狭义相对论

当速度达到光速的很大一部分时，牛顿力学的框架不再足以描述许多物理现象。相反，我们必须开始考虑爱因斯坦的理论狭义相对论，它处理的是物理学在没有重力的情况下的“特殊”情况。更“一般”的情况广义相对论考虑到引力效应。

根据我们对现代物理学的了解，我们很容易想当然地认为，光速大约 $3 \cdot 10^8\: \text{m}/\text{s}$是宇宙不可动摇的速度极限。然而，就在一个多世纪前，这个看似简单的事实却被震撼了牛顿定律这一理论已经存在了两个多世纪，成为爱因斯坦1905年那篇革命性论文的基础运动物体的电动力学,在这爱因斯坦的基本思想狭义相对论[1]．

而牛顿物理学足以描述大多数物体的运动宏观物体通常以远低于光速的速度运动，许多宏观现象从根本上是微观在自然界中。由于它们的低质荷比在美国，微观粒子相对容易加速到高速，因此必须经常用相对论的方法来描述。事实证明，狭义相对论对于解释化学预测的元素的正确化学活动、磁性材料的行为以及粒子加速器中亚原子粒子的行为至关重要，所有这些都涉及到以相对论速度运动的电子或质子等粒子。

当需要进行极为精确的测量时，相对论也常用于非常宏观的尺度上。例如，全球定位系统(GPS)卫星，它在地球表面数万公里以上的轨道上运行，必须考虑到广义相对论对时间流逝的影响，以便为日常使用提供足够精确的方向。另一个众所周知的例子是正确描述水星特别奇怪的轨道，以及地球动力学黑洞以及其他大型天体。

狭义相对论和量子力学在20世纪30年代允许预测反物质并很快导致了粒子物理通过量子场理论．

狭义相对论的起源远远早于爱因斯坦1905年发表的介绍狭义相对论的论文。在麦克斯韦在19世纪中期充实了描述电和磁的框架之后的几十年里，物理学家开始意识到物理定律中可能存在的漏洞。

其中一个直接的含义就是麦克斯韦方程这是一种传播吗电磁波也就是说，光必须以大约恒定的速度传播 $3 \cdot 10^8 \: \text{m}/\text{s}$．这一结果与经典物理学有些矛盾，因为经典物理学天生就要求速度不能是绝对的。

回想一下，牛顿物理学假设相对速度直接相加，根据所谓的伽利略变换．假设有一个观察者惯性参考系在移动速度 $v \ mathbf {}$相对于一些实验室框架。如果观察者测量一个物体以速度运动 $w \ mathbf {}$在他或她的坐标系中，然后测量在实验室坐标系中物体的速度 $w \ mathbf {v} + \ mathbf {}$．因此，总存在一个坐标系，其中物体的速度大于静止坐标系中的速度。如果一辆汽车开过来 $40 \文本{m} /{年代}\文本$至于在道路一侧的观察者在其运动的方向上闪烁其前灯，那么经典物理学预测，在道路一侧的观察者应该测量从前灯发出的光的速度 $40 \文本{m} /{年代}+ 3 \ \文本cdot 10 ^ 8 \文本{m} /{年代}\文本$．然而，这并不是我们目前理解的麦克斯韦方程所预测的。

同样令人不安的是，麦克斯韦方程的速度依赖性导致了电力和磁力的明显不对称。例如，考虑爱因斯坦的例子，一个固定的线圈和移动的磁铁。根据楞次定律，移动磁铁改变导线环的磁通量，并导致感应电流，或电场，在电线。然而，由于它是静止的，所以它感觉不到磁力。同样地，我们也可以把磁铁看成是静止的，而线圈是运动的，在这种情况下，线圈受到的是磁力而不是电磁力。在这个简化的分析中，在两帧中计算的力是相等的，但是在一帧中，回路感知到一个磁场，而在另一帧中，它感知到一个电场。

