合理简化表达式

一个理性的表达是代数表达式的形式吗 $\压裂{一}{B}$,在那里 $一个$和 $B$多项式和 $B \ neq 0$．

考虑到多项式 $A, B, C,$和 $D,$在哪里 $B \ neq0$和 $D \ neq0,$我们可以执行以下操作:

(1)添加: ${\压裂{一}{B} + \压裂{C} {B} = \压裂C {+} {B}, ~ ~ \ \压裂压裂{一}{B} + C {} {D} = \压裂{AD + BC} {BD}}$

(2)减法: ${\压裂{一}{B} - \压裂{C} {B} = \压裂{A - C} {B}, ~ ~ \压裂{一}{B} - \压裂{C} {D} = \压裂{AD - BC} {BD}}$

(3)乘法: ${\压裂{一}{B} \ * \压裂{C} {D} = \压裂{AC} {BD}}$

(4)部门: ${\压裂{一}{B} \ div \压裂{C} {D} = \压裂{一}{B} \ * \压裂{D} {C} = \压裂{广告}{公元前}}$ $（$在哪里 $C \ neq0)$

添加 $\ displaystyle{\压裂{6 x ^ 3} {7 x ^ 5 z ^ 4} + \压裂x {2} {3 y ^ 4 z ^ 2}}。$

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我们有

$18 \压裂{y 14 x ^ 3 ^ 4 + z ^ 2} {21 x ^ 2 y ^ 4 z ^ 4}。\ _ \广场$

减去 $\ displaystyle{\压裂{3}{4 ab ^ 2} - \压裂{2}{3 ^ 2 b}}。$

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我们有

$\压裂{9 a-8b} {12 a ^ 2 ^ 2}。\ _ \广场$

简化 $\displaystyle{frac{3 x}{2 y} \times \frac{4 xy}{5 x}}。$

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我们有

$\frac{3 x}{2y} \times \frac{4 xy}{5 x} = \frac{12 x^2y}{10 xy} = \frac{6x}{5}。\ _ \广场$

简化 $\displaystyle{frac{3 x^2 y^2}{4 x^3 y} \times \frac{4 x^3 y} {5 x^2}}。$

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我们有

$\压裂{3 x ^ 2 y ^ 2} {4 x ^ 3 y} \ * \压裂{4 x ^ 3 y ^ 4} {5 x ^ 2} = \压裂{12 x ^ 5 y ^ 6} {20 x ^ 5 y} = \压裂{3 y ^ 5}{5}。\ _ \广场$

简化 $\displaystyle{frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 2x} \times \frac{x}{x - 3}}。$

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我们有

${对齐}\ \开始压裂{x ^ 2 - x - 2} {x ^ 2 - 2 x} \ * \压裂{x} {x - 3} & = \压裂{(x - 2) (x + 1)} {x (x - 2)} \ * \压裂{x} {x - 3} \ \ & = \压裂{x (x - 2) (x + 1)} {x (x - 2) (x - 3所示 )} \\ &= \ 压裂{x + 1} {x - 3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

简化 $\displaystyle{frac{2x}{3y} \div \frac{5y}{x}}。$

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我们有

$\frac{2x}{3y} \div \frac{5y}{x} = \frac{2x}{3y} \times \frac{x}{5y} = \frac{2x^2}{15 y^2}\ _ \广场$

简化 $\displaystyle{frac{25x^2 y}{3} \div \frac{5y}{2x}}。$

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我们有

$\压裂{25 x ^ 2 y} {3} \ div \压裂{5 y} {2 x} = \压裂{25 x ^ 2 y}{3} \ * \压裂{2 x} {5 y} = \压裂{50 x ^ 3 y}{15} = \压裂{50 x ^ 3}{15} = \压裂{10 x ^ 3}{3}。\ _ \广场$

简化 ${a^2 - b^2}{a + b} \div \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^3 - b^3}}。$

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我们有

${对齐}\ \开始压裂{a ^ 2 - b ^ 2} {a + b} \ div \压裂{^ 2 - 2 ab + b ^ 2} {b ^ ^ 3 - 3} & = \压裂{a ^ 2 - b ^ 2} {a + b} \ * \压裂{^ 3 - b ^ 3} {^ 2 - 2 ab + b ^ 2 } \\ &= \ 压裂{(a - b) (a + b)} {a + b} \ * \压裂{(a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)} {(a - b) ^ 2 } \\ &= \ 压裂{(a - b) ^ 2 (a + b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)} {(a + b) (a - b) ^ 2} \ \ & = ^ 2 + ab + b ^ 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果一个有理表达式被简化为最低项或最简单的形式 $1$是它分子和分母的唯一公因式。为了简化有理表达式，我们将分子和分母因式分解，然后求出它们的公因式。然后我们把分子和分母的公因数消去，就得到了最简形式。

简化 $\ displaystyle{\压裂{x + 3} {{x} ^ {3} + 3 {x} ^{2}}}。$

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我们有

$\开始{对齐}\压裂{x + 3} {{x} ^ {3} + 3 {x} ^{2}} & = \压裂{x + 3} {{x} ^ {2} (x + 3)} \ qquad \ qquad \大({x} ^ {2} (x + 3)文本\ neq 0 \{或}x \ neq 0 3 \大)\ \ \ \ & = \压裂{1}{{x} ^{2}}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

简化

$左(\ \压裂{x + 7} {x ^{2}×6}\)\ div \离开(\压裂{2}{3}+ \压裂{1}{x + 2} \右)。$

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我们有

${对齐}\ \开始离开(\压裂{x + 7} {x ^{2}×6}\)\ div \离开(\压裂{2}{3}+ \压裂{1}{x + 2} \右)& = \压裂{x + 7} {(- 3) (x + 2)}左(\ \ div \压裂{2 (x + 2) 1 (- 3)} {(- 3) (x + 2)} \ )\\\\ &=\ 压裂{x + 7} {(- 3) (x + 2)} \ * \压裂{(- 3)(x + 2)} {x + 7} \ qquad \ qquad (x \ neq 3、2、7)\ \ \ \ & = 1。\ \ _ \广场结束{对齐}$

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