为了理解定理的精确表述,定义
π(x)是质数计数函数,其质数个数小于或等于
x,对于任何实数
x.例如,
π(10)=4因为有4个质数(2,3,5,7)小于或等于10。这是一个著名的结果那
limx→∞π(x)=∞.下一个自然要问的问题是,“有多快
π(x)去无穷?”质数定理给出了答案:以相同的速率
ln(x)x,即。
x→∞limln(x)xπ(x)=1,
或者用渐近符号表示,
π(x)∼lnxx.
注意,这种表示法(和定理)没有说任何关于两个函数的差的极限
x→∞.事实上,这个差值趋于无穷大
x增加。这个定理说的是这个差值趋于无穷更慢比
lnxx所做的事。
这个函数
李(x)=∫2xln(t)dt实际上是更接近的
π(x).这是一个简单的微积分练习
李(x)∼ln(x)x,所以
李(x)∼π(x)也关于大小的更精确的表述
π(x)使用
李(x).下面是一个比较这些函数值的表,其中相对误差是计算
π(x)⌊李(x)⌋−π(x):
x |
π(x)
|
⌊李(x)⌋
|
相对误差
|
10 |
4 |
5 |
25% |
102 |
25 |
29 |
16% |
103. |
168 |
177 |
5.4% |
104 |
1,229 |
1,245 |
1.3.% |
105 |
9,592 |
9,63.0 |
0.4% |
106 |
78,498 |
78,628 |
0.2% |
107 |
664,579 |
664,917 |
0.05% |
108 |
5,761,455 |
5,762,208 |
0.01% |
109 |
50,847,53.4 |
50,849,23.4 |
0.003.% |
质数定理等价于
nth质数
pn满足
pn∼nln(n),
渐近符号的意思是这个近似的相对误差接近
0作为
n趋向于无穷。
让
c>1做一个实数。证明它足够大
x,中间总有一个质数
x而且
cx.
我们有
π(cx)∼ln(cx)cx∼ln(x)cx∼cπ(x).
所以
limx→∞π(x)π(cx)=c,因此
π(x)π(cx)>1足够大的
x.
□
为
c=2,这个命题被称为伯特兰公设;使用更精确的估计
π(x),我们可以证明两者之间总是有一个质数
x而且
2x为
x>3..
1
2
3.
大于3的有限数
∞
这个无限数列中有多少个数是完全平方数?
0!,1!,2!,3.!,...
奖金:试着证明你的答案!
从经典的证明狄利克雷定理对于等差数列中的素数,我们知道对于任何正整数
n,质数在约简残类中近似均匀分布
n(即,相对于
n).例如,减少剩余类模
10分别是1 3 5和7,大家会这么想吗
41在所有以1结尾的质数中,
41以3结束,以此类推。
一般来说,对
41小于的质数
n分别以1、3、7和9结束。如果我们认为连续质数对的最后一个数字小于,
n=100000?
令人惊讶的是,在2016年,数学家罗伯特·莱姆克·奥利弗(Robert Lemke Oliver)和坎南·桑达拉詹(Kannan Soundarajan)发现这种平均分布并不会持续,至少对于相对较小的情况
x,当人们考虑到的分布双连续质数的模
n.例如,考虑质数对模的分布
3..让
π(x;(我,j)):=#连续的质数对(p,问)这样p≡我米od3.而且问≡j米od3..
如果质数确实是随机的,我们可能会期望极限比例
x→∞limπ(x)π(x;(1,1))=x→∞limπ(x)π(x;(1,2))=x→∞limπ(x)π(x;(2,1))=x→∞limπ(x)π(x;(2,2))=41.
但数字证据表明情况并非如此,至少考虑到相对较小的规模
x!在前100万个质数(不包括2)中,可以看到不稳定的分布
π(106;(1,1))π(106;(1,2))π(106;(2,1))π(106;(2,2))=215873.=283.957=283.957=216213..
这些数字与期望值相差很大
250000每一个人。
Lemke Oliver和Soundarajan也观察到这种差异也存在于其他基地,比如10号基地。他们对这些偏差猜测了一个解释,但这个猜测还没有得到证实。
对于每一个整数
2≤k≤n,选择除数
dk的
k的除数集中均匀随机的
k.我们表示
P(n)的概率
d2+d3.+⋯+dn
能被32整除。
令人惊讶的是,存在一个正整数
N对于所有人来说
n≥N的价值。
P(n)是完全
3.21.最小的是什么?
N这是真的吗?