的Sylow子组
年代4.
∣年代4∣=24=23.⋅3..
的Sylow
2-子组有顺序
8.有一个8阶子群的自然例子
年代4,即反组
D4.给正方形的顶点做标记
1,2,3.,4,二面体群是正方形对称的集合。它由a生成
90-度旋转,也就是a
4-循环,和一个翻转,它是一个双重转置。有四次翻转和四次旋转(包括恒等式)。
二面基内部不是正规的
年代4;
对顶点进行不同的标记会得到不同的副本。例如,由
(13.)(24)而且
(123.4),但是另一个副本是由
(12)(3.4)而且
(13.24);第三个副本由
(14)(23.)而且
(1243.).这些都是共轭的,正如第二个Sylow定理所预言的;而且
n2=3.满足第三个Sylow定理的条件:
n2≡1(米od2)而且
n2∣3..
的Sylow
3.子组由
3.周期,就像
(123.).有
8这样的
3.-cycles,因此有四个子组(每个子组包含两个)。所以
n3.=4.这与第三个Sylow定理是一致的,因为
n3.∣8而且
n3.≡1(米od3.).至于
N年代4(H),第三个Sylow定理预言这是一个有序的子群
∣年代4∣/n3.=24/4=6.让
H=⟨(123.)⟩成为西洛的一员
3.子组,然后
NG(H)是一份
年代3.内部
年代4,由所有固定的排列组成
4.
□
注意任何Sylow的共轭
p-subgroup是Sylow
p子群。因此,如果
np=1,所以Sylow
p-subgroup是唯一的,则它必须是正常的.这是一个常见的应用程序源。
证明没有简单的组的订单
3.0.
假设
G是一个简单的有序群吗
3.0.第三个Sylow定理
p=3.说,
n3.∣10而且
n3.≡1(米od3.).所以
n3.=1或
10.如果
n3.=1然后是Sylow
3.子群是正常的,这是不可能的
G很简单。所以
n3.=10有
10Sylow
3.子组。它们是不同的,所以它们只在单位元素中相交(交集是一个子群,通过拉格朗日定理它的顺序是
1或
3.,所以一定是这样
1)。任何Sylow
3.-subgroup有顺序
3.,并由恒等式和恒等式两个要素组成订单
3..所以有
20秩序要素
3.在
G.
现在
n5∣6而且
n5≡1(米od5),所以
n5=1或
6.和之前一样,
n5必须
6,所以有
6Sylow
5子组与
5每个元素,由单位和四个元素组成
5.任何一对子群只在恒等式中相交,所以有一个共
24秩序要素
5在
G.但是这个数字,加上前面的一段,至少给出了
20+24=44一组按顺序排列的元素
3.0,这是不可能的。所以没有简单的序群
3.0.
□
让
G是一个有168个元素的简单群。有多少个7阶的元素
G包含吗?
符号:一个元素
g∈G如果是7
g7=1但
gx=1对于任何正整数
x<7.(这里
1群体的身份是什么
G.)