广义相对论gydF4y2Ba

广义相对论gydF4y2Ba爱因斯坦的理论是什么gydF4y2Ba重力gydF4y2Ba，在这种情况下，引力被认为是曲率的结果gydF4y2Ba时空gydF4y2Ba．在广义相对论中，在万有引力作用下运动的物体仅仅是沿着弯曲的非欧几里得空间中的“阻力最小路径”流动。时空曲线的大小取决于时空中存在的物质和能量，正如物理学家约翰·阿奇博尔德·惠勒(John Archibald Wheeler)的名言所总结的:gydF4y2Ba

$时空告诉物质如何移动;物质告诉时空如何弯曲}。”gydF4y2Ba$

行星弯曲附近的时空，描绘成一个二维网格的弯曲gydF4y2Ba^{［1］gydF4y2Ba}．gydF4y2Ba

这一陈述可以概括为广义相对论的两个中心方程:gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\结束{对齐}gydF4y2Ba$

第一个是一组方程，叫做gydF4y2Ba爱因斯坦场方程gydF4y2Ba；左边编码时空的曲率，而右边编码物质/能量内容。第二个，叫做gydF4y2Ba测地线方程gydF4y2Ba，支配着物体在弯曲时空中如何演化轨迹。下面将解释这些方程背后的数学和物理直觉。gydF4y2Ba

广义相对论的影响最明显的是存在的质量/密度极高的物体，如那些发现gydF4y2Ba天文学gydF4y2Ba和gydF4y2Ba宇宙学gydF4y2Ba. 这些效应包括引力时间膨胀、引力势中光的红移、行星轨道的进动、光的透镜效应、引力场的存在gydF4y2Ba黑洞gydF4y2Ba,gydF4y2Ba引力波gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

尽管广义相对论在理论和实验验证方面都取得了巨大的成功，但极其技术性的数学不一致性已经表明，该理论最有可能是一个低能量、大长度尺度的近似更完整的“量子引力”理论，例如gydF4y2Ba弦理论gydF4y2Ba其中包含了什么影响gydF4y2Ba量子力学gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

等效原理gydF4y2Ba

在爱因斯坦发展之后gydF4y2Ba狭义相对论gydF4y2Ba在二十世纪早期，他成功地在相对论的框架下解释了电磁和力学。似乎唯一缺少的就是重力。在牛顿引力理论中，质量的引力影响是瞬间发生的，违反了相对论的光速限制。引力需要修正并纳入相对论的框架中。gydF4y2Ba

广义相对论起源于爱因斯坦的另一个著名理论gydF4y2BaGedankenexperimentsgydF4y2Ba．假设一个观察者在一个封闭的房间里。观察者扔下一个物体，这个物体在落地时似乎在加速。爱因斯坦的实现是不可能告诉对象是否加速了在重力的影响下或如果物体是静止的,但房间是火箭向上加速,好像对象旅行对地板地板上而不是对象。这gydF4y2Ba等值gydF4y2Ba加速运动与加速帧的对比被恰当地称为gydF4y2Ba等效原理gydF4y2Ba. 爱因斯坦的狭义相对论认为物理学没有优选的坐标系，它构成了广义相对论概念基础的基石。gydF4y2Ba

另一种更适用的看待等效原理的方法如下:考虑一个小质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$在引力的影响下(在牛顿极限)从一些更大的质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$．那么作用在物体上的力是gydF4y2Ba

