参数方程GyD.F4y2Ba

有些平面曲线不是函数图GyD.F4y2Ba $y=f（x）。GyD.F4y2Ba$特别是，函数图不能通过垂直线测试：对于每个GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$有可能在与曲线上最多一个点GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$-协调GyD.F4y2Ba $一个。GyD.F4y2Ba$为了描述更多的曲线，便于考虑。GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$作为一个单独的变量的函数GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$（称为GyD.F4y2Ba参数GyD.F4y2Ba）， IE。GyD.F4y2Ba

$x=f（t），\quad y=g（t）。GyD.F4y2Ba$

这被称为GyD.F4y2Ba参数方程GyD.F4y2Ba对于通过改变参数的值描绘出曲线GyD.F4y2Ba $TGyD.F4y2Ba$

表明参数方程GyD.F4y2Ba $x=\cos tGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $y =罪\ tGyD.F4y2Ba$ $（0\leqslant t\leqslant 2\pi）GyD.F4y2Ba$画出一个圆。GyD.F4y2Ba

---

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给予GyD.F4y2Ba

$X ^2+y^2= cos^2 t+ sin^2 t=1，GyD.F4y2Ba$

这实际上是与半径的圆的方程GyD.F4y2Ba $1GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba $_\方格GyD.F4y2Ba$

的圆的中心在GyD.F4y2Ba $（h，k）GyD.F4y2Ba$半径GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$可以通过参数方程来描述GyD.F4y2Ba

$X = H + R \ COS吨，\四Y = K + r \罪吨。GyD.F4y2Ba$

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$如上所述，我们得出了熟悉的公式GyD.F4y2Ba

$(x h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2。GyD.F4y2Ba$

半径是多少GyD.F4y2Ba $R.GyD.F4y2Ba$和中心GyD.F4y2Ba $（h，k）GyD.F4y2Ba$属于GyD.F4y2Ba

$\开始{array}{c}&x=3+8\cos4t，&y=-2+8\sin4t，&0\leqt\leq2\pi\结束{array}GyD.F4y2Ba$

---

根据上面的一般方程，我们得到GyD.F4y2Ba

$r=8，四元c（h，k）=（3，-2）。\_\广场GyD.F4y2Ba$

在参数方程GyD.F4y2Ba

$\开始{阵列} {C}＆X = 8 \ COS在，与Y = 8 \罪在，＆0 \ leqslant吨\ leqslant 2 \ PI，\ {端阵列}GyD.F4y2Ba$

如何GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$将圆影响为GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$变化？GyD.F4y2Ba

---

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给予GyD.F4y2Ba

${X} ^ {2} + {Y} ^ {2} = {\ COS} ^ {2}在+ {\罪} ^ {2}在= 1，GyD.F4y2Ba$

这仍然是与半径的圆GyD.F4y2Ba $1GyD.F4y2Ba$与中心在原点。如果我们有GyD.F4y2Ba $A = \压裂{1} {2}GyD.F4y2Ba$那GyD.F4y2Ba $（x，y）=\left（\cos\frac{1}{2}t\sin\frac{1}{2}t\right）GyD.F4y2Ba$,即GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$从范围GyD.F4y2Ba $0.GyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $2 \ PI，GyD.F4y2Ba$方程在开始GyD.F4y2Ba $(1,0)GyD.F4y2Ba$停在GyD.F4y2Ba $（-1,0）GyD.F4y2Ba$. 这意味着它穿过了圆圈的一半。所以GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$支配的速率等式痕迹出一个圆。GyD.F4y2Ba

同样，如果GyD.F4y2Ba $A=2，GyD.F4y2Ba$这个方程式绕着圆转了两圈。GyD.F4y2Ba $_\方格GyD.F4y2Ba$

穿过点的线GyD.F4y2Ba $（h，k）GyD.F4y2Ba$有坡度GyD.F4y2Ba $mGyD.F4y2Ba$可以通过参数方程来描述GyD.F4y2Ba

$x=h+t，y=k+mt。GyD.F4y2Ba$

更一般地说，让我们GyD.F4y2Ba $米= \黄褐色\α，GyD.F4y2Ba$哪里GyD.F4y2Ba $\αGyD.F4y2Ba$是倾斜角度。改变GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $t\cos\alpha，GyD.F4y2Ba$参数方程将变为GyD.F4y2Ba

