泰勒系列近似值

一种泰勒系列近似值用A.泰勒系列表示一个数字作为多项式，其对指定的邻域中的数量具有非常相似的值 $X$价值：

$f（x）=F A）+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.$

泰勒系列是一种极其强大的工具，用于近似函数，以否则难以计算，以及通过识别泰勒系列来评估无限的总和和积分。

如果只关注邻居非常接近起源，那么 $n = 2$近似是充分表示正弦波，并且不需要更高的顺序。^[1]

建议近似值的步骤：

1. 识别一个类似于有问题的操作的操作。
2. 选择 $一种$成为一个制作的数字 $F A）$易于计算。
3. 选择 $X$制作 $f（x）$数量近似。

使用泰勒系列扩建的前三个条款 $f（x）= \ sqrt [3] {x}$以其为中心 $x = 8.$，近似 $\ sqrt [3] {8.1}：$

$f（x）= \ sqrt [3] {x} \约2 + \ frac {（x-8）} {12} - \ frac {（x-8）^ 2} {288}。$

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所示的前三个术语足以提供良好的近似 $\ sqrt [3] {x}$。评估这笔款项 $x = 8.1.$给出近似 $\ sqrt [3] {8.1}：$

$\ begin {对齐} f（8.1）= \ sqrt [3] {8.1}＆\约2 + \ frac {（8.1-8）} {12} - \ frac {（8.1 - 8）^ 2} {288}\\＆= \ color {＃3d99f6} {2.008298} \ color {＃d61f06} {61111} \ ldots \\ \\ \ sqrt [3] {8.1}＆= {\ color {＃3d99f6} {2.008298} \ color{＃d61f06} {85025} \ dots}。\结束{对齐}$

只有三个术语，上面的公式就能近似 $\ sqrt [3] {8.1}$到六位小数的准确性。 $_\正方形$

使用二次泰勒多项式 $f（x）= \ frac {1} {x ^ 2}，$近似值 $\ frac {1} {4.41}。$

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二次泰勒多项式是

$p_2（x）= f（a）+ \ frac {f'（a）} {1！}（x-a）+ \ frac {f''（a）} {2！}（x-a）^ 2。$

首先，写下泰勒扩建所需的衍生品：

$f（x）= \ frac {1} {x ^ 2}，\ quad f'（x）= \ frac {-2} {x ^ 3}，\ quad f''（x）= \ frac {6}{x ^ 4}。$

但是关于 $一种$和 $X？$选择 $一种$因此，衍生物的值易于计算。重写近似值为

$4.41 =（2 + 0.1）^ 2$

暗示 $a = 2$和 $x = 2.1。$

$\ begin {对齐} p_2（2.1）＆= f（2）+ \ frac {f'（2）} {1！}（2.1-2）+ \ frac {f''（2）} {2！}（2.1-2)^2\\ &= \frac14 +\frac {\hspace{3mm} \frac{-2}{8}\hspace{3mm} }{1!} (2.1-2)+ \frac{\hspace{3mm} \frac{6}{16}\hspace{3mm} }{2!} (2.1-2)^2 \\ &= \frac14 + \frac {-1}{4}(0.1) + \frac{3}{16}(0.01)\\ &= 0.25 - 0.025 + 0.001875 \\ &= 0.226875. \end{aligned}$

实际价值是

$\ frac {1} {4.41} = 0.226757 ...，$

因此近似仅为0.05％。 $_\正方形$

1. ikamusumefan，。正弦gif.。检索2016年6月1日，来自https://commons.wikimedia.org/wiki/file:sine_gif.gif.