第五章定积分

注册Facebook或手动注册

已经有账户了?在这里登录。

有关……

微积分>
第五章定积分

Gautam沙玛,亨利Maltby,Tanishq Varshney,
贡献

红色区域在轴的上方，并且是正的。蓝色区域在轴的下方，是负的。

A.定积分是正式计算面积下的一个函数，使用无限小的条子或条纹的地区。积分可以表示区域的(带符号的)面积，函数随时间变化的累积值，或给定密度的项的数量。它们最初是由 $17^\text{th}$ $F$

$\整数a^b f（x）\，dx。$

这个值表示函数之间带符号的区域 $F$ $x$

定积分有不定形式GYDF4.Y2.Ba这也是它的偏倒数分化GYDF4.Y2.Ba．就像微分测量一个函数的增量变化一样，一个明确的积分试图“取消”它。所以积分关注的是聚合而不是变化。

定积分在经济学中很有用，金融,物理GYDF4.Y2.Ba，和工程。例如，边际成本计入成本，收益率计入总收益，速度GYDF4.Y2.Ba累积距离，和密度GYDF4.Y2.Ba累积到体积。定积分也用于对函数执行操作：计算弧长,卷GYDF4.Y2.Ba线积分、曲面积分和轮廓积分GYDF4.Y2.Ba是广义环境下的定积分的例子。

内容

定义
性质
不同类型的积分
集成的方法
另见

定义

Bernhard Riemann提供的初始定义将面积表示为无限多个垂直方向矩形的组合，这种技术称为黎曼和.GYDF4.Y2.Ba此定义的一个好处是直观。

随着矩形变薄，矩形的组合面积接近积分值。GYDF4.Y2.Ba 随着矩形变薄，矩形的组合面积接近积分值。

一个积分由三项信息组成:极限、被积函数和微分:

$\整数a^b f（x）\，dx。$

的限制 $A.$ $B$

由微积分基本定理GYDF4.Y2.Ba，给定一个函数 $F$ $[a，\，b]$

$\int\u a^b f（x）\，dx=f（b）-f（a）。$

这将积分的语言从纯几何的东西转换成一个结构化的代数结构，可以以各种方式进行操作。

性质

积分是微积分学的基本工具之一，它的许多性质来自于坐标平面的几何、泛函的定义以及积分与导数之间的关系。积分也有一个代数解释，允许非常有用的技术，如 $U$

有时，可以把一个积分的面积与其他积分的面积联系起来。GYDF4.Y2.Ba 有时，可以把一个积分的面积与其他积分的面积联系起来。

一些性质给出了关于极限的信息。

的时间间隔 $[a，\，b]$ $\int_a^b$

$\displaystyle\int{a}{b}{f（x）\，dx}=-\displaystyle\int{b}{a}{f（x）\，dx}。$

正如沿着实线的区间可以分割一样，积分区间也可以根据几何直观进行分割。对于任何价值 $[a, C, b]$ $C \in [A., B],$

$\displaystyle\int{a}{b}{f（x）\，dx}=\displaystyle\int{a}{c}{f（x）\，dx}+\displaystyle\int{c}{f（x）\，dx}。$

事实上，前面的属性允许 $C$ $C 接受任何价值而不冒模棱两可的风险。$

当函数 $F$ $[a, b]$

评估 $\ displaystyle \ int _{4} ^{3}{\大| x ^ 2 - 4大| \ \,dx}。$ $\int - 4. 3. ∣ ∣ x 2. - 4. ∣ ∣ D x ．$

我们有
$\3{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{-4}{-2}{big（x^2-4\big）dx}+\int{-2}{2}{big（4-x^2\big）dx}+\int{2}{3}{\big（x^2-4\big）dx}\\&=\left[\frac{x^3}-4x\right]{-4}^{-2}+\left[4x-\frac{x^3}{3}\ right]{-2}{2}+\left[\frac{x^3}{3}-4x \ right]{2}{3}\\&=\frac{71}{3}.\\正方形\端点{3}$

一些属性提供了有关被积函数的信息。

作为算子，积分是线性的。也就是说，对于任何实数 $C$ $D$

$\ int_a ^ b c \ cdot f (x) + d \ cdot g (x) \ \ int_a dx = c ^ b f (x) \, dx + d \ int_a ^ g b (x) \, dx。$

积分可以用黎曼和从左边求和来计算，就像用黎曼和从右边求和来计算一样简单。从代数上讲，这等价于说

$\displaystyle\int{a}{b}{f（x）\，dx}=\displaystyle\int{a}{b}{f（a+b-x）\，dx}。$

让 $\显示样式I=\int{a}^{b}{f（x）\，dx}。$ $x = a + ibt \意味着dx = dt。$
${对齐}我& = \ \开始int _ {b} ^{一}{f (a + ibt) \ (dt ) }\\ &= \ int _{一}^ {b} {f (a + ibt) \, dt} & \ qquad文本(\{属性2})\ \ & = \ int _{一}^ {b} {f (a + b个x) \, dx}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\ displaystyle \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}{\压裂{dx} {1 + \ tan ^ 5 x}}。$ $\int π / 6. π / 3. \frac{D x ．}{1. + 棕褐色 5. x}$

使用
$\ displaystyle \ int _{一}^ {b} {f (x) dx} = \ displaystyle \ int _{一}^ {b} {f (a + b个x) dx},$

