金字塔的体积

这金字塔的体积可以表示为 $\压裂{1} {3}啊，$在哪里 $一种$是金字塔的底面积和 $H$是金字塔的高度。请参考下面的图片。

你好

什么是为10的高度和方形基部与长度为12的侧面的棱锥体的体积？

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由于基座的面积为 $12 \倍12 = 144$，金字塔的体积是

$\压裂{1} {3} A \倍H = \压裂{1} {3} \倍144 \倍10 = 480 \ _ \方$

在操场上，使用一些孩子 $200 \文本{厘米} ^ 3$沙建一个金字塔。如果方形底座的边长是 $10 \文本{厘米}$什么是金字塔的高度？

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由于基座的面积为 $A = 10 \倍10 = 100$，金字塔中的体积 $\文本{厘米} ^ 3$是

$\压裂{1} {3} A \倍H = \压裂{1} {3} \倍100 \倍H = 200。$

因此，棱锥的高度为 $H = 6 \文本{厘米}。$ $_\正方形$

你好

另外，在上述图中，如果棱锥的基部为正方形，什么是金字塔的体积？

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为了得到金字塔的体积，我们需要通过削减金字塔到一半发现底座边长。

你好

上图是通过金字塔切的横截面 $A，B，d$和 $C。$由于基座的边长等于 $\ lvert \ {划线BC} \ rvert，$其是长度的两倍 $\ lvert \ {划线CD} \ rvert，$我们用勾股定理按如下方式计算 $\ lvert \ {划线BC} \ rvert：$

$\ BEGIN {对齐} \ lvert \ {划线CD} \ rvert ^ 2＆= \ lvert \ {划线AC} \ rvert ^ 2 - \ lvert \ {划线AD} \ rvert ^ 2 \\＆= 25 - 16 = 9。\\ \Rightarrow \lvert \overline{CD} \rvert &= 3 \\ \Rightarrow \lvert \overline{BC} \rvert &= 2 \times \lvert \overline{CD} \rvert = 6. \end{aligned}$

因此，基体的边长为 $6 \文本{厘米}。$那么金字塔的体积

$\压裂{1} {3} A \倍H = \压裂{1} {3} \次6 \次6 \倍4 = 48〜（\ {文本厘米} ^ 3）\。_ \方$

你好

发现在金字塔上面的蓝色部分的体积。

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蓝色部分的体积

$\ {文本（整个金字塔的体积）} - \ {文本（小金字塔的顶部卷）}。$

由于蓝色部分和顶部是小金字塔之间的高度比 $1：1，$底座的边长是 $20 \文本{厘米}。$让 $一种$是整个金字塔的蓝色部分的体积，然后

$\开始{对齐} A＆= \压裂{1} {3}（20 \次20）\时间（15 + 15） - \压裂{1} {3}（10 \次10）\倍（15）\\＆= 4000 - 500 \\＆= 3500 \（\ {文本厘米} ^ 3）。\ _ \平方\ {端对齐}$

导出用于使用微积分金字塔的体积的公式。

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首先，我们要找到 $斧头）$， 在哪里 $斧头）$是金字塔的横截面面积的函数。

考虑一下：

让 $H$是固体的高度，并 $Z.$一个常数，使得 ${Z} ^ {2} \ propto甲$。此外，让 $X$和 $y$是变量，这将在以后用来定义 $斧头）$。

自从 ${Z} ^ {2} \ propto甲$我们可以通过设置 $甲= K {Z} ^ {2}$， 在哪里 $（k）的$是另一种恒定的。

从上面的图像，可以看出，这两个三角形是相似的。因此，发现的方程式 $y$相对于可变 $X$， 我们有 $\压裂{Z} {H} = \压裂{Y} {X} \ RIGHTARROW Y = \压裂{XZ} {H}。$所以， $A（X）= K {Y} ^ {2} = \压裂{ķ{Z} ^ {2} {X} ^ {2}} {{H} ^ {2}}。$

现在，这里来了整合部分。

对象的体积为 $\ BEGIN {对齐} \ INT _ {B} ^ {A} {A（x）的DX}＆= \ INT _ {0} ^ {H} {\压裂{ķ{Z} ^ {2} {X} ^{2} DX} {{H} ^ {2}}} \\＆= \压裂{1} {3} K和{Z} ^ {2}小时。\ {端对齐}$回想起那个 $甲= K {Z} ^ {2}$， 这使 $\压裂{1} {3} K和{Z} ^ {2} H = \盒装{\压裂{1} {3}阿}。$

因为体积是基于横截面的面积，金字塔顶部的点可以是任何地方，这个公式仍然有效。 $_\正方形$