$马F_g = = \压裂{GMm} {r ^ 2} \意味着= \压裂{通用}{r ^ 2}。gydF4y2Ba$

以上,取消gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$双方gydF4y2Ba牛顿第二定律gydF4y2Ba给出了由于重力引起的加速度gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$. 但是没有gydF4y2Ba先验的gydF4y2Ba小的原因gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $F = magydF4y2Ba$,被称为gydF4y2Ba惯性质量gydF4y2Ba，应该等于gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $F_g = \压裂{GMm} {r ^ 2}gydF4y2Ba$,被称为gydF4y2Ba引力质量gydF4y2Ba．爱因斯坦的等效原理是惯性质量和重力质量的等效声明:由于一个坐标系的加速度引起的质量与由于重力引起的质量是相同的。在这幅图中，爱因斯坦将重力重新想象成与加速框架无法区分的物体，并利用这些想法将重力重新定义为通过弯曲几何体加速的物体。在接下来的几十年里，爱因斯坦与当时的几位数学家合作，特别是大卫·希尔伯特，发展了重力的几何理论。这个理论最终成为了广义相对论。gydF4y2Ba

早期预测和测试gydF4y2Ba

惯性质量和引力质量的等效性导致了爱因斯坦作为广义相对论的结果之一的第一个预测:引力gydF4y2Ba光的引力红移gydF4y2Ba在这种情况下，光在爬出重力场时就会失去能量。不久之后，1916年，爱因斯坦提出了三个具体的实验测试，以验证他在大约十年的时间里发展起来的广泛的几何理论。第一个是引力红移;另外两个是由于大质量引力引起的光偏转和水星近日点进动。gydF4y2Ba

大约在同一时间，德国物理学家卡尔·史瓦西(Karl Schwarzschild)发现了爱因斯坦方程的黑洞解gydF4y2BaSchwarzchild规gydF4y2Ba．几年后，俄罗斯物理学家亚历山大·弗里德曼(Alexander Friedmann)和其他人找到了承认宇宙在膨胀或收缩的解，从而导致了现代宇宙gydF4y2Ba宇宙学gydF4y2Ba还有宇宙大爆炸。由于相信宇宙是静态的，爱因斯坦不接受这些解，他又加了一个gydF4y2Ba宇宙常数gydF4y2Ba以确保宇宙是静态的。在后来的几年里，爱因斯坦曾说过很后悔这个错误。gydF4y2Ba

在实验验证方面，英国天文学家Arthur Eddington爵士在1919年领导了一次天文考察，证实了太阳的引力偏转。类似的早期证据也来自天文学:自19世纪中期以来，人们就知道水星轨道的轴线每转一圈都会旋转一个小角度，即所谓的“近日点岁差”。爱因斯坦在广义相对论中对这种旋转的计算与异常角度惊人地吻合。gydF4y2Ba

现代测试与研究gydF4y2Ba

在物理学的现代时代，对广义相对论进行了无数的其他实验测试，理论与实验惊人地一致。gydF4y2Ba

爱因斯坦最初关于引力红移的预测是最后一个被证实的——直到1959年著名的Pound-Rebka实验，在哈佛大学的一个实验室里测量到了伽马射线的红移。gydF4y2Ba

后来另一个著名的实验是1971年的哈菲尔-基廷实验，两位美国物理学家带着几个原子钟乘坐商用飞机环游世界两次。将飞机上的原子钟与地面上的原子钟进行比较，发现飞机上的原子钟经历了稍微慢一点的时间，与地面上的原子钟完全一致gydF4y2Ba引力时间膨胀gydF4y2Ba由广义相对论预测。gydF4y2Ba

广义相对论的物理结果实际上相当适用于日常生活。重力时间膨胀对GPS卫星测量时间的影响是不可忽视的。GPS“三角测量”实际上需要四颗卫星:三颗用来确定位置，第四颗用来校准由重力时间膨胀引起的计时误差。这个误差的大小足以在卫星发射数小时内给出错误的GPS预测。gydF4y2Ba

的存在gydF4y2Ba黑洞gydF4y2Ba是广义相对论的主要预测之一。直到最近，人们还没有直接观测到黑洞，只能通过它们对其他天体的引力影响来间接观测。然而，在2016年初，广义相对论的另一个预测——gydF4y2Ba引力波gydF4y2Ba——是通过两个吸入型双黑洞的合并观测到的。科学家们在激光干涉引力波天文台(LIGO)观测到了黑洞合并产生的直接信号。gydF4y2Ba