我们有
$\{对齐}开始我& = \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}{\压裂{dx} {1 + \ tan ^ 5 x } } \\ &= \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}{\压裂{dx} {1 + \ tan ^ 5左(\ \压裂{\π}{3}+ \压裂{\π}{6}- x \ )} }\\ &= \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}{\压裂{dx}{1 + \床^ 5 x } }\\ \\ \ Rightarrow 2我& = \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}{\压裂{dx}{1 + \床^ 5 x}} + \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}{\压裂{dx} {1 + \ tan ^ 5 x}} \ \ & = \ int _{\π/ 6}^{\π/ 3}dx \ \ & = x \大| _{\π/ 6}^{\π/ 3}\ \ \ \ \ Rightarrow我= \压裂{\π}{12}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

类似地，可以通过同时从左侧和右侧（并在中间停止）计算面积来计算积分：

$\ displaystyle \ int _{一}^ {b} {f (x) \, dx} = \ displaystyle \ int _{一}^ {(a + b) / 2}{\大(f (x) + f (a + b个x) \大)\,dx。} \ \$

为一个整数 $N$ $\ displaystyle \ int _0 ^{\π}e ^{\因为^ 2 x} \ cos ^ 3 \大((2 n + 1) x \大)\,dx。$

我们有
$\{对齐}我开始= \ int_0 ^{\π}e ^{\因为^ 2 x} \ cos ^ 3 \大((2 n + 1) x \大)\,dx \ \ & = \ int_0 ^{\π/ 2}\离开[e ^{\因为^ 2 x} \ cos ^ 3 \大((2 n + 1) x \大)+ e ^ {\ cos ^ 2(\πx)} \ cos ^ 3 \大((2 n + 1)(\πx) \大)\右]dx \ \ & = \ int_0 ^{\π/ 2}e ^{\因为^ 2 x} \离开[\ cos ^ 3 \大((2 n + 1) x \大)——\ cos ^ 3 \大((2 n + 1) x \大)\右]dx \ \ & = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}$

因此，对所有人来说奇怪的函数 $F$ $\显示样式{\int{-a}^a f（x）\，dx=0}$

其他属性提供有关如何更改被积函数的信息。更改积分变量对积分值没有影响：

$\displaystyle\int{a}{b}{f（x）\，dx}=\displaystyle\int{a}{b}{f（z）\，dz}。$

事实上 $U$

$b \ int_a ^ f (x) \, dx = \ int_ {g (a)} ^ {g (b)} \压裂{f \大(h (u) \大)}{g”(u)} \, du。$

注意，例如，前一小节中的一个属性遵循 $U$ $u=a+b-x$

最后，一些性质比较了不同积分的值。其中许多扩展了将积分视为求和类型的直觉。

如果 $f（x）$ $x$

$\int\u a^b f（x）\，dx<\int\u a^b g（x）\，dx。$

这个性质与积分作为面积度量的概念是一致的。

这两个cauchy - schwarz不平等GYDF4.Y2.Ba和持有人不平等GYDF4.Y2.Ba对积分和求和都适用。例如，积分的Cauchy-Schwarz不等式表示

$\离开(\ int_a ^ f (x) g b (x) \, dx \右)^ 2 \ le \离开(\ int_a ^ b f (x) ^ 2 \, dx \) \ cdot \离开(\ int_a ^ g b (x) ^ 2 \, dx \右)。$

Minkowski不等式在实数分析和积分理论的发展中起着至关重要的作用，它指出对于任何实数 $p > 1$ $P > 1.$

$b \离开(\ int_a ^ \大| f (x) + g (x) \大| ^ p \, dx \右)^ {1 / p} \ le \离开(\ int_a ^ b \大| f (x) \ | ^ p \, dx \右)^ {1 / p} + \离开(\ int_a ^ b \大| g (x) \ | ^ p \, dx \右)^ {1 / p}。$

不同类型的积分

正如定积分可以在有限极限的区间上定义一样，它也可以在实线的任何区间上定义，包括无限极限的区间。对于任何实数 $A.$ $F$

$\intu a^\infty f（x）\，dx:=\lim{b\to\infty}\intu a^b f（x）\，dx。$

表格的间隔 $（\infty，b]$ $(- \infty, B] 可以同样定义。这些被称为反常积分GYDF4.Y2.Ba．$

对于多变量函数，除了单变量积分外，还有线积分和轮廓积分。A.线积分是一个函数 $\ g (x, y)$ $(x(t)， y(t))$

$\ int_ \伽马g \ ds = \ int_a ^ b g \大(x (t), \, y (t) \大)\ sqrt{\大(x (t) \)大(y ^ 2 + \ ' (t) \大)^ 2}\,dt。$

曲面积分类似于线积分-但对于二重积分GYDF4.Y2.Ba积分可以相互嵌套，以便在多个维度上进行积分（如曲面）。

也有对复数和更奇异的数域进行积分的方法。测度理论将积分区间的概念扩展到满足参数集合的任何集合。它还提供了一种定义不同积分方法的方法，而不是黎曼提出的方法，允许在更广义的集合上积分(例如，函数的向量空间)。

集成的方法

大量集成技巧GYDF4.Y2.Ba精确求定积分的存在，但仍然存在许多用初等数学函数表示的不封闭形式的积分。例如，积分

$\int_0^1 e^{x^2}\，dx$

没有数值方法可能无法计算。

有许多数值方法可以精确地逼近积分，但它们的效率完全取决于所讨论的函数和区间。在可能的情况下，最好进行精确的计算。

部分的黎曼和GYDF4.Y2.Ba这个梯形法,辛普森法则GYDF4.Y2.Ba所有这些都试图提供有关区域的几何近似。其他方法，如使用契比雪夫公式GYDF4.Y2.Ba，寻求用更容易集成的函数来建模所涉及的函数(至少在相关区间内)。

确定定积分的良好逼近是数值分析的主要目的之一。

内容 定义 性质 不同类型的积分 集成的方法 另见

内容

定义
性质
不同类型的积分
集成的方法
另见