$x=h+t\cos\alpha，\quad y=k+t\sin\alpha。GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $P、 QGyD.F4y2Ba$是两条线之间的截取点GyD.F4y2Ba $L：X-Y + 2 = 0GyD.F4y2Ba$和抛物线GyD.F4y2Ba $y=x^2GyD.F4y2Ba$。什么是长度GyD.F4y2Ba $| PQ |？GyD.F4y2Ba$

---

$L：X-Y + 2 = 0GyD.F4y2Ba$通过点GyD.F4y2Ba $(0,2)GyD.F4y2Ba$并且具有的倾斜角GyD.F4y2Ba $\alpha=\frac{\pi}{4}GyD.F4y2Ba$并且因此参数方程GyD.F4y2Ba

$X = T \压裂{\ SQRT {2}} {2}，\四Y = 2 + T \压裂{\ SQRT {2}} {2}。GyD.F4y2Ba$

代入抛物线得到GyD.F4y2Ba

$\[2}}{{{}}}{{{}}}}}}{{{{}}}}}}{{{{{}}}}}{{{{}}}}{{{{}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}rt{2-4（-4）}\\\&=3\sqrt{2}.\\\ux\end{aligned}GyD.F4y2Ba$

将参数方程转换为笛卡尔坐标系下的方程需要消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$：GyD.F4y2Ba

这是什么参数方程GyD.F4y2Ba

$\begin{array}{c}&x=t^{2}+t，&y=2t-1\end{array}GyD.F4y2Ba$

描述？GyD.F4y2Ba

---

堵的价值GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$在GyD.F4y2Ba $YGyD.F4y2Ba$那是GyD.F4y2Ba $t=\frac{1}{2}（y+1），GyD.F4y2Ba$进入GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$给予GyD.F4y2Ba

$X = \压裂{1} {4} Y 1 {2} + Y + \压裂{3} {4}。GyD.F4y2Ba$

这是一条向右开口的抛物线方程。GyD.F4y2Ba $_\方格GyD.F4y2Ba$

切线到曲线的斜率GyD.F4y2Ba $y = f（x）GyD.F4y2Ba$在一个点GyD.F4y2Ba $（x_0，y_0）GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba $F'（X_0）。GyD.F4y2Ba$什么时候GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$是参数定义，所述衍生物GyD.F4y2Ba $\压裂{DY} {DX}GyD.F4y2Ba$可被计算为GyD.F4y2Ba $\小\压裂{\ HSPACE {3毫米} \压裂{DY} {DT} \ {HSPACE3毫米}} {\压裂{DX} {DT}}，GyD.F4y2Ba$或多个对称如下：GyD.F4y2Ba

如果曲线由参数方程给出GyD.F4y2Ba $x=f（t）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $Y =克（吨），GyD.F4y2Ba$点处曲线的切线GyD.F4y2Ba $\大(f (t_0), g (t_0) \大)GyD.F4y2Ba$是由GyD.F4y2Ba

$F '（T_0）\大（Y-G（T_0）\大）= G'（T_0）\大（x-f的（T_0）\大），GyD.F4y2Ba$

只要一个GyD.F4y2Ba $f'（t\u 0）\n 0GyD.F4y2Ba$或GyD.F4y2Ba $g'（t\u 0）\n 0。GyD.F4y2Ba$

这里有一些特殊情况：GyD.F4y2Ba

• 抛物线GyD.F4y2Ba $Y 1 2 = 4AX：GyD.F4y2Ba$ $（x，y）\mapsto（at^2，2at）GyD.F4y2Ba$
  带参数点的切线方程GyD.F4y2Ba $t:GyD.F4y2Ba$ $Y = \压裂{X} {吨} +在GyD.F4y2Ba$
  正常方程在与参数点GyD.F4y2Ba $t:GyD.F4y2Ba$ $y=-xt+2at+at^3GyD.F4y2Ba$
• 椭圆GyD.F4y2Ba（可能是一个圆）GyD.F4y2Ba $\压裂{X ^ 2} {A ^ 2} + \压裂{Y ^ 2} {B ^ 2} = 1：GyD.F4y2Ba$ $（X，Y）\ mapsto（一个\ COS \ THETA，B \罪\ THETA）GyD.F4y2Ba$
  带参数点的切线方程GyD.F4y2Ba $\θ：GyD.F4y2Ba$ $\frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1GyD.F4y2Ba$
  正常方程在与参数点GyD.F4y2Ba $\θ：GyD.F4y2Ba$ $\压裂{斧} {\ COS \ THETA} - \压裂{由} {\罪\ THETA} = A ^ 2-B ^ 2GyD.F4y2Ba$
• 双曲线GyD.F4y2Ba $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1：GyD.F4y2Ba$ $（X，Y）\ mapsto（一个\秒\ THETA，B \黄褐色\ THETA）GyD.F4y2Ba$
  带参数点的切线方程GyD.F4y2Ba $\θ：GyD.F4y2Ba$ $\frac{x\sec\theta}{a}-\frac{y\tan\theta}{b}=1GyD.F4y2Ba$
  正常方程在与参数点GyD.F4y2Ba $\θ：GyD.F4y2Ba$ $\frac{ax}{\sec\theta}+\frac{by}{\tan\theta}=a^2+b^2GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$由参数方程给出的曲线GyD.F4y2Ba

