中值定理据/h1>
这据strong>平均值定理据/strong>(MVT),也称为据strong>拉格朗日中值定理据/strong>,为相当直观的陈述提供了一个相当直观的陈述,与其衍生品的行为有关的变化。定理指出,连续和可微分函数的导数必须达到函数的平均变化率(在给定的间隔中)。例如,如果汽车在2小时内行驶100英里,那么它必须在某个时间点确切速度为50英里/小时。据/p>
中值定理据/strong>
假设一个函数据span class="katex"> 是据/p>
- 在封闭的间隔上连续据span class="katex">
然后,有一个数字据span class="katex"> 这样据span class="katex">
简单听起来就是,平均值定理实际上位于证明的核心据一种人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-calculus/" class="wiki_link" title="微积分基本定理" target="_blank">微积分基本定理据/a>,它本身最终是基于实数的性质。这里有一个泛化的概念叫做柯西中值定理;对于高阶导数的推广,请参阅据一种人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/taylors-theorem-with-lagrange-remainder/" class="wiki_link" title="泰勒定理" target="_blank">泰勒定理据/a>.据/p>
内容据/h4>
解释据/h2>
通过观察一两个例子,这种说法似乎是合理的。下面,据span class="katex">
证明据/h2>
首先研究被称为局限性的案例,最好地理解平均值定理据一种人力资源ef="//www.parkandroid.com/wiki/rolles-theorem/" class="wiki_link" title="罗尔定理" target="_blank">罗尔定理据/a>.据/p>
罗勒的定理据/strong>
假设一个函数据span class="katex"> 是持续的据span class="katex">
换句话说,如果一个函数在两点上有相同的值,那么它必须在这两点之间的某个地方“水平”。通过考虑函数在第一个点之后是增加还是减少,很明显,如果函数要返回到相同的值,这两个选项都不能无限期地继续;因此,在下一个点出现之前,必须有一个局部最大值或最小值。据/p>
只需使函数的图形发生倾斜,罗尔定理就迅速转化为中值定理。据/p>
让所有人如上所述。据/p>
定义一个新函数据span class="katex"> 区别于据span class="katex"> 和通过点的线条据span class="katex">
例子据/h2>
积分的平均值定理据/h2>
中值定理的名称可能需要一点解释。为一个函数据span class="katex">
其他应用程序据/h2>
我们还可以使用平均值定理来证明某些不等式。据/p>
用中值定理来证明据span class="katex">
假设我们的功能是据span class="katex">