许多算术函数可以表示为其参数的正散管上的其他功能的总和:GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Baσ.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。在这种情况下,可以解决GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba在价值观方面GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba;一般解决方案结果由Möbius函数提供。GydF4y2Ba
以下引理解释了为什么Möbius函数是如此基础:GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba{GydF4y2Ba1GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba如果GydF4y2BaN.GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba如果GydF4y2BaN.GydF4y2Ba>GydF4y2Ba1GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
什么时候GydF4y2Ba
N.GydF4y2Ba>GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba让GydF4y2Ba
N.GydF4y2Ba=GydF4y2BaP.GydF4y2Ba1GydF4y2Baα.GydF4y2Ba1GydF4y2BaP.GydF4y2Ba2GydF4y2Baα.GydF4y2Ba2GydF4y2Ba⋯GydF4y2BaP.GydF4y2BaR.GydF4y2Baα.GydF4y2BaR.GydF4y2Ba(GydF4y2Ba
α.GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba≥GydF4y2Ba1GydF4y2Ba对全部GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba......GydF4y2Ba那GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Ba那GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba=GydF4y2BaP.GydF4y2Ba1GydF4y2BaβGydF4y2Ba1GydF4y2BaP.GydF4y2Ba2GydF4y2BaβGydF4y2Ba2GydF4y2Ba⋯GydF4y2BaP.GydF4y2BaR.GydF4y2BaβGydF4y2BaR.GydF4y2Ba和GydF4y2Ba
0.GydF4y2Ba≤.GydF4y2BaβGydF4y2Ba一世GydF4y2Ba≤.GydF4y2Baα.GydF4y2Ba一世GydF4y2Ba为了GydF4y2Ba
一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba......GydF4y2Ba那GydF4y2BaR.GydF4y2Ba。GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba
βGydF4y2Ba一世GydF4y2Ba≥GydF4y2Ba2GydF4y2Ba对于一些GydF4y2Ba
一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba......GydF4y2Ba那GydF4y2BaR.GydF4y2Ba那GydF4y2Ba然后GydF4y2Ba
μ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba。所以,GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaβGydF4y2Ba一世GydF4y2Ba=GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba要么GydF4y2Ba1GydF4y2Ba(GydF4y2BaβGydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba......GydF4y2Ba那GydF4y2BaβGydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaP.GydF4y2Ba1GydF4y2BaβGydF4y2Ba1GydF4y2Ba⋯GydF4y2BaP.GydF4y2BaR.GydF4y2BaβGydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba-GydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba+GydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba-GydF4y2Ba⋯GydF4y2Ba+GydF4y2Ba(GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2BaR.GydF4y2Ba(GydF4y2BaR.GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2BaR.GydF4y2Ba=GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
下次上次平等GydF4y2Ba二项式定理GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
(GydF4y2Ba二项式系数GydF4y2Ba
(GydF4y2BaK.GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba在上面的等式中,计算产品的因素GydF4y2Ba
K.GydF4y2Ba有明显的素数,有一个GydF4y2Ba
μ.GydF4y2Ba的价值GydF4y2Ba
(GydF4y2Ba-GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2BaK.GydF4y2Ba。GydF4y2Ba)GydF4y2Ba
什么时候GydF4y2Ba
N.GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba那GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba。GydF4y2Ba□GydF4y2Ba
写作GydF4y2Ba
E.GydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba作为引理的平等右侧的功能,以及定义GydF4y2Ba
1GydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Ba1GydF4y2Ba,引理可以用语言更加紧凑地写成GydF4y2BaDirichlet卷积GydF4y2Ba:GydF4y2Ba
μ.GydF4y2Ba*GydF4y2Ba1GydF4y2Ba=GydF4y2BaE.GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
因此,如果GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba和GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba是算术函数,使其如此GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Baσ.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba, 要么GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba=GydF4y2BaGGydF4y2Ba*GydF4y2Ba1GydF4y2Ba, 然后GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba*GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba=GydF4y2Ba(GydF4y2BaGGydF4y2Ba*GydF4y2Ba1GydF4y2Ba)GydF4y2Ba*GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba=GydF4y2BaGGydF4y2Ba*GydF4y2Ba(GydF4y2Ba1GydF4y2Ba*GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaGGydF4y2Ba*GydF4y2BaE.GydF4y2Ba=GydF4y2BaGGydF4y2Ba。GydF4y2Ba
这被称为GydF4y2BaMöbius反演GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
让GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba和GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba是算术函数,这样GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2Baσ.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba对全部GydF4y2Ba
N.GydF4y2Ba。然后GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
这是一个明确的证明,不使用Dirichlet卷积的语言;在这个证据中完成的工作基本上是Dirichlet卷积是关联的证据的特殊情况。考虑GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba/GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2BaR.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Ba/GydF4y2BaD.GydF4y2Baσ.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaR.GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaR.GydF4y2Ba那GydF4y2BaD.GydF4y2Baσ.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaR.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Ba⎝GydF4y2Ba⎛GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Ba/GydF4y2BaR.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba⎠GydF4y2Ba⎞GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaR.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba那GydF4y2Ba
但括号中的总和是GydF4y2Ba
0.GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba
R.GydF4y2BaGydF4y2Ba=GydF4y2BaN.GydF4y2Ba和GydF4y2Ba
1GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba
R.GydF4y2Ba=GydF4y2BaN.GydF4y2Ba,由雷玛,所以这等于GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
□GydF4y2Ba
D.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2Baσ.GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaN.GydF4y2Ba
如果GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba是一个算术函数,使得上面的等式保持所有正整数GydF4y2Ba
N.GydF4y2Ba, 寻找GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2Ba2GydF4y2Ba0.GydF4y2Ba1GydF4y2Ba5.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。GydF4y2Ba
符号:GydF4y2Ba
μ.GydF4y2Ba表示möbius函数。GydF4y2Ba
也有一个乘法版本的Möbius反演,证明了同样的方式:GydF4y2Ba
让GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba和GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba是算术函数,这样GydF4y2Ba
FGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaπGydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaGGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。然后GydF4y2Ba
GGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaπGydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba/GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba=GydF4y2BaD.GydF4y2Ba|GydF4y2BaN.GydF4y2BaπGydF4y2BaFGydF4y2Ba(GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Baμ.GydF4y2Ba(GydF4y2BaN.GydF4y2Ba/GydF4y2BaD.GydF4y2Ba)GydF4y2Ba。GydF4y2Ba