$\开始{aligned}x&=\cos（t）\big（1-\cos（t）\big）\\y&=\sin（t）\big（1-\cos（t）\big）\end{aligned}GyD.F4y2Ba$

为了GyD.F4y2Ba $0\le t\le 2\pi。GyD.F4y2Ba$点的切线方程是什么GyD.F4y2Ba $\左（\ frac14，\压裂{\ SQRT {3}} {4} \右）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\左（-\frac34\frac{3\sqrt{3}}4\right）GyD.F4y2Ba$在曲线上？GyD.F4y2Ba

---

自GyD.F4y2Ba $\frac{dx}{dt}=\sint（2\cos t-1）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\frac{dy}{dt}=\cos t-\cos^2 t+\sin^2 t，GyD.F4y2Ba$在堵漏GyD.F4y2Ba $T = \压裂{\ PI} 3GyD.F4y2Ba$给予GyD.F4y2Ba

$0 \左（Y- \压裂{\ SQRT {3}} 4 \右侧）= 1 \左（X- \ frac14 \右）\意味着X = \ frac14。GyD.F4y2Ba$

那么切线在GyD.F4y2Ba $\左（\ frac14，\压裂{\ SQRT {3}} {4} \右）GyD.F4y2Ba$是垂直的。GyD.F4y2Ba

在另一方面，在GyD.F4y2Ba $\左（-\frac34\frac{3\sqrt{3}}4\right），GyD.F4y2Ba$ $t=\frac{2\pi}3，GyD.F4y2Ba$所以方程GyD.F4y2Ba

$- \ SQRT {3} \左（Y- \压裂{3 \ SQRT {3}} 4 \右）= 0 \左右（x + \ frac34 \右）\意味着Y = \压裂{3 \ SQRT {3}}4。GyD.F4y2Ba$

所以切线是水平的。GyD.F4y2Ba $_\方格GyD.F4y2Ba$

中心位于原点且轴与坐标轴重合的椭圆通常通过以下参数化进行描述：GyD.F4y2Ba

$（X，Y）\ mapsto（一个\ COS \ THETA，B \罪\ THETA），GyD.F4y2Ba$

哪里GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$是半长轴和半短轴，分别的长度。GyD.F4y2Ba

类似地，椭圆的参数方程是GyD.F4y2Ba

$\开始{array}{c}&x=h+a\cos t，&y=k+b\sint.\end{array}GyD.F4y2Ba$

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给予GyD.F4y2Ba

$\压裂{(x h) ^ 2}{^ 2} + \压裂{(y-k) ^ 2} {b ^ 2} = 1。GyD.F4y2Ba$

注意，当GyD.F4y2Ba $A = B，GyD.F4y2Ba$等式变成一个圆的。GyD.F4y2Ba

给出椭圆的参数方程GyD.F4y2Ba

$\开始{阵列} {C}＆X = 4 \ COS 3T，及Y = 7 \罪3T，\ {端阵列}GyD.F4y2Ba$

椭圆的半长轴和半短轴的长度是多少？GyD.F4y2Ba

---

消除参数，我们有GyD.F4y2Ba

$\begin{aligned}\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^2}{49}&=\frac{4^{2}\cos{2}3t}{16}+\frac{7^{2}\sin 2}3t{49}\\\\&=\cos^{2}3t}{16}+\frac{7^{2}\sin 3t{49}\\\\\\\\\\\\\\\\\ sin 2}3t{GyD.F4y2Ba$

因此，半长轴的长度为GyD.F4y2Ba $7.GyD.F4y2Ba$半短轴的长度为GyD.F4y2Ba $4.GyD.F4y2Ba$。GyD.F4y2Ba $_\方格GyD.F4y2Ba$