更糟糕的是，当你考虑安培定律(通过麦克斯韦修正)，在移动磁铁的情况下，由变化的电场得到一个额外的磁场项。这个附加项很小，但仍然不能用经典的方法解释。

爱因斯坦在解决这些电磁悖论方面的突破，是运用了几十年前洛伦兹和Poincaré的数学框架来修正伽利略的相对论。面对这些难题加上后期的实验观察 $19 ^ \文本{th}$爱因斯坦意识到洛伦兹和Poincaré的数学可以完美地适用于解释自然界的速度界限。爱因斯坦关于电动力学狭义相对论的开创性论文包含了他们所谓的洛伦兹变换解释为什么电磁波的传播与现有的物理定律是一致的。爱因斯坦的天才之处就在于，他大胆地指出，需要修改的不是麦克斯韦方程，而是拥有数个世纪历史的牛顿框架。在此基础上，爱因斯坦从物理学的第一原理中优雅地推导出了洛伦兹变换，形成了我们今天所知的现代狭义相对论。

爱因斯坦提出了两个简单的假设作为狭义相对论的基础，并被先前的实验结果和物理理论的基本理想所证实:

假设1。就物理定律而言，所有的惯性系都是等价的。没有“首选”参照系。

假设2。光速的测量值是相同的， $C \approx 3 \cdot 10^8 \: \text{m}/\text{s}$，由观察者在所有惯性系。

回想一下,一个惯性坐标系是没有加速的。当且仅当非时，通常假定一个系是惯性的虚构的力量就像离心力出现在框架中。

可以看出，这两个看似无害的假设会产生以下反直觉的后果，以及其他许多后果:

• 时间膨胀。由相对于静止观测者运动的观测者所测量的时间间隔，在静止观测者的坐标系中可以测量得更长。
• 长度收缩。由相对于静止观测者移动的观测者测量的长度，在静止观测者的坐标系中可以测量得更短。
• 同时性的损失。由相对于静止观测者运动的观测者测量到的同时发生的事件，在静止观测者的坐标系中可能不是同时发生的。

注意，假设1要求两个帧之间的结果是对称的。例如，在静止的观察者的坐标系中测量的时间间隔在移动的观察者的坐标系中也必须更长，在移动的观察者看来，他或她自己的坐标系是静止的，而“静止”的观察者似乎是移动的。因此，对单个事件给予时间或长度的绝对数量不再有任何意义，因为即使是距离和时间的相对长度也相对于测量的框架。这些物理量的相对性使这一理论得名。

假设2的一个直接结果是，时间的测量将取决于参照系。一般来说，一个相对于静止观察者移动的观察者所测量的某个事件(例如，时钟的滴答声)的持续时间在静止观察者的坐标系中会更长。如果一艘飞越地球的星际飞船测量其激光的每个脉冲需要1毫秒，那么地球上的观察者测量的每个脉冲需要超过1毫秒——与飞船上的居民测量的时间相比，要慢得多(因此是“放大”的)。

时间膨胀是一个简单的结果，如果光的速度在不同的帧中被固定为相同的值，在帧之间转换时，长度或时间将从通常的牛顿值发生变化。

然而，在这两种情况下测量的时间长度确实不同。事实上，在静止观察者的坐标系中测量的时间比率 $t$在火车观察者的框架内测量的时间 $t '$是由

$\frac{t}{t'} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}}。$

由于垂直于帧运动方向的长度在所有帧中被观察者测量为相同的(如下所述)，因此考虑一个包含垂直方向设置的“光钟”的思想实验是有意义的。

一节敞开的火车车厢，正快速向右移动 $v$用一个光源从火车顶部的镜子上反射出一束光。

假设有一个观察者在一列高度很高的火车的敞篷车厢里 $l$向右移动的:以…的速度向右移动的 $v$通过将脉冲光从列车底部直接射向列车顶部的镜子来记录时间，并测量从初始脉冲到光在列车顶部反射后返回光源所经过的时间。很明显，对于火车上的观察者来说，时间 $t '$一个这样的脉冲的时间是