在广义相对论中，有些理论问题(以及许多实验问题)仍然是悬而未决的。例如，我们还不知道如何调和广义相对论gydF4y2Ba量子理论gydF4y2Ba以完全一致的方式。其他一些技术问题包括从数学上证明某些黑洞时空的稳定性，精确的引力波天文学，以及需要修改理论以解释黑洞的引力影响gydF4y2Ba暗物质gydF4y2Ba和暗能量。gydF4y2Ba

请注意，尽管在广义相对论中通常使用的是一个以光速为单位的系统gydF4y2Ba $c=1gydF4y2Ba$，为清楚起见，所有因素gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$都包含在本文中。gydF4y2Ba

什么是度规?gydF4y2Ba

广义相对论中的“时空曲率”在数学上只是指物体之间的距离在弯曲时空中的变化，与人们在欧几里得几何中所期望的不同。例如，一个人生活在一个球体的表面，一个弯曲的空间，并不期望两点之间的最短路径是一条直线。在球体表面上，最短长度或最短距离的路径gydF4y2Ba测地线gydF4y2Ba是连接两极的大圆。gydF4y2Ba

这个球面例子和广义相对论之间有一些区别。首先，人们通常把球面想象成嵌入一个更大的空间，所以人被限制在球面的表面，但有一些空间不在球面上。这不是广义相对论的情况——相反，弯曲的空间是唯一的存在。人们可以看出两点之间的测地线是弯曲的。如果测地线不是直线，那么有一些迹象表明空间是弯曲的。gydF4y2Ba

另一个不同之处在于，在GR中，它不仅仅是空间，而是空间gydF4y2Ba时间gydF4y2Ba这是弯曲的。这意味着不仅是两个物体之间的距离，而且是两个事件之间的时间。根据距离万有引力源的远近，两个事件之间测量的时间可能会或多或少地拉长。gydF4y2Ba

从数学上讲，事件之间的距离和时间是用一个叫做a的物体来表示的gydF4y2Ba度规gydF4y2Ba. 度量实际上是一个矩阵，它可以计算向量之间的点积。为了证明计量通知的目的gydF4y2Ba勾股定理gydF4y2Ba在欧几里得空间中可以写成矩阵乘积:gydF4y2Ba

$D ^2 = x^2 + y^2 + z^2 \iff \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}gydF4y2Ba$

在欧几里得空间中，度规是单位矩阵——上面两个坐标向量之间的矩阵。上面的矩阵写成gydF4y2Ba $\ delta_ {ij}gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba克罗内克符号gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $我\ neq jgydF4y2Ba$，1如果gydF4y2Ba $i=j）。gydF4y2Ba$在一般的非欧几里得空间中，度规不必是单位矩阵。这就是空间弯曲的全部含义——测量距离的方式以某种方式扭曲了。一般的空间度量为gydF4y2Ba $g_ {ij},gydF4y2Ba$的指标gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $jgydF4y2Ba$标记矩阵的行和列。即使在欧几里得空间里，度规也不一定是单位矩阵，这取决于坐标系。例如，在欧氏空间的球坐标中，度规采用这种形式gydF4y2Ba

${pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \\ end{pmatrix}。gydF4y2Ba$

闵可夫斯基度量gydF4y2Ba

在将度规从空间扩展到时空时，必须加上第四维。在平坦的欧几里得时空中，笛卡尔坐标的度规是这样的:gydF4y2Ba

$\begin{pmatrix} -1 & 0& 0& 0\\ 0& 1 & 0& 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}。gydF4y2Ba$

