直观地说,通常一个函数“内部”会有另一个函数,它首先与输入变量相关。因为我们知道一个函数的导数是变化率,我们需要计算这个“内部”函数的变化率以及整个函数相对于输入变量的变化率。链式法则可以解决这个问题。gydF4y2Ba
链式法则指出给定一个复合函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,它的导数是外部函数的导数(保持内部函数不变)乘以内部函数的导数。简洁,gydF4y2Ba
链式法则gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≡gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba
从函数组成的角度来看,链的另一种表述是gydF4y2Ba
(gydF4y2BafgydF4y2Ba∘gydF4y2BaggydF4y2Ba)gydF4y2Ba”gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba∘gydF4y2BaggydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaggydF4y2Ba”gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
另一种使其直观(几乎微不足道)的表述方式是gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BafgydF4y2Ba∘gydF4y2BaggydF4y2Ba=gydF4y2BadgydF4y2BaggydF4y2BadgydF4y2BafgydF4y2Ba∘gydF4y2BaggydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaggydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让我们通过看一些例子来看看它是如何工作的。gydF4y2Ba
评估gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba.然后,gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.我们知道gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba.因此,gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2Ba8gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba4gydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
评估gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba.然后,gydF4y2Ba
egydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.我们知道gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba.因此,gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
鉴于gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba,什么是价值gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba?gydF4y2Ba
求导数gydF4y2Ba
因为gydF4y2Ba5gydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba因为gydF4y2BaxgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba5gydF4y2Ba.然后,gydF4y2Ba
因为gydF4y2Ba5gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.我们知道gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba罪gydF4y2BaxgydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba5gydF4y2BaxgydF4y2Ba4gydF4y2Ba.因此,gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2BaggydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2Ba因为gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba罪gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba5gydF4y2Ba因为gydF4y2Ba4gydF4y2BaxgydF4y2Ba罪gydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba
6gydF4y2BaπgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
未定义的gydF4y2Ba
有一定的作用gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba使得切线在gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba是gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
考虑到gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba罪gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba的所有可能值的和gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaggydF4y2Ba评估时gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba6gydF4y2BaπgydF4y2Ba.gydF4y2Ba