$l t ' = \压裂{2}{c},$

在哪里 $c$就是光速。

然而，列车外的观察者无法测量到同样的结果 $t '$为脉冲的持续时间，否则光脉冲的总速度将是

$v_{\文本{总}}= \√6 {v_x ^ 2 + v_y ^ 2} = \√6 {v ^ 2 + c ^ 2},$

大于 $c$因而违反了假设2。

相反，它必须是这样的 $v_{\文本{总}}= c$，这样的话

$C =√{v^2 + v_y^2}，$

所以

$V_y = \√{c^2 - v^2}。$

因此,时间 $t$由列车外的观察者测量

$T = \frac{2l}{\sqrt{c²- v²}}，$

和比例 $\压裂{t} {t '}$在静止观察者的坐标系中测量到的时间与在火车观察者的坐标系中测量到的时间的四分之一

$\frac{t}{t'} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}}。\ _ \广场$

在狭义相对论中，习惯上给这个比率命名 $\γ$(希腊字母γ)，并将表达式改写为形式

$γ= \ \压裂{c}{\√6 {c ^ 2 - v ^ 2}} = \压裂{1}{\√6{1 - \压裂{v ^ 2} {c ^ 2}}},$

在这种情况下，可以简单地写

$\压裂{t} {t '} = \γ。$

的渐近性态 $\γ$作为 $v$是明确的。作为 $v \ rightarrow 0$， $\伽马\ rightarrow 1$,当 $v \ rightarrow c$， $\伽马\ rightarrow \ infty$．换句话说，当火车的速度趋于零时，静止观察者的坐标系中测量到的时间接近于在火车观察者的坐标系中测量到的时间。但是，当火车的速度接近光速时，这两倍的比值会无限制地增加。

在所有情况下, $伽马\ \组1$,所以 $t \组”$，这证明了先前的说法，即由运动的观察者相对于静止的观察者所测得的时间间隔在静止的观察者的坐标系中可能被测得更长。

1μ介子衰变。基本粒子称为μ介子由于宇宙射线的碰撞在高层大气中不断产生。因为μ子相对较轻(大约是电子的几百倍重)，它们的传播速度接近光速。为了简单起见，假设所有产生的μ子在 $0.998摄氏度$．

给定的平均距离 $15 \ \文字{公里}$从上层大气到地球表面，通常人们会认为μ子不应该到达地球表面，因为μ子的半衰期是 $1.56 \cdot 10^{-6} \， \text{s}$．尽管μ子的传播速度接近光速 $\大(3 \cdot 10^8 \， \text{m}/\text{s}\大)，$它们存在的时间如此之短，以至于μ子的平均行程不超过几百米。

然而，请注意衰减时间是在μ子的坐标系中测量的时间。据地球上的观测者测量，半衰期要长一倍 $\伽马\约15.8$．因此，根据狭义相对论，μ子几乎在运动 $16$在静止观测者的坐标系中比经典预测远几倍。这额外的距离(按…的顺序公里)允许相当数量的μ子到达地球表面。事实上，相对论的预测与在地球表面探测μ子的实验观测相吻合。

有了时间膨胀的结果，就可以看出，在静止观察者的坐标系中，平行于运动方向的长度较短。垂直于运动方向的长度在两帧中是相同的，但是，如下所述。

类似于时间膨胀的结果，可以表示在静止观测者的帧中测量到的长度的比值 $l$在火车观察者的框架内测量的时间 $l '$．结果是

$l \压裂{}{l '} = \压裂{1}{\伽马}。$

考虑一个包含平行方向设置的“光钟”的思想实验。设想在列车的右端放置一面镜子，左侧放置一个光源。设火车在火车观察者的坐标系中的长度为 $l '$，让静止的观察者在列车外的坐标系中测量的列车长度为 $l$ $（$请注意,先天的这并不一定是真的 $l \ neq l”。)$

假设火车以速度向右移动 $v$列车上的观察者通过从列车的左端发射脉冲光来记录时间，并测量从初始脉冲到光在右端反射后返回光源所经过的时间。对火车上的观察者来说，是时间 $t '$一个这样的脉冲的时间是

