我们只考虑RHL $一个$和LHL $b。$

这里有一些例题。使用上面的定义，试着确定它们是否是连续的。

是函数 $\ displaystyle {f (x) = \开始{病例}2 x + 1 \ (x < 3) \ \ 3 x - 2结束\ (x \ geq3) \{病例}}$连续为所有 $x \ \ mathbb {R} ?$

---

我们知道 $y = 2 x + 1$和 $3 y = x - 2$是连续的，所以我们只需要看看函数在 $x=3。$程序简单地使用了上面的定义，如下:

(我)自从 $f (3) = 3 \ times3-2 = 7,$ $f (3)$的存在。

(2)为了知道极限是否存在，我们必须从两边检查极限。左边和右边的极限是

$\ \ lim_ {x rightarrow3 ^ {-}} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow3 ^ {-}} (2 x + 1) = 2 \ times3 + 1 = 7 ~ ~{和}~ ~ \ \文本lim_ {x \ rightarrow3 ^ {+}} f (x) = \ lim_ {x \ rightarrow3 ^ {+}} (3 x - 2) = 3 \ times3-2 = 7,$

分别。因为两边的极限相等， $\ \ displaystyle {\ lim_ {x rightarrow3}} f (x)$的存在。

(3)从(i)和(ii)，我们有 $\ \ displaystyle {\ lim_ {x rightarrow3}} f (x) = f (3) = 7,$所以函数在点处是连续的 $x=3。$ $_ \广场$

是函数 $\ displaystyle {f (x) = \{病例}开始x + 1 & (< 2) x ^ 2 \ \ & (x = 2) \ \ 2 x - 1 (x > 2) \{病例}}$连续为所有 $x \ \ mathbb {R} ?$

---

我们知道 $y = x + 1,$ $y = x ^ 2,$和 $y = 2 x - 1$是连续的，所以我们只需要看看函数在 $x=2。$我们再次使用相同的程序，如下所示:

(我)自从 $f (2) = 2 ^ 2 = 4,$ $f (2)$的存在。

(2)左边和右边的极限是

$\开始{对齐}\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow2 ^ {-}}} f (x) & = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow2 ^ {-}}} (x + 1) = 3 \ \ \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow2 ^ {+}}} f (x) & = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow2 ^ {+}}} (2 x - 1) = 3,结束\{对齐}$

分别。因此, $\displaystyle{\lim{x\rightarrow2^{-}}f（x）=\displaystyle{\lim{x\rightarrow2^{+}f（x）=\displaystyle{\lim{x\rightarrow3}f（x）=3。$

(3)从(i)和(ii)，我们有 $\ \ displaystyle {\ lim_ {x rightarrow2}} f (x) \ neq f (2),$所以函数在点处不是连续的 $x=2。$

Imgur

函数的图像会像上图一样。观察有一个“洞”在 $x=2，$这就导致了不连续。 $_ \广场$

是函数 $\ displaystyle {f (x) = \开始{病例}- x ^ 3 + x + 1 \ (x \ leq1) \ \ 2 x ^ 2 + 3 x - 2结束\ (x > 1) \{病例}}$连续为所有 $x \ \ mathbb {R} ?$

---

我们知道 $y = - x ^ 3 + x + 1$和 $y = 2 x ^ 2 + 3 x - 2$是连续的，所以我们只需要看看函数在 $x=1。$

(我)自从 $f (1) = 1,$ $f (1)$的存在。

(2)左边和右边的极限是

$\开始{对齐}\ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow1 ^ {-}}} f (x) & = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow1 ^ {-}}} (- x ^ 3 + x + 1) = 1 \ \ \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow1 ^ {+}}} f (x) & = \ displaystyle {\ lim_ {x \ rightarrow1 ^ {+}}} (2 x ^ 2 + 3 x - 2) = 3,结束\{对齐}$

分别。因为左极限和右极限不相等， $\显示样式{\lim_{x\rightarrow1}}f（x）$不存在，那么功能呢 $f (x)$不是连续的 $x=1。$

Imgur

函数的图像会像上图一样。注意这里有一个断点 $x=1，$这就导致了不连续。 $_ \广场$

是函数 $\displaystyle{f（x）=\begin{cases}-\cosx&（x<0）\\e^x-2&（x\geq0）\end{cases}$连续为所有 $x \ \ mathbb {R} ?$