这叫做gydF4y2Ba闵可夫斯基度规gydF4y2Ba，而平坦的欧几里德时空则相应地被称为gydF4y2Ba闵可夫斯基时空gydF4y2Ba．根据上下文，有时度规被写成所有的分量都是负数。通常，闵可夫斯基度规表示为gydF4y2Ba $μ\ eta_ {\ \}gydF4y2Ba$而不是gydF4y2Ba $g_{\μ\ν}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这个奇怪的度规，以及它在时间方向上的负分量的原因，是它正确地捕捉了gydF4y2Ba狭义相对论gydF4y2Ba．它是在下面不变的最简单的度量gydF4y2Ba洛伦兹变换gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

考虑取基本坐标向量的点积gydF4y2Ba $(ct, x, y, z)gydF4y2Ba$与自身:gydF4y2Ba

$D²= -c²t²+ x²+ y²+ z²。gydF4y2Ba$

由于闵可夫斯基度规在洛伦兹变换下是不变的，这个度规正确地解释了光速是不变的这一事实gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$在所有的帧。因为光速是gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$在某些情况下，例如。gydF4y2Ba

$c ^ 2 = \压裂vec {x} {| \ | ^ 2} {t ^ 2} = \压裂{x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} {t ^ 2},gydF4y2Ba$

$d = 0gydF4y2Ba$在那个框架。但是通过闵可夫斯基度规的不变性，gydF4y2Ba $d = 0gydF4y2Ba$在所有的画面中，光速总是gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$在所有的帧。gydF4y2Ba

不变的间隔gydF4y2Ba

在广义相对论中，测量距离的方法可以不断变化。因此，度规通常是用变化无限小的量来定义的，比如微分。的数量gydF4y2Ba $d ^ 2gydF4y2Ba$上面写gydF4y2Ba

$ds ^ 2 = dt dx ^ ^ 2 + 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 = dt ^ 2 + d vec {x} \ ^ 2 = g_{\μ\ν}dx ^{\μ}dx ^{\ν}。gydF4y2Ba$

的数量gydF4y2Ba $ds ^ 2gydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba不变区间gydF4y2Ba，因为度量是洛伦兹不变的。在上面的最后一个等式中，不变区间重写为gydF4y2Ba爱因斯坦求和符号gydF4y2Ba，其中重复索引的总和超过。数量gydF4y2Ba $G_ {mu \nu} dx^{mu} dx^{\nu}gydF4y2Ba$描述坐标向量的点积gydF4y2Ba $Dx ^{\mu} = (cdt, Dx, dy, dz)gydF4y2Ba$与自身;指数gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\νgydF4y2Ba$标记向量和表示矩阵的矩阵的索引。当讨论时空时，空间指数gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $jgydF4y2Ba$通常被推广到这些希腊字母。gydF4y2Ba

通常，一般的度量是用不变区间表示的gydF4y2Ba $G_ {mu \nu} dx^{mu} dx^{\nu}gydF4y2Ba$因为这比写出整个矩阵更紧凑。gydF4y2Ba

矢量平行移动gydF4y2Ba

弯曲时空的中心特征之一是矢量的“平行移动”变得不平凡。事实证明，这个观察结果导致了现代微分几何和广义相对论的数学。gydF4y2Ba

矢量的“平行移动”是指沿着曲线滑动矢量，使其始终与曲线相切。在欧几里得时空中，这很简单:只要在任意给定点上沿着切向量的方向走，这个向量就永远是切向量。然而，在弯曲的空间里，就没那么容易了。在下面的图表中，我们可以看到出错的地方:gydF4y2Ba

在球面上沿闭合环路平行移动切向量，导致角缺陷gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$^{［2］gydF4y2Ba}．gydF4y2Ba

在上图中，一个矢量在一个闭合的环中沿球面平行移动。这个向量开始时平行于曲线，当它跟随切向量时保持相当的平行。当它绕过环的顶部时，那里的环的曲率很大，然而，沿着切线滑动它会改变矢量的方向。在绕了一整圈之后，矢量移动了一个角度gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$相对于它的初始方向gydF4y2Ba角缺陷gydF4y2Ba这是一个闭环。gydF4y2Ba