$t ' = \压裂{2 l '} {c},$

在哪里 $c$就是光速。

然而，列车外的观察者测量出了不同的结果。从光源到达镜子的时间不再仅仅是火车的长度除以光速，而是

$T_ \text{right} = \frac{l}{c - v}。$

要得到这个结果，请注意火车行驶的距离 $v t_ \文本识别{右}$在时间 $t_ \文本识别{右}$,所以

$T_ \text{right} = \frac{l+v T_ \text{right}}{c}$

和解决 $t_ \文本识别{右}$给了 $T_ \text{right} = \frac{l}{c - v}$．

同理，改变符号，光从右端到达光源所需的时间为

$T_ \text{left} = \frac{l}{c + v}。$

因此，总时间 $t$因为在静止的观察者的框架内，时钟的滴答声是

$t = t_ \{右}+ t_ \识别文本识别{左}= \压裂{2 lc} {c ^ 2 - v ^ 2}。$

自 $\压裂{t} {t} ' = \γ$，可以得出

$\frac{2lc}{c^2 - v^2} = \frac{2 \gamma l'}{c}。$

简单的代数可以得到期望的结果:

$γ= \ \压裂{l '}{1}。\ _ \广场$

当运动坐标系的速度接近光速时，在静止观察者的坐标系中测量的长度因此变得任意小，而它始终保持不变 $V = 0 \意味着\gamma = 1$．

2μ介子衰变。假设1表明，在以一定速度向地球运动的μ子的框架中，前面的μ子衰变例子应该是等价的 $0.998摄氏度$．在这个坐标系中，半衰期是合适的 $1.56 \cdot 10^{-6} \， \text{s}$．μ子还能到达地球表面吗?

在μ子的坐标系中，地球以近乎光速的速度向μ子运动，这就要求在μ子坐标系中测量的长度必须比在μ子坐标系中的长度短1 / 2 $\γ= 15.8$．因此，大气-地球距离为 $15 \ \文字{公里}$减少了 $\γ$，其结果与在地球框架下进行的计算结果相当。

下面讨论的一个简单的思想实验表明，在所有坐标系中，观察者测量到的垂直于坐标系运动方向的长度必须是相同的。

如图所示，有两根长度相等的棍子彼此平行排列。如果右边的棍子向另一个移动，表明在两个棍子的框架中测量的长度是相同的。

---

假设右边的木棍两端都有颜料滴。为了矛盾起见，假设一个观察者在移动的坐标系中测量的长度在静止的观察者的坐标系中测量的长度要短一些。在这种情况下，在左边的棍子的框架中，右边的棍子较短，因此当右边的棍子穿过左边的棍子时，右边的棍子就画上了左边的棍子。但是，在右边的棍子的框架中，左边的棍子正在向右边的棍子移动，这意味着左边的棍子在右边的棍子的框架中更短。因此，正确的棍子不当左杆穿过右杆时，指向左杆。因为违反了假设1，我们的假设一定是错误的，两个杆在两个帧中必须是相同的长度。

同样，如果假设在静止的坐标系中，长度比观察者长，则会产生矛盾。

在对长度收缩结果的推导中，向列车右端(列车行驶方向)移动的光脉冲与向列车左端(列车行驶方向相反)返回的光脉冲存在一定的不对称性。这一观察结果是这样一个事实的基础，即在火车坐标系中同时发生的事件在静止观察者的坐标系中可能不同时发生。

假设列车左右两端的事件在列车框架中是同时发生的。事实证明，这些事件是不同时在火车外静止的观察者的框架内。此外，静止观察者的帧中事件之间的时间间隔为

$\ t = \frac{\ l' v}{c^2}，$

首先发生在火车左侧一侧的事件， $l '$列车在车架中的长度，和 $v$火车的速度。

假设一个光源被放置在火车的中心，在静止的观察者的框架的长度 $l$．在火车的框架中，光同时到达火车的两端，但在静止的观察者的框架中却不是这样。如果列车向右移动，由静止的观察者测量的光到达右端所需的时间为

$T_ \text{right} = \frac{l}{2(c - v)}，$

而光到达左端的时间是

$T_ \text{left} = \frac{l}{2(c + v)}，$

通过和之前一样的推理。使用长度收缩表达式 $l / l ' = 1 / \γ$收益率

$\δt = t_ \{右}- t_ \识别文本识别{左}= \压裂{l '}{\伽马}\离开[\压裂{1}{2 (c - v)} - \压裂{1}{2 (c + v)} \右),$