一个有用的公式是符合参数连接所述点的下面的等式GyD.F4y2Ba $\αGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $\公测GyD.F4y2Ba$：GyD.F4y2Ba

$\压裂{X} {A} \ COS \压裂{\阿尔法+ \的β} {2} + \压裂{Y} {B} \罪\压裂{\阿尔法+ \的β} {2} = \ COS \压裂{\α-\的β} {2}。GyD.F4y2Ba$

一条东西向的开口双曲线，以GyD.F4y2Ba $（h，k）GyD.F4y2Ba$可以通过参数方程来描述GyD.F4y2Ba

$X = H +一\秒吨，\四ÿ= K + B \黄褐色吨，GyD.F4y2Ba$

哪里GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$是半长轴的长度和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$是半短轴的长度。GyD.F4y2Ba

消除GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$给予GyD.F4y2Ba

$\frac{（x-h）^2}{a^2}-\frac{（y-k）^2}{b^2}=1。GyD.F4y2Ba$

同样，对于南北开双曲线的参数方程为GyD.F4y2Ba

$x=h+b\tan t\quad y=k+a\sec t。GyD.F4y2Ba$

让曲线GyD.F4y2Ba $C = \左\ {\开始{阵列} {LR} X = F（t）的\\ Y =克（吨）\ {端阵列} \右。GyD.F4y2Ba$哪里GyD.F4y2Ba $吨\在[A，B]GyD.F4y2Ba$. 如果GyD.F4y2Ba $FGyD.F4y2Ba$是可微的,GyD.F4y2Ba $GGyD.F4y2Ba$是连续的，所述区域由边界GyD.F4y2Ba $C、 x=f（a），x=f（b），GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$-轴心是GyD.F4y2Ba

$A=\int\limits\u A^b y\，dx=\int\limits\u A^b g（t）f'（t）\text{}\mathrm{d}t。GyD.F4y2Ba$

注意，这是有符号的区域；地下区域GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$-轴被计为负面积。GyD.F4y2Ba

表明，与轴长的椭圆的面积GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba

$A = \ PI AB。GyD.F4y2Ba$

---

圆心椭圆的参数方程GyD.F4y2Ba $(0,0)GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba

$F（T）= A \ COS吨，\四克（吨）= B \罪吨。GyD.F4y2Ba$

我们的方法是只考虑上半部，然后乘以两个来获得整个椭圆的面积。GyD.F4y2Ba

首先，我们需要找到左，右界来讲GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$，这样GyD.F4y2Ba

$\开始{对齐} F（T_1）= - 一个&& \意味着T_1 = \ PI \\ F（T_2）=一个&& \意味着T_2 = 0 \ {端对齐}GyD.F4y2Ba$

因此,GyD.F4y2Ba

$\开始{对齐} A＆= \ INT \ limits_0 ^ \ PI克（t）的F'（t）的\文本{} \ {mathrm} d \\吨＆= AB \ INT \ limits_0 ^ \ PI \罪^ 2吨\文本{} \ {mathrm} d \\吨＆= AB \ INT \ limits_0 ^ \ PI \压裂{1} {2}（1- \ COS 2T）\ {文本} \ {mathrm} d \\吨＆= \压裂{1} {2} AB \比格[叔\压裂{1} {2} \罪2吨\比格] _0 ^ \ PI \文本{} \ {mathrm} d \\吨＆= \压裂{1} {2} AB \ PI。\ _ \平方\ {端对齐}GyD.F4y2Ba$

证明了弹丸的参数方程是抛物线。GyD.F4y2Ba

---

我们有GyD.F4y2Ba

$\开始{对齐} X - = V \ COS \ THETA T＆\ qquad（1）\\ Y'= V \罪\ THETA叔\压裂{1} {2} GT ^ 2。＆\ qquad（2）\ {端对齐}GyD.F4y2Ba$

替换GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$从参数GyD.F4y2Ba $1GyD.F4y2Ba$进入参数GyD.F4y2Ba $2GyD.F4y2Ba$，我们有GyD.F4y2Ba

$y=x\tan\theta-\frac{1}{2}\frac{g}{v^{2}\cos^2\theta}x^2。GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $一个= \黄褐色\ THETAGyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $b=\frac{1}{2}\frac{g}{v^{2}\cos^2\theta}GyD.F4y2Ba$， 然后GyD.F4y2Ba

$Y = -bx ^ 2 +斧，GyD.F4y2Ba$

这的确是一个抛物线向下开口的方程。GyD.F4y2Ba $_\方格GyD.F4y2Ba$