为了解决这个问题，我们必须修改在弯曲空间中平行移动矢量的含义。通常，在平坦空间中，人们会认为一个沿直线自由下落的粒子会遵循这个方程gydF4y2Ba

${d^2 x^{mu}}{d\tau^2} = 0，gydF4y2Ba$

哪里gydF4y2Ba $\头gydF4y2Ba$时间是用粒子和来测量的吗gydF4y2Ba $x ^{\μ}= (ct, vec {x}) \gydF4y2Ba$是粒子的坐标。这个方程本质上就是gydF4y2Ba $F = ma = 0gydF4y2Ba$有效,因为gydF4y2Ba $x^{mu}}{d\tau^2}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

然而，在坐标变换下，这个量不能很好地变换。由于在坐标变换下表现良好在GR中至关重要，因此必须将该方程修改为等效表达式gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}：gydF4y2Ba

$\压裂{d x ^{\μ}}{d \τ}\ partial_{\μ}\压裂{dx ^{\ν}}{d \τ}= 0,gydF4y2Ba$

哪里gydF4y2Ba $\ partial_{\μ}= \压裂{\部分}{\部分x ^{\μ}}gydF4y2Ba$通常是这样吗gydF4y2Ba偏导数gydF4y2Ba关于坐标gydF4y2Ba $x ^{\μ}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

在平坦空间中，平行移动任意向量gydF4y2Ba $一个^{\ν}gydF4y2Ba$因此，这意味着它遵循这个方程gydF4y2Ba

$v^{\mu}\partial{\mu}a^{\nu}=0，gydF4y2Ba$

哪里gydF4y2Ba $v^{\mu}gydF4y2Ba$是路径的常用切线向量。gydF4y2Ba

协变微分、克里斯托费尔联系和测地线方程gydF4y2Ba

在弯曲空间中，导数gydF4y2Ba $\ partial_{\μ}gydF4y2Ba$修正为正确的平行移动向量。它变成了gydF4y2Ba协变导数gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}

$\ nabla_{\μ}^{\ν}= \ partial_{\μ}^{\ν}+ \伽马^{\ν}_{\μ\λ}^{\λ},gydF4y2Ba$

的数量gydF4y2Ba $\伽马^{\ν}_{\μ\λ}gydF4y2Ba$,被称为gydF4y2Ba克里斯托费尔符号gydF4y2Ba或gydF4y2Ba克里斯托菲尔连接gydF4y2Ba，根据度量定义为gydF4y2Ba

$\伽马^{\ν}_{\μ\λ}= \ frac12 g ^{\ν\σ}(\ partial_{\μ}g_{\σ\λ}+ \ partial_{\λ}g_{\μ、σ}- \ partial_{\σ}g_{\μ\λ})。gydF4y2Ba$

这个量被称为“连接”，因为它“连接”了两点上的切向量。它修改了普通的偏导数，使切向量被正确地调整，以适应空间的曲率。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba $g ^{\ν\σ}gydF4y2Ba$以上两项指标均被提振的成分为gydF4y2Ba逆矩阵gydF4y2Ba．逆度规等于这个度规的矩阵逆。gydF4y2Ba

有了这些修改，切向量的平行移动gydF4y2Ba $v^{\mu}gydF4y2Ba$ $\大(gydF4y2Ba$注意的是,gydF4y2Ba $v ^{\μ}= \压裂{\部分x ^{\μ}}{\部分\τ}\大)gydF4y2Ba$是由gydF4y2Ba测地线方程gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}

$v ^{\ν}\ nabla_{\ν}v ^{\μ}= 0、敌我识别、裂缝分析{d ^ 2 x ^{\μ}}{d \τ^ 2}+ \伽马^{\μ}_{\α、β}\压裂{dx ^{\α}}{d \τ}\压裂{dx ^{\β}}{d \τ}= 0。gydF4y2Ba$