---

我们知道 $y = - \因为x$和 $e ^ y = x - 2$是连续的，所以我们只需要看看函数在 $x=0。$

(我)自从 $f (0) = e ^ 0 - 2 = 1,$ $f (0)$的存在。

(2)左边和右边的极限是

$\begin{aligned}\displaystyle{\lim{x\rightarrow0^{-}}f（x）=\displaystyle{\lim{x\rightarrow0^{-}}}（-cos x）&=-1\\ displaystyle{\lim{x\rightarrow0^{-}}f（x）=\displaystyle$

分别。因此, $\displaystyle{\lim{x\rightarrow0^{-}}f（x）=\displaystyle{\lim{x\rightarrow0^{+}f（x）=\displaystyle{\lim{x\rightarrow0}f（x）=-1。$

(3)从(i)和(ii)，我们有 $\显示样式{\lim{x\rightarrow2}}f（x）=f（2）=-1，$所以函数在点处是连续的 $x=0。$ $_ \广场$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/intermediate-value-theorem/" class="wiki_link" title="介值定理" target="_blank">介值定理

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extreme-value-theorem/" class="wiki_link" title="极值定理" target="_blank">极值定理

一致连续性是连续性的一个更强的概念。注意在区间连续性的定义中 $我,$我们说,“ $f$必须是连续的吗 $在我从\,$这意味着所有人 $在我从\$对于某些给定的 $\ varepsilon > 0$我们必须能够挑选 $\δ> 0$这样 $| x-x_0 | < \三角洲$意味着 $大| \ f (x) - f(从)\大| < \ varepsilon$. 但是，请注意，对于 $在我x_1、x_2 \$的 $\ delta_ {x_1}$我们选择 $x=x_1$可能不同于 $\ delta_ {x_2}$我们选择 $x=x_2$．均匀连续性允许我们选择一个 $\δ$对所有 $在我x, y \$，这使得均匀连续性的概念比区间上的连续性更强。我们正式定义一致连续性如下:

让 $我\ R子集$．一个函数 $f:I\R\n右箭头$是一致连续的 $我$如果

$\四$(我)对所有 $\ varepsilon > 0$,存在 $\δ> 0$这样对所有人来说 $x、 y\in I，| x-y |<\delta$意味着 $大| \ f (x) - f (y) \大| < \ varepsilon;$

$\四$(2) $对于所有的x,y, I， |x-y， |<，意味着大|f(x)-f(y)，大|< varepsilon。$

换句话说，一个函数 $f$一致连续的，如果 $\δ$是独立于任何特定点的。这种更强的连续性概念有一些非常强大的结果，我们将进一步研究，但首先是一个例子。我们表明, $f (x) = x ^ 2$是一致连续的 $(2、3)$．

让 $\ varepsilon > 0$现在我们要找一些 $\δ> 0$这样对所有人来说 $x, y \[2、3]$如果 $| x - y | < \三角洲$我们有 $大| \ f (x) - f (y) | < \ varepsilon$．考虑一下我们所处的不等式 $[-2,3]:$ $大| \ f (x) - f (y) \大| = \ | x ^ 2 y ^ 2 \大| = | x - y | | x + y | \ leq 9 | x - y |。$因此，似乎采摘 $δ= \ \压裂{\ varepsilon} {9}$也许是个好主意!让我们看看。定义 $δ= \ \压裂{\ varepsilon} {9}$然后假设 $| x - y | < \三角洲,$我们有 $大| \ f (x) - f (y) \大| = \ | x ^ 2 y ^ 2 \大| = | x - y | | x + y | \ leq 9 | x - y | < 9 \δ= 9 \压裂{\ varepsilon} {9} = \ varepsilon。$因此 $f (x) = x ^ 2$是一致连续的 $(2、3)。\ _ \广场$

第一次观察时，连续性和一致连续性似乎相当相似。事实上，他们的定义似乎与我们挑选时所考虑的几乎是一样的。 $\三角洲;$然而，我们将看到，这是一个不同的世界。连续性和一致连续性的形式定义如下:

连续性在 $我:$

对所有 $\ varepsilon > 0$,存在 $\δ> 0$，为所有人 $y\in I，| x-y |<\delta$意味着 $大| \ f (x) - f (y) \大| < \ varepsilon。$

统一的连续性在 $我:$

对所有 $\ varepsilon > 0$,存在 $\δ> 0$，所以 $x、 y\in I，| x-y |<\delta$意味着 $大| \ f (x) - f (y) \大| < \ varepsilon。$

