拉格朗日定理
引用:拉格朗日定理。Brilliant.org.检索从//www.parkandroid.com/wiki/lagranges-theorem/
已经有账户了?
拉格朗日定理
对任何一个群体 1) 子组的一般示例是通过选择一个元素获得的
< 命题 的 因此,我们定义 让 陪集最重要的性质是
5)
拉格朗日定理
. 如果
G 是有限群和 H 的子群是 G ,然后 ∣ H 分∣ ∣ G .∣ 作为一个直接的推论,我们得到
G 是有限群和 g ∈ ,然后G o ( g 分) ∣ G .特别是,∣ g ∣ G =∣ e 对所有 g ∈ .G
证明的命题。
假设
米 是有限的。我们声称 < g > = { e , g , g 2 , ... , g 米 − }1 所有这些 米 元素是截然不同的。对于第一个语句,请注意对于any n ∈ ,我们可以写Z n = 问 米 + r , 在哪里0 ≤ r ≤ 米 − .因此1 g n = ( g 米 ) 问 ( g r ) = e ( g r ) = g r .为了证明第二种说法,假设g 我 = g j 为0 ≤ 我 ≤ j ≤ 米 − ,然后1 g j − =我 e ,这与的极小性相矛盾 米 . □
让
g , g ” 和∈ G H ⊆ 是一个群。G (一)如果
g − 1 g” ,然后∈ H g H = g ” .H (b)如果 g − 1 g” ∈ H ,然后 g H ∩ g ” H = .∅
对于第一个语句,任意元素
g ” 可以写成H g ” ,对于一些h h ∈ .但H g ” h = g ( g − 1 g” ) h ∈ g H 自g − 1 g” .这告诉我们∈ H g ” H ⊆ g H .相反地,任何元素 g H 可以写成g h , h ∈ 和H g h = g ” ( g ” − g1 ) .但h g ” − g1 = ( g − 1 g” ) − 在于1 H 自 H 的子群是 G .因此,结果如下和 g H = g ” .H 对于第二个表述,假设
x ∈ g H ∩ g ” .那么它可以写成H x = g h = g ” 对于一些h ” h , h ” .因此∈ H g − 1 g” = h h ” − ∈1 H , 这与事实相矛盾g − 1 g” ∈ H . □
证明拉格朗日定理。
以上说明了用陪集划分整个群
G 分成互不相交的子集,所有子集都有 ∣ H 元素。于是,拉格朗日定理应运而生。∣ □
表明,如果
∣ G 是',那么∣ G 是 循环 .
采取任何元素
x ∈ G ∖ { e G ,根据拉格朗日定理} x 必须是1或 ∣ G .因为唯一的元素∣ G (1)是 e G ,x 有订单 ∣ G .因此,∣ G 是由 { x ,所以} G 是循环的。 □
证明如果群的顺序
G 和 H 是相对质数,那么它们的交点只包含恒等式。
首先要注意的是
G ∩ 是两者的子群吗H G 和 H .然后,根据拉格朗日定理, ∣ G ∩ H ∣ 分两个∣ G 和∣ ∣ H .自∣ 肾小球囊性肾病 ( ∣ G ∣ , ∣ H ∣ ) = ,我们必须1 ∣ G ∩ H ∣ = .只有一个阶1的子群存在,它是只由恒等式组成的群,所以1 G ∩ H = { e .} □
问题加载… 注意加载… 设置加载…