请注意，在广义相对论中，上述重复的指数总是相加的（因此可以用任何需要的字母来标记）。还要注意，这个等式看起来很像gydF4y2Ba $F = ma = 0gydF4y2Ba$，但修改术语除外gydF4y2Ba $\伽马^{\μ}_{\α、β}\压裂{dx ^{\α}}{d \τ}\压裂{dx ^{\β}}{d \τ}gydF4y2Ba$捕捉时空曲率的影响。gydF4y2Ba

路径gydF4y2Ba $x ^{\μ}(\τ)gydF4y2Ba$在时空中，服从测地线方程的称为gydF4y2Ba测地线gydF4y2Ba．它们是弯曲时空中两点之间的最短路径，也是自由下落的粒子在弯曲时空时所遵循的轨迹。由于这些轨迹通常不是直线，当涉及到重力源，重力的影响是弯曲时空，改变gydF4y2Ba $g_{\μ\ν}gydF4y2Ba$从而改变了粒子的轨迹。这就是广义相对论中“时空告诉物质如何运动”的原理。gydF4y2Ba

泊松方程与弱场极限gydF4y2Ba

在牛顿引力的最精细的数学方法中，物体的加速度是根据gydF4y2Ba引力势gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$由方程gydF4y2Ba

$a = - nabla，gydF4y2Ba$

哪里gydF4y2Ba $\微分算符gydF4y2Ba$是梯度算子。这个引力势服从gydF4y2Ba泊松方程gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}

$nabla^2 = 4 G，gydF4y2Ba$

类似于gydF4y2Ba高斯定律gydF4y2Ba在电和磁力方面。在这个方程,gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$是引力物质的密度。gydF4y2Ba

由于在静态、缓慢运动、弱引力的情况下，广义相对论应简化为牛顿引力，一个完全广义相对论的引力方程应简化为泊松方程。此外，左边应该以某种方式被度规编码，因为度规编码了广义相对论中弯曲时空和重力的所有影响。此外，它证明在弱场极限，只有一个度量分量是重要的，由gydF4y2Ba $g_{00} \大约-(1 + 2 \φ)gydF4y2Ba$，所以度规与这个极限下的牛顿势是直接相关的。gydF4y2Ba

应力能张量gydF4y2Ba

度量是矩阵，所以这样的方程也应该是矩阵方程。这是可能的，因为事实上有一个矩阵，它编码了所有关于引力的物质和能量的信息gydF4y2Ba应力-能量张量gydF4y2Ba $T_{\μ\ν}识别gydF4y2Ba$．这是一个对称的4乘4矩阵gydF4y2Ba

应力-能量张量矩阵表示的图解结构gydF4y2Ba

也就是说,gydF4y2Ba $T_{00} =识别\ρgydF4y2Ba$是能量密度，其他分量给出动量、压力和引力物质的剪切应力。只有矩阵的右上半部分被显示出来，因为它是对角线对称的。自gydF4y2Ba $T_{00} =识别\ρgydF4y2Ba$是能量密度，这似乎是合理的预期gydF4y2Ba $T_{\μ\ν}识别gydF4y2Ba$是广义相对论方程的右边，它将简化为泊松方程。gydF4y2Ba

结果证明，广义相对论中的能量守恒可以用协变导数正确地表示为gydF4y2Ba

$\纳布拉{\mu}T^{\mu\nu}=0。gydF4y2Ba$

曲率和爱因斯坦方程gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $T ^{\μ\ν}gydF4y2Ba$是广义相对论方程的右手边，因此，在协变导数下，左手边最好也消失。结果是有一个度规的二阶导数的组合这个协变导数性质也成立gydF4y2Ba爱因斯坦张量gydF4y2Ba $G_{\μ\ν}gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$G_{\μ\ν}= R_{\μ\ν}- R \ frac12 G_{\μ\ν},gydF4y2Ba$

