参数Arclength

参数Arclength曲线的长度是由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/parametric-equations-basic-shapes/" class="wiki_link" title="参数方程" target="_blank">参数方程．例如，右边图像中的曲线就是参数方程的图形 $X (t) = t²+ t$而且 $Y (t) = 2t - 1$与参数 $t$．我们可以求出两点之间的曲线的弧长 $t = - \压裂{1}{2}$而且 $t = 1$，如右图中较粗的红色曲线所示。

广义的，一个参数弧开始于一个参数曲线 $R \ mathbb {} ^ 2$．这是由一些参数方程给出的 $x (t)$， $y (t)$，其中参数 $t$在某个给定的区间内。下面的公式计算两点之间的弧长 $a、b$．

考虑一个参数曲线 $(x (t), y (t))$,在那里 $t \ [a, b]$．曲线所示的弧的长度 $t$范围在 $[a, b]$是 $\int_{a}^{b} \√{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \， dt。$

考虑由参数方程给出的曲线 $x (t)$， $y (t)$,在那里 $t$范围在 $[0, 1]$．为了计算这条曲线的圆弧，我们可以用多边形路径近似这条曲线，并在这些路径变得更精细时取其长度的极限。

平面上的曲线，近似于由直线段组成的多边形路径。

如果 $0 \le t_1 < t_2 \le 1$，直线段之间 $(x (t_1), y (t_1)$而且 $(x (t_2), y (t_2))$长度 $\√{(x(t_1) - x(t_2))^2 + (y(t_1) - y(t_2))^2}。$使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/mean-value-theorem/" class="wiki_link" title="中值定理" target="_blank">中值定理,有 $C, d \in (t_1, t_2)$这样 $X (t_2) - X (t_1) = (t_2 - t_1) X '(c)，$ $Y (t_2) - Y (t_1) = (t_2 - t_1) Y '(d)$因此，这条线段的长度等于 $(t_2 - t_1) \√{x'(c)^2 + y'(d)^2}。$随着 $t_1$而且 $t_2$被做得更近(为了使接近曲线的线段更短)，这接近元素 $\√{x'(t)^2 + y'(t)^2} \， dt。$因此，曲线的弧长除以 $[0, 1]$是 $\int_{0}^{1} \√{x'(t)^2 + y'(t)^2} \， dt。$

特别是,如果 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是可微的吗 $f$可以参数化为 $T \mapsto (T, f(T))$．然后，这个图的线段的圆弧以 $(f ())$而且 $(b, f (b))$= $\int_{a}^{b} \√{1+(f'(t))^2} \， dt。$

假设 $y = f (x)$旋转 $x$-轴获得固体。根据上面的弧长公式，这个图的无穷小的弧长在某点 $x \ \ mathbb {R}$是 $\ sqrt {1 + (f (x)) ^ 2} \, dx$．当这个曲线的弧线绕 $x$-轴时，所形成的固体是一个表面积无穷小的圆柱体 $2\ f(x) \√{1+(f'(x))^2} \， dx$．将其在所需区间内积分，得到如下公式。

让 $\γ$表示图形的圆弧 $y = f (x)$以点为界 $(f ())$而且 $(b, f (b))$．旋转形成的固体表面积 $\γ$关于 $x$设在是 $2\pi \int_{a}^{b} f(x) \√{1+(f'(x))^2} \， dx。$