我们之前提到，均匀连续性是一个比连续性更强的概念;我们现在证明，一致连续性实际上意味着连续性。

如果 $f$是一致连续的 $我\ R子集,$然后 $f$上是连续的 $我$．

证明:假设 $f$是一致连续的 $我\ R子集$，就是这样 $我$我们都知道 $\ varepsilon > 0$,存在 $\δ> 0$这样对所有人来说 $x、 y\in I，| x-y |<\delta$意味着 $大| \ f (x) - f (y) \大| < \ varepsilon$．让 $在我从\$,让 $\ varepsilon > 0$，然后我们现在寻找 $\δ> 0$这样 $| x-x_0 | < \三角洲$意味着 $大| \ f (x) - f(从)\大| < \ varepsilon$．通过假设 $f$是否一致连续，因此存在 $\δ> 0$，所以 $x、 y\in I，| x-y |<\delta$意味着 $大| \ f (x) - f (y) \大| < \ varepsilon$因此选择了这个 $\δ$确保 $| x-x_0 | < \三角洲$意味着 $大| \ f (x) - f(从)\大| < \ varepsilon$．因此，一致连续性意味着连续性。 $_ \广场$

现在我们考虑相反的情况。连续性意味着一致连续性吗?我们看一下，假设连续性意味着一致连续性。这意味着对于函数 $f (x) = \压裂{1}{x}$这确实是持续的 $(0 \ infty)$我们会有这个的 $f (x) = \压裂{1}{x}$是一致连续的 $(0 \ infty)$．让 $\ varepsilon = 1$，并定义两个序列 $(x_n) _ {n = 1} ^ {\ infty},(最大)_ {n = 1} ^ {\ infty} \ R子集$,在那里 $x_n = \压裂{1}{n}$和 $最大= \压裂{1}{n ^ 2}$和注意, $\lim\limits_{n\rightarrow \ inty} x_n= 0 . \lim\limits_{n\rightarrow \ inty}y_n=0$．所以我们有 $大| \ f (x_n) - f(最大)\大左| | = \ \压裂{1}{\水平间距{2毫米}\压裂{1}{n} \水平间距{2毫米}}- \压裂{1}{\水平间距{2毫米}\压裂{1}{n ^ 2} \水平间距{2毫米}}\右大| | = \ n n ^ 2 \大大| | = \ n ^ 2 n \大|。$我们看到 $n > 2$我们有 $大| \ f (x_n) - f(最大)\大| > 1,$这与我们的假设相矛盾 $f$是一致连续的。因此，我们知道连续性并不意味着一致连续性。

然而，并不是所有的希望都破灭了。我们可以给连续函数加上一个条件 $f$要使其一致连续，我们需要 $f$连续在封闭的有界区间上连续的

如果 $f$上是连续的 $[a, b] R \子集,$在哪里 $[a, b]$是封闭且有界的，那么 $f$是一致连续的 $[a, b]$．

证明我们假设有一个矛盾 $f$上是连续的 $[a, b] R \子集,$在哪里 $[a, b]$是封闭和有界的，然后呢 $f$是不一致连续在 $[a, b]$，这意味着 $| x - y | < \三角洲$但 $\大| f（x）-f（y）\big |\geq\varepsilon$．让 $\ varepsilon > 0,$选择 $\delta_n=\frac{1}{n}，$和定义 $间{\ delta_n} = x_n$和 $y_ {\ delta_n} =最大$．注意这些序列是有界的，因为它们在 $[a, b]$因此根据bolzano - weerstrass定理得到了子序列 $(间{n_k})$必须收敛于 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=c\in[a，b]$．此外,我们有 $|间{n_k} -y_ {n_k} | < \压裂{1}{n_k},$根据夹逼定理 $} y {n_k} = c . {n_k}$．通过连续性 $f$在 $[a, b]$我们有 $lim \ \ limits_ {k \ rightarrow \ infty} f(间{n_k}) = f (c) = \ lim \ limits_ {k \ rightarrow \ infty} f (y_ {n_k}),$但后来 $lim \ \ limits_ {k \ rightarrow \ infty} f(间{n_k}) - f (y_ {n_k}) = 0$这与 $大| \ f(间{n_k}) - f (y_ {n_k})大| \ \组\ varepsilon,$所以我们假设 $f$不是一致连续的就是有缺陷的，所以我们有这个 $f$是一致连续的 $[a, b]$． $_ \广场$