哪里gydF4y2Ba $R_{\μ\ν}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba里奇张量gydF4y2Ba和gydF4y2Ba $R = R ^{\λ}_{\λ}gydF4y2Ba$，里奇张量的迹，称为gydF4y2Ba里奇标量gydF4y2Ba．里奇张量的定义是gydF4y2Ba黎曼曲率张量gydF4y2Ba，它又由前面定义的克里斯托费尔符号来定义gydF4y2Ba

$R^{\rho}{\sigma\mu\nu}=\partial{\mu}\Gamma}{\rho}{\nu\sigma}-\partial{\nu\nu}\Gamma}{\rho}{\mu\sigma}+\Gamma^{\mu rho}{\lambda}\Gamma^{\mu lambda}\Gamma，gydF4y2Ba$

以便gydF4y2Ba $R_{\mu \nu} = R^{\lambda}_{\mu \lambda nu}gydF4y2Ba$为黎曼曲率张量的偏迹。黎曼曲率张量与矢量的协变微分和平行移动有密切的联系，也可以用这种语言来定义。gydF4y2Ba

上面的方程足以给出广义相对论的中心方程作为两者之间的比例关系gydF4y2Ba $G_{\μ\ν}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $T_{\μ\ν}识别gydF4y2Ba$．要求该方程在弱场极限下简化为牛顿引力泊松方程gydF4y2Ba $g_{00} \大约-(1 + 2 \φ)gydF4y2Ba$设比例常数为gydF4y2Ba $8 \ \压裂{πG} {c ^ 4}gydF4y2Ba$．因此，通过在矩阵中编码能量密度(应力-能量张量)，并找到一个矩阵，定义为服从相同协变导数性质的度规的二阶导数，我们得到gydF4y2Ba爱因斯坦场方程gydF4y2Ba这是广义相对论的中心方程gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}：gydF4y2Ba

$G_{mu \nu} = {frac{8 \pi G}{c^4} T_{mu \nu}。gydF4y2Ba$

注意，这个等式适用于所有选择的指标gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\νgydF4y2Ba$因此它是一组方程，而不是一个单独的方程。gydF4y2Ba

广义相对论的定义和符号非常密集，计算任何量都是非常密集的。然而，这个紧凑而美丽的方程总结了惠勒引言的后半部分:“物质告诉时空如何弯曲。”应力能张量gydF4y2Ba $T_{\μ\ν}识别gydF4y2Ba$用空间中任何物质的能量含量来描述gydF4y2Ba $G_{\μ\ν}gydF4y2Ba$，度规的函数gydF4y2Ba $g_{\μ\ν}gydF4y2Ba$，从而决定时空如何响应物质而弯曲。gydF4y2Ba

真空中的爱因斯坦方程gydF4y2Ba

一般来说，解决爱因斯坦的方程是非常困难的，即使是借助计算机进行数值计算。对于给定不同的应力-能量张量的度规，只有几个精确的解析解是已知的。最简单的解决方案是在真空中(可能在引力源之外):gydF4y2Ba $T_{\mu \nu} = 0gydF4y2Ba$．在这种情况下，爱因斯坦的方程简化为稍微简单的方程(假设维度数大于2):gydF4y2Ba

$R_{\mu \nu} = 0。\qquad \text{真空爱因斯坦方程}gydF4y2Ba$

这个方程的一个明显的解就是闵可夫斯基度规。因为所有的分量都是数字而不是空间或时间的函数，闵可夫斯基度规的所有导数都是零，所以所有的克里斯托费尔符号消失了，曲率也消失了。gydF4y2Ba

Schwarzschild度量与黑洞gydF4y2Ba

闵可夫斯基度规不是空间或时间的函数，所以它是高度对称的。真空爱因斯坦方程的下一个最简单的解是gydF4y2Ba施瓦西度量gydF4y2Ba，它对应于球对称质量分布之外的时空情况。它由球坐标下的不变区间给出:gydF4y2Ba

