壳层法
的壳层法是一种计算旋转固体体积的方法。它考虑的是区域的垂直切片,而不是水平切片,因此它可以极大地简化某些更容易描述垂直切片的问题。
总结
的壳层法是一种通过将旋转固体分解成圆柱壳来求体积的方法。考虑平面上的一个区域,它被分割成垂直的细条。如果每条竖条都绕着 -轴,然后垂直条生成一个磁盘,如我们在<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/volume-of-revolution-disc-method-easy/?subtopic=applications-of-integration&chapter=volume-of-revolution">磁盘的方法一个>.但是,如果这条垂直的细条绕着 -轴,我们得到一个不同的旋转物体,看起来像一个圆柱形的壳,或者一个去掉顶部和底部的空易拉罐。圆柱壳的体积等于圆柱的表面积乘以圆柱壁的厚度,即
壳体法通过将这些薄圆柱壳的体积与厚度相加来计算全旋转固体的体积 去 在极限下:
注意,旋转轴和积分变量在不同的轴上,也就是说,即使我们对 -轴,我们实际上是在绕 设在。
基本的例子
用壳层方法求出旋转区域所产生的体积 , , , 关于 设在。
shell方法对应于围绕 设在)。
在这种情况下,圆柱壳的半径为 高度是 .从的端点开始 -区间的固体 而且 ,固体的体积为
用壳层方法求出旋转区域所产生的体积 而且 关于 设在。
shell方法对应于围绕 设在)。
这两个图相交于这两点 而且 .
圆柱壳的半径为 高度是 .因此,固体的体积为
使用<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/volume-of-revolution-disc-method-easy/?subtopic=applications-of-integration&chapter=volume-of-revolution">磁盘的方法一个>,我们学过如何求半径球的体积 .用壳层法求半径球的体积 有一个垂直的半径孔 在球体的中心钻孔。
圆柱壳半径为 圆柱壳的高度是 那么圆柱壳的体积是
现在,由于垂直孔的半径 是钻孔穿过中心,端点的吗 -区间的固体 而且 ,这就给出
什么时候使用shell方法?
有时很难区分使用圆盘法还是壳层法。许多人不喜欢壳方法,因为他们不明白发生了什么。因此,他们几乎只尝试使用磁盘方法。
然而,在一些实例中,shell方法要简单得多:
- 当函数 是围绕 设在。
- (绕着 -轴)当图形不是上的函数时 ,不过是一个函数而已 .
- 当 很难整合但是 易于集成(特别是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-by-parts/" class="wiki_link" title="分部" target="_blank">分部一个>).
让我们来看一些例子。
1.当函数 围绕 设在:
壳层法会得到一个直接的答案,但圆盘法要求我们计算出如何计算相应的体积。
确定固体的体积时所得到的区域为 ,直线 ,以及 -轴围绕 设在。
(shell方法对应于使用红色矩形,而disk方法对应于使用蓝色矩形。)
通过shell方法,如 取值范围为0 ~ 1,对应的半径为 高度是 .因此,体积为
如果我们想使用圆盘法,我们将用旋转单位正方形得到的圆柱体,然后减去它所包围的区域 和 -轴,绕 设在。这给了我们
2.当图形不是一个函数时 ,不过是一个函数而已 :
壳层法可以直接得到答案,但圆盘法要求我们求出所有对应的函数。
确定固体的体积时所得到的区域为 围绕 设在。
(贝壳方法对应于使用红色矩形,而圆盘方法对应于使用蓝色矩形减去黄色矩形。)
当 .当 .作为 取值范围为0 ~ 1, 取值范围为1 ~ 3。
注意,我们有一个关于 .使用shell方法,如 取值范围为1 ~ 3,对应的半径为 ,壳层高度为 .因此,体积为
如果我们想要使用圆盘法,我们必须取“顶部曲线”产生的体积,然后减去“底部曲线”产生的体积。我们需要计算如下函数: ,或 ,所以 .所以,“顶部曲线”是 “底部曲线”是 .
那么,体积就等于
用壳层法求旋转体积可以解决如下问题: