弧长

的弧长公式使用的语言微积分推广和解决几何中的一个经典问题:求任意曲线的长度。给定一个函数 $f$它是有定义的，在区间上是可微的 $(一,\ b)$,长度 $l$曲线的 $y = f (x)$在这个区间内 $L = \ int_{一}^ {b} \√6{1 + \离开(\压裂{dy} {dx} \右)^ 2}\ dx。$

注意，同样的公式也适用于piecewise-differentiable功能通过在不可微点上分割积分区间。这意味着这个公式对于分段线性函数是成立的;事实上，这个公式源于这些分段线性函数能够模拟更复杂(或更弯曲)的函数。

有两种直观的方法来理解上面的公式。这两种方法都可以被完全严格地证明，但关于这一点，请参阅下一节。

问题的关键在于线段 $Y = mx + b$从 $x$来 $x + w$长度 $w^2 + (wm)^2 = w^2 + (wm)^2$．

以下几节旨在说明这一点 $（1）$用分段线性函数逼近函数是可能的，并且 $（2）$无论一个函数如何用分段线性函数来建模，弧长都是相同的。

$（1）$第一种方法是选择分布在函数上的许多点，并在这些点上画出函数的切线。通过选择足够多的点，总是有可能使后续的切线相交(即，不平行)。切线交点之间的线段提供了函数本身的粗略估计，因此也提供了函数长度的粗略估计(这是很容易计算的!)

3条切线近似曲线。

如果切线有斜率 $M_1， \， m_2， \，点，\，m_n$和宽度 $W_1， \， w_2， \， \导，\，w_n$，则切线结构的长度为 $(1 + (m_i)^2})^ n(√{1 + (m_i)^2})$回忆每一个 $m_i$是 $\ tfrac {dy} {dx}$函数和每一个 $w_i$是不同的 $x$，这个公式看起来非常类似于上面的公式(只是求和而不是积分)。事实上,正如 $n$长得非常大，它们变得平等。

直觉上，这是有道理的。切线在函数切点附近可以很好地模拟函数，因此切线的长度也可以很好地模拟函数的弧长。形式化这种方法的主要困难是，为了保持“接近”函数，随后的切线应该在它们的切点之间相交(这也允许在两者之间更自然地转换) $w_i$的年代, $x_i$的)。这个问题可以通过在切线不在函数附近的地方选择更多的点来解决。

$（2）$第二种方法是选择在函数中有规律分布的点，并用线段将它们连接起来。如果间隔有长度 $W = b - a$,然后 $n + 1$可以根据规则选择分数 $xk = a + k \cdot \left(\frac{b-a}{n} \right)$和 $xk y_k = f ()$．然后，连线 $求和(\ xk k)$和 $(间{k + 1} \, y_ {k + 1})$既是函数本身的近似值，又是as $n$变大时，函数的切线的近似值 $x = xk$．

3条线段逼近曲线。

的 $k ^ \文本{th}$线段有长度 $大概{1 + \ \离开(\压裂{y_求和{k + 1} - k}{间{k + 1} - xk} \右)^ 2}\ cdot(间{k + 1} - xk)$．对所有段求和， $\ \ sum_ {k = 1} ^ n i{1 + \离开(\压裂{y_求和{k + 1} - k}{间{k + 1} - xk} \右)^ 2}\ cdot(间{k + 1} - xk),$得到一个很像黎曼和(积分的另一种表达方式)的表达式。回忆, $\frac{y_{k+1} - y_k}{x_{k+1} - x_k}$是函数的导数(切线的斜率)的近似值，结果看起来非常像上面的公式。作为 $n$当值变大时，它们实际上是相等的。

直观地说，这种近似方法是非常直接和几何的。它试图根据函数本身的值(没有额外的信息)用一堆线段来近似函数。它假定函数的长度确实可以用许多小线段来很好地建模

这两种方法 $（1）$和 $（2）$取一个函数并尝试将它分解成一系列相连的线段(多边形路径)。这假设曲线的长度等于一系列多边形路径长度的极限。令人高兴的是，这是曲线长度的主要定义，而那些长度不能用这种方法测量的曲线被称为unrectifiable．

求曲线的长度 $\ displaystyle y = 1 + 6 x ^{\压裂{3}{2}},$ $0 \leq x \leq 1。$

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请注意 $\开始{数组}{c} \ displaystyle{\压裂{dy} {dx}} = 9 x ^{\压裂{1}{2}}& \ Rightarrow & 1 + \离开(\压裂{dy} {dx} \右)^ 2 = 1 + 81 x,结束\{数组}$所以弧长公式给出了 $L = \ int_ {0} ^ {1} \ sqrt {1 + 81 x} \, dx。$替换 $u = 1 + 81 x$和 $du = 81 \, dx$，请注意 $x = 0,$ $u = 1;$当 $x = 1,$ $u = 82。$因此, $L = \ int_{1} ^{82}你^{\压裂{1}{2}}\离开(\压裂{1},{81}\ du \右)= \压裂{2}{243}左\ [u ^{\压裂{3}{2}}\右]_{1}^{82}= \压裂{2}{243}82 \√{82}1)。\ _ \广场$