$左(1 - ds ^ 2 = - \ \压裂通用{2}{rc ^ 2} \右)c ^ 2 dt ^ 2 + \离开(1 - \压裂通用{2}{rc ^ 2} \右)^{1}^ 2 +博士r ^ 2 dθ^ 2 + r ^ 2 \ \罪^ 2 \θd \φ^ 2。gydF4y2Ba$

这个指标描述gydF4y2Ba任何gydF4y2Ba质量的球对称质量分布gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$，包括行星、恒星……和黑洞!注意这个因素gydF4y2Ba $1 - \压裂通用{2}{rc ^ 2}gydF4y2Ba$这使得度量在某一时刻退化gydF4y2Ba $r_s = \压裂通用{2}{c ^ 2}gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba施瓦西半径gydF4y2Ba和位置gydF4y2Ba视界gydF4y2Ba一个黑洞。黑洞只是一个球对称的质量分布它的密度足够大gydF4y2Ba $r_sgydF4y2Ba$实际上在物体半径之外。例如，地球的史瓦西半径大约是gydF4y2Ba $9gydF4y2Ba$毫米，在地核深处，史瓦西度规不再适用。gydF4y2Ba

值得注意的一件有趣的事情是，上面的公式暗示了gydF4y2Ba引力时间膨胀gydF4y2Ba．以…为半径固定的物体gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$从球对称质量分布的中心经历时间的流逝，其速率由的因子所调整gydF4y2Ba $1 - \ \√6{压裂通用{2}{rc ^ 2}}gydF4y2Ba$与无限大的观察者相比，也就是更慢。如上所述，这一效应已在地球表面上得到实验证实。gydF4y2Ba

黑洞常被称为“曲率奇点”。这似乎与史瓦西度规是真空爱因斯坦方程的解这一事实相矛盾gydF4y2Ba $R_{\mu \nu} = R = 0gydF4y2Ba$．然而，并不是黎曼曲率张量的所有分量都消失了，标量叫做gydF4y2Ba克雷奇曼标量gydF4y2Ba对于史瓦西度规gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}

$K = R_{\μ\ν\ρ\σ}R ^{\μ\ν\ρ\σ}= \压裂{48 G ^ 2 M ^ 2} {c ^ 4 R ^ 6}。gydF4y2Ba$

因为这个量发散为gydF4y2Ba $r \ 0gydF4y2Ba$，黑洞确实有一个曲率奇点gydF4y2Ba $r \ 0gydF4y2Ba$，尽管人们怀疑经典广义相对论将在这一点之前崩溃，从而阻止奇点的形成。gydF4y2Ba

作为gydF4y2Ba $r \ r_sgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $dt ^ 2gydF4y2Ba$在史瓦西度规中的项趋于零。这应该被解释为，远离黑洞的观察者在观察一个物体下落时，永远不会看到这个物体下落到视界之外。因为，当它接近视界时，它似乎停止体验时间的流逝，与视界的物理距离似乎变得巨大。然而，仔细的分析将表明，在经典广义相对论中，一个下落的物体在经过视界时并没有什么不寻常的经历。gydF4y2Ba

SR声称空间和时间呈现出一种特殊的对称模式。这个变换群称为洛伦兹变换或速度变换。它是线性变换的集合gydF4y2Ba $(^{\μ})' = \ sum_{\ν= 1}^ 4 L_{\ν}^{\μ}^{\ν}。gydF4y2Ba$

1. 糖虾。gydF4y2Ba时空晶格类比gydF4y2Ba．从检索gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=45121761gydF4y2Ba
2. 安东内利，L。gydF4y2Ba平行移动gydF4y2Ba．从检索gydF4y2Bahttps://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1122750gydF4y2Ba
3. 卡罗尔,美国(2004年)。gydF4y2Ba《时空与几何:广义相对论导论》gydF4y2Ba．旧金山:皮尔森。gydF4y2Ba