哪些可以重新安排

$\ t = \frac{\ l' v}{c^2}。$

虽然时间膨胀和长度收缩的表达式只分别涉及时间或长度坐标，但在这里，长度和时间坐标在不同的坐标系中显然是“混合”的。由于这个原因，在相对论物理学中，人们经常把“时空”称为一个单一的实体，在这个实体中，时间与空间的三个维度是平等的。

正如他们已经提出的，关键的相对论效应(时间膨胀，长度收缩和同时性的丧失)的表达式只直接适用于分别采取的每个效应。一般来说，所有的影响都可以系统地一下子解决。一个人可以证明所谓的洛伦兹变换，它将静止观测者的坐标与运动坐标系中的观测者的坐标联系起来，与所有先前得到的表达式:

$ct ' & = \ \{对齐}开始伽马\离开(ct - \压裂{vx} {c} \) \ \ x ' & = \伽马\离开(x - ct \ \压裂{v} {c}) \ \ y ' & = y \ \ z ' & = z。\{对齐}结束$

在这里，运动的框架沿着 $x$设在与速度 $v$，用素数表示运动坐标系的坐标。通常，洛伦兹变换被写成矩阵变换在向量和坐标之间定义 $c \β= \压裂{v} {}$：

$\begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta &0 &0 \\ - -\gamma \beta & \gamma &0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 \ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}。$

如果狭义相对论是真的，为什么人们在日常经验中从来没有遇到过相对论现象?关键在于它的大小 $\γ$在日常的速度。为 $v c \会$， $1 - v^2/c^2 \约1$,因此 $\伽马\约1$．因此，在比光速小得多的速度下，相对论效应是相当小的，因为 $\γ$对运动方程进行有效的因子修正并不会带来任何修正。

为了演示 $\γ$变化与 $v$，考虑下表的值 $\γ$作为 $v$对于几个给定的速度 $v$(以光速的分数计算 $c$)．作为比较，光速是从地球逃逸速度的一万倍:

$\begin{array}{cc} \\ v & \gamma \\[。01厘米]\线\ \[。01c米］0．1c& 1.005 \\ 0.25 c & 1.033 \\ 0.5 c & 1.155 \\ 0.9 c & 2.294 \\ 0.99 c & 7.089 \end{array}$

显然，价值 $\γ$略大于 $1$对于任何速度，不是很明显的一部分 $c$．

狭义相对论的一个明确含义是，任何有质量的物体都不能以光速或更快的速度运动。这对各种动力学量的牛顿表达式(如动能)提出了一个明确的问题 $\压裂{1}{2}mv ^ 2$和动量 $m \ mathbf {v}$．在这两种情况下，这两个量都被限制为有限的，尽管没有物理定律阻止向系统中添加任意大量(但有限)的能量。

结果表明，能量和动量存在适当的相对论表达式，它们具有适当的渐近行为 $v$方法 $c$．质量粒子的总能量 $米$和速度 $v$是由

$E = \ mc^2。$

这个表达式的一个特殊结果是静止的粒子一定有一些剩余能量 $E_0 = mc ^ 2$，这本身就是一个强有力的暗示。

同样，相对论动量是

$\mathbf{p} = \m \mathbf{v}，$

它和相对论能量一样，具有正确的极限行为。

这些方程，就像狭义相对论中的所有其他方程一样，可以通过要求爱因斯坦的两个公设的一致性来推导，或者等价地在各种物理环境中强制执行洛伦兹变换。

在经典物理学中，一个系统的总能量和动量总是守恒的。 $（$然而，质量在一般情况下不再守恒。爱因斯坦的方程 $E = mc ^ 2$说明能量可以转化为质量，质量也可以转化为能量，只有包含质量的总能量是守恒的。 $）$

爱因斯坦，a。”运动物体的电动力学．"尤其是物理学, 1905年。

[2]莫林,D.J.经典力学概论．剑桥大学出版社，2007。

泰勒[3],jr经典力学．大学科学图书，2005。