这一结果的主要证据与上述两种方法有共同之处，但其核心是对第二种方法的阐述。

假设有一条曲线 $C$是由方程定义的 $y = f (x),$的函数 $f$是连续的 $A \leq x \leq b，$然后分割间隔 $[a, b]$成 $n$个子区间的端点 $X_0 x_1 ldots x_n$平等的宽度 $\δx。$自 $y_i = f (x_i),$这一点 $P_i = (x_i y_i)$躺在 $C$以及连接两个相邻点的线段 $P_0、P_1 \ ldots P_n,$如上所示，都是近似值 $C。$

长度 $l$的 $C$大概是这些线段长度的和。因此，可以定义长度 $l$曲线的 $C$与方程 $y = f (x),$ $A \leq x \leq b，$为这些线段长度总和的极限:

$L = \ lim_ {n \ \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ lvert {P_张{}P_i} \ rvert \ qquad (1)$

在哪里 $张\ lvert {P_ {} P_i} \ rvert$为两点之间的距离 $张P_ {}$和 $P_i。$

让 $张\三角洲y_i = y_i-y_ {},$然后

$张\ lvert {P_ {} P_i} \ rvert = \√6 {(x_i-x_张{})^ 2 + (y_i-y_张{})^ 2}= \√6{(\δx) ^ 2 +(\δy) ^ 2}。$

通过应用中值定理来 $f$的时间间隔 $张(间的{},x_i],$注意这里有一个数字 ${x_i} ^ {*}$之间的 $张间{}$和 $x_i$这样

$f (x_i) - f(间张{})= f ({x_i} ^ {*}) (x_i-x_张{}),$

即。 $y_i=f'({x_i}^{*})$因此,

${对齐}\ \开始lvert {P_张{}P_i} \ rvert & = \√6{\δx ^ 2 +(\δy) ^ 2} \ \ & = \√6{\δx ^ 2 + (f ({x_i} ^{*}) \δx ^ 2} \ \ & = \√{1 + (f ' ({x_i} ^{*})) ^ 2} ~ \δx。\{对齐}结束$

因此,通过定义 $(1)，$

$L = \ lim_ {n \ \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ lvert {P_张{}P_i} \ rvert = L = \ lim_ {n \ \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \√6 {1 + (f ({x_i} ^{*})) ^ 2} ~ \δx。$

根据定义定积分，这个表达式等于

$\ int_{一}^ {b} \√6 {1 + (f (x)) ^ 2} \, dx。$

因此,通过使用莱布尼茨的符号对于导数，弧长公式变成

$L = \ int_{一}^ {b} \√6{1 + \离开(\压裂{dy} {dx} \右)^ 2}\,dx。$

求曲线的弧长

$y = \压裂{一}{2}\离开(e ^{\压裂{x}{一}}+ e ^{\压裂{- x}{一}}\右)$

之间的 $x = 0$和 $x =一个$．

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请注意, $y = \ cosh \离开(\ dfrac {x} {} \) \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} = \ sinh \离开(\ dfrac {x}{} \右)$(使用链式法则） .现在,

$大概{1 + \ \离开(\ dfrac {dy} {dx} \右)^ 2}= \√6 {1 + \ sinh ^ 2 \离开(\ dfrac {x}{} \右)}= \左| \ cosh \左(\ dfrac {x}{} \) \ |。$

弧的长度 $x = 0$来 $x =一个$的积分为: $\ displaystyle \ int_{0} ^{一}\ cosh \离开(\ dfrac {x} {} \) \ dx。$

替代 $y= a \ dy . y= a \ dy . y= a \ dy$随着极限的改变，积分变成 $大\[大\ sinh (y) \] _ {0} ^ {1} = a \ sinh (1) = \ dfrac{\大(e ^ 2 - 1 \大)}{2}。\ _ \广场$

(见维基百科全文在这里．）

弧长 $l$一个参数函数的图 $(x, y) = \离开(x (t), y (t) \右)$从 $t =一个$来 $t = b$是由

$大概{b L = \ int_a ^ \ \离开(\压裂{dx} {dt} \右)^ 2 + \离开(\压裂{dy} {dt} \右)^ 2}\,dt。$

这很容易遵循前面的讨论，通过替换 $Dx = frac{Dx}{dt}， dt$．形式上，同样的证明方法也适用。

(见维基百科全文在这里．）

弧长 $l$极坐标函数的图像 $r(\θ)$从 $t =一个$来 $t = b$是由

$L = \ int_a ^ b \√6 {r ^ 2 + \离开(\压裂{博士}{θd \} \右)^ 2}\,d \θ。$

这个公式直接从参数形式推导出来，注意到参数是 $\θ$和 $X '() = frac{d}{d '() left(r() \cos () right) = r'() cos () - r() sin ()， y'() = frac{d}{d '(r() left(r() sin () + r() cos ())$

• 加布里埃尔的角
• 参数的弧长
• 极弧长
• 旋转体积(盘的方法和壳层法）