这一结果的主要证明与上述两种方法有一些共同之处,但其核心是对第二种方法的阐述。
假设有一条曲线
C是由方程定义的
y=f(x),其中函数
f是连续的
一个≤x≤b,然后划分区间
[一个,b]成
n带端点的子区间
x0,x1,...,xn宽度相等
Δx.自
y我=f(x我),这一点
P我=(x我,y我)躺在
C和连接相邻两点的线段
P0,P1,...,Pn,的近似值
C.
长度
l的
C近似等于这些线段长度的和。因此,可以定义长度
l曲线的曲线
C用这个方程
y=f(x),
一个≤x≤b,作为这些线段长度之和的极限:
l=n→∞lim我=1∑n∣P我−1P我∣,(1)
在哪里
∣P我−1P我∣表示两点之间的距离
P我−1而且
P我.
让
Δy我=y我−y我−1,然后
∣P我−1P我∣=(x我−x我−1)2+(y我−y我−1)2
=(Δx)2+(Δy)2
.
通过应用中值定理来
f在间隔中
[x我−1,x我],注意,这里有一个数字
x我∗之间的
x我−1而且
x我这样
f(x我)−f(x我−1)=f”(x我∗)(x我−x我−1),
即。
Δy我=f”(x我∗)Δx.因此,
∣P我−1P我∣=(Δx)2+(Δy)2
=(Δx)2+(f”(x我∗)Δx)2
=1+(f”(x我∗))2
Δx.
因此,根据定义
(1),
l=n→∞lim我=1∑n∣P我−1P我∣=l=n→∞lim我=1∑n1+(f”(x我∗))2
Δx.
根据的定义定积分,这个表达式等于
∫一个b1+(f”(x))2
dx.
因此,通过使用莱布尼茨的符号对于导数,弧长公式为
l=∫一个b1+(dxdy)2
dx.
求曲线的圆弧长度
y=2一个(e一个x+e一个−x)
之间的
x=0而且
x=一个.
请注意,
y=一个cosh(一个x)⇒dxdy=sinh(一个x)(使用链式法则)。现在,
1+(dxdy)2
=1+sinh2(一个x)
=∣∣∣cosh(一个x)∣∣∣.
现在是弧的长度
x=0来
x=一个由积分给出:
∫0一个cosh(一个x)dx.
替代
y=一个x⇒dx=一个dy改变积分限,积分就变成
一个[sinh(y)]01=一个sinh(1)=2e一个(e2−1).□
如果
f”(x)=x4−1
,曲线的长度是多少
y=f(x)从
x=2来
x=8?