然而，还有一种更强的连续性，叫做李普希茨连续性。定义如下:

让 $我\ R子集$和 $f:I\R\n右箭头$，然后我们说 $f$如果存在Lipschitz是否连续 $k\n在R中，k>0$这样对所有人来说 $在我x, y \$我们有 $大| \ f (x) - f (y)大| \ \ leq k | x - y |$．

随着更强的连续性概念意味着更弱的连续性概念的趋势，我们表明李普希茨连续性意味着一致连续性。

如果 $f$Lipshitz是连续的吗 $[a, b] R \子集,$然后 $f$是一致连续的 $[a, b]$．

证明:假设 $f$Lipshitz是连续的吗 $[a, b] \ R子集$因此根据定义存在 $k\n在R中，k>0$这样对所有人来说 $在我x, y \$我们有 $大| \ f (x) - f (y)大| \ \ leq k | x - y |$．让 $\ varepsilon > 0$并选择 $δ= \ \压裂{\ varepsilon} {k}$．然后是所有人 $在x, y \ [a, b]$在哪里 $| x - y | < \三角洲$那 $大| \ f (x) - f (y)大| \ \ leq k | x - y | < k \压裂{\ varepsilon} {k} = \ varepsilon$因此 $f$是一致连续的 $[a, b]$．

这为什么有用呢?一方面，我们可以利用一致连续性的性质来证明可积函数的性质。

符号

• 一个分区的 $[a, b]$这是一个有序的列表 ${a = p_0$在 $[a，b]中的0\leq i\leq k，\，p\u i\n。$
• $P | | | |$是分区的规范。
• $U (f P)$指定义为的上求和 $U (f P) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \一口\大\ {f (x): x \ [p_ {k - 1}, p_k]大\ \}(p_k-p_ {k - 1});$我们说 $M_k= sup\big\{f(x):x \in [p_{k-1}，p_k] \big\}。$
• $L (f P)$指定义为的下求和 $L（f，P）=\sum{k=1}{n}\inf\big\{f（x）：x\in[P{k-1}，P{k]\big\}（P{k-P{k-1}）；$我们说 $M_k = inf\big\{f(x):x \in [p_{k-1}，p_k] \big\}。$

让 $[a, b] \ R子集$和 $f:[a，b]\R右箭头$，然后我们说 $f$上的黎曼可积吗 $[a, b]$如果对所有 $\ varepsilon > 0$，存在一个分区 $P$的 $[a, b]$这样 $U（f，P）-L（f，P）<\varepsilon$．

如果 $f$上是连续的 $[a, b] R \子集,$然后 $f$上的黎曼可积吗 $[a, b]$．

证明:假设 $f$上是连续的 $[a, b] \ R子集$．我们现在向所有人展示 $\ varepsilon > 0$我们可以做 $U (f P)$和 $L (f P)$在 $\ varepsilon$也就是说， $U (f P) - l (f P) < \ varepsilon$．让 $\ varepsilon > 0$请注意 $f$是连续的吗 $f$是一致连续的 $[a, b]$就这样存在着 $\δ> 0$这样对所有人来说 $在x, y \ [a, b]$意味着 $大| \ f (x) - f (y) \大| < \压裂{\ varepsilon} {b}$，所以我们选择这样的分区 $| | |页| < \三角洲$．所以我们有 $U (f P) - l (f P) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} M_k (p_k-p_ {k - 1}) - \ sum_ {k = 1} ^ {n} M_k (p_k-p_ {k - 1}) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} (M_k-m_k) (p_k-p_ {k - 1})。$注释自 $f$我们知道存在连续的吗 $c_k, d_k \ [p_ {k - 1}, p_k), 0 \ leq我\ leq n、f (c_k) = M_k, f (d_k) = M_k,$所以我们有 $U（f，P）-L（f，P）=\sum{k=1}{n}\big（f（c{k）-f（d{k）\big）（P{k-P{k-1}）。$自从 $| | |页| < \三角洲$， $（f，P，P）P-L（f，f，P，P）P-P-P（f，P，P-P-P，P-P-P（f，P，P-P-P，P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-}（b-a）=\varepsilon。$注意我们说的最后一步 $\ sum_ {k = 1} ^ {n} (p_k-p_ {k - 1}) = b$使用可伸缩和属性。因此，我们有if $f$上是连续的 $[a, b] R \子集,$然后 $f$上的黎曼可积吗 $[a, b]$． $_ \广场$