极坐标方程-弧长

Arclengths指某些曲线的长度，有时用两点之间的距离表示。有时弧长在笛卡儿平面与矩形 $(x, y)$坐标。但它也可以用极坐标．比如极坐标方程 $r = f(\θ)$描述了一个曲线。这个公式极坐标曲线的弧长为下式:

如果 $r = f(\θ)$描述极曲线，这条曲线的弧扫出的角度 $\θ$不同 $\ theta_1$来 $\ theta_2$是 $\ int_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \√6 {f(\θ)^ 2 + f(\θ)^ 2}\ d \θ= \ int_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \√6 {r ^ 2 + \离开(\压裂{博士}{θd \} \右)^ 2}\,d \θ。$

假设 $r = f(\θ)$给定的极坐标曲线，角度在哪里 $\θ$例如，随着时间的推移而变化 $[0, 2π\]$．通过转换成笛卡尔坐标，一个人可以得到一个参数形式对于这条曲线 $x(\θ= r \ cosθ(\)= f(θ)\ \ cosθ(\),$ $y(\θ)= r \ sinθ(\)= f(θ)\ \罪(\θ)。$对这些方程微分乘法法则意味着 $x '(\θ= f(θ)\ \ cosθ(\)- f(θ)\ \罪(\θ),$ $y(\θ= f(θ)\ \罪(\θ)+ f(θ)\ \ cosθ(\)。$特别是: $\ | (x '(\θ,y的θ(\)\ | ^ 2 = x”(\θ)^ 2 + y ^ 2θ(\)$ $θ= (f (\) \ cosθ(\)- f(θ)\ \ sinθ(\))^ 2 + (f”(θ)\ \罪(\θ)+ f(θ)\ \ cosθ(\))^ 2 = f(\θ)^ 2 + f(\θ)^ 2。$

使用公式参数arclength，可以计算出这条曲线的弧长 $\ int_{0} ^{2π\}\√6 {x“θ(\)^ 2 + y”(\θ)^ 2}\,d \θ= \ int_{0} ^{2π\}\√6 {f '(\θ)^ 2 + f(\θ)^ 2}\ d \θ= \ int_{0} ^{2π\}\√6{\离开(\压裂{博士}{θd \} \右)^ 2 + r ^ 2} \, d \θ,$根据需要。

这条线 $y = 1$在极坐标方程 $csc (r = \ \θ)$．作为 $\θ$不同 $\π/ 4$来 $3 \π/ 4$时，曲线描绘出线段 $(1,1)$来 $(1,1)$，它有长度 $2$．用极坐标弧长公式证明。

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自 $r '(\θ= \压裂{d}{θd \} \ csc(\θ= - \ csc(θ)\ \床(\θ),$极坐标弧长是 $\ int_{\π/ 4}^{3 \π/ 4}\√6{θ(\)^ 2 + r”(\θ)^ 2}\ d \θ= \ int_{\π/ 4}^{3 \π/ 4}\√6 {\ csc ^ 2θ(\)(1 + \床^ 2θ)(\)}\,d \θ$ $= \ int_{\π/ 4}^{3 \π/ 4}\ csc ^ 2θ(\)\ \ dθ= -大\床(x) \ \ vert_{\π/ 4}^{3 \π/ 4}= 2。$

的阿基米德螺线极坐标曲线有方程吗 $r = \θ$,在那里 $在[0,\ \θ\ infty)$．这段曲线的弧长是多少 $\θ$范围从 $0$来 $1$(弧度)?

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我们计算 $I = \ int_ {0} ^ {1} \ sqrt {f(\θ)^ 2 + f(\θ)^ 2}\ d \θ= \ int_ {0} ^ {1} \ sqrt{\θ^ 2 + 1}\,d \θ。$做替换 $\θ= \ tan (x)$,我们有 $D = sec^2 (x) dx$，因此积分变换为 $I = \ int_{0} ^{\π/ 4}\√6 {\ tan ^ 2 (x) + 1} \交会^ 2 (x) \ \ int_ dx ={0} ^{\π/ 4}\交会^ 3 (x) \, dx,$我们用三角恒等式化简了吗 $tan^2 (x) + 1 = sec^2 (x)$．跟进与分部积分法，这个积分等于 $I = \ sec (x) \ tan (x) \ \大vert_{0} ^{\π/ 4}- \ int_{0} ^{\π/ 4}\ sec (x) \ tan ^ 2 (x) \, dx$ $= \ sqrt {2} - \ int_{0} ^{\π/ 4}\ sec ^ 2 (x)(\交会^ 2 (x) - 1) \, dx = \ sqrt{2} -我+ \ int_{0} ^{\π/ 4}\ sec (x) \, dx。$因为不定积分 $\交会(x)$是 $ln| sec(x) + tan(x)| + C$,它是 $2 I = \√{2}+ \ ln | \ sec (x) + \ tan (x) | \ \大vert_{0} ^{\π/ 4}= \ sqrt {2} + \ ln大概{2}+ 1)(\ \意味着I = \压裂{1}{2}\√{2}+ \ ln \√{2}+ 1))。$