高斯的法律G.yD.F.4.y2B.a

高斯的法律G.yD.F.4.y2B.a规定任何收费G.yD.F.4.y2B.a $问：G.yD.F.4.y2B.a$可以认为通过任何封闭表面产生明确的通量。在物理上，我们可能会想到任何光源，例如灯泡或太阳，其具有它在所有方向上发射的明确额定值。无论封闭表面的形状，我们捕获它，无论光源如何从表面才能从表面上，封闭表面都会收到每单位时间相同的能量G.yD.F.4.y2B.a $P_0G.yD.F.4.y2B.a$。G.yD.F.4.y2B.a

以类似的方式，总电荷的分布G.yD.F.4.y2B.a $\ sum_i Q_IG.yD.F.4.y2B.a$将通过任何封闭的表面，其被定义为在表面的所有补丁无穷小的总和产生磁通的不变量G.yD.F.4.y2B.a $达G.yD.F.4.y2B.a$，电场分量垂直于表面。虽然并不总是一个实用的工具，但在可以利用几何对称的情况下，高斯的法律是一个令人难以置信的强大的工具，可以快速计算电场。类似法律持有其他逆平方法，例如，牛顿重力。G.yD.F.4.y2B.a

高斯的电气通量定律指出，通过任何封闭表面的净电通量与表面封闭的电荷成正比：G.yD.F.4.y2B.a

$\ phi_e = \ frac {q_ \ text {tot}} {\ varepsilon_0}。G.yD.F.4.y2B.a$

它可以证明这种说法是相当于G.yD.F.4.y2B.a库仑的逆行法律G.yD.F.4.y2B.a，即反平方法持有的任何力量也将满足高斯的法律，任何满足高斯法律的部队都会表现出逆正方形。Gauss的定律是电动力学的四个麦克斯韦方程之一，并描述了电场的重要特性。如果存在一天的磁垄断，那么Maxwell的方程将需要轻微的修改，以表明磁场可以具有分歧，即G.yD.F.4.y2B.a $\ nabla \ CDOT乙\ SIM \ rho_mG.yD.F.4.y2B.a$。宇宙学理论做的，但是，预测，磁单极子确实存在于宇宙的开端，但由于其较高的不稳定性崩溃。G.yD.F.4.y2B.a

封闭表面是一个表面，其G.yD.F.4.y2B.a紧凑G.yD.F.4.y2B.a而不G.yD.F.4.y2B.a边界G.yD.F.4.y2B.a。换句话说，封闭的表面是一个划分空间（不包括自身）划分为两个不相交的部分，外部和内部。闭曲面的一些简单的例子，包括完整的气泡，戴森球，或外壳一个是内，如果他们进入一个睡袋缝开闭的。G.yD.F.4.y2B.a

松散地讲，一个场的通过表面的通量是通过它的净流量。我们开发这种直觉在下面的例子。G.yD.F.4.y2B.a

想想这个比喻：G.yD.F.4.y2B.a

假设您在管道中间适合棉膜，水流通过该棉膜。通过膜的水流是多少？G.yD.F.4.y2B.a

当然，答案将是G.yD.F.4.y2B.a速度的平均正常成分G.yD.F.4.y2B.a倍G.yD.F.4.y2B.a膜的面积G.yD.F.4.y2B.a。G.yD.F.4.y2B.a

这是我们通过膜致电通量！G.yD.F.4.y2B.a

为什么我们要采取正常组成部分？因为膜与流动方向的对准。如果膜和流量都水平对齐怎么办？G.yD.F.4.y2B.a

$\ phi = \ \ oint _ {\ mathcal {s}} \ optrightarrow {e} \ cdot d \ optrightarrow {a}。G.yD.F.4.y2B.a$

一点地传染媒介场的分歧是该点处的源极或水槽的大小。当然，这与说明分歧代表传染媒介场的向外通量的体积密度与给定点周围的无穷大的体积相同。G.yD.F.4.y2B.a

正式说明，以上翻译为G.yD.F.4.y2B.a

当G.yD.F.4.y2B.a矢量场的发散G.yD.F.4.y2B.a $\ overrightarrow {E}G.yD.F.4.y2B.a$在一个点G.yD.F.4.y2B.a $P.G.yD.F.4.y2B.a$被定义为净流量的限G.yD.F.4.y2B.a $\ overrightarrow {E}G.yD.F.4.y2B.a$穿过三维区域的平稳边界G.yD.F.4.y2B.a $V.G.yD.F.4.y2B.a$除以体积G.yD.F.4.y2B.a $V.G.yD.F.4.y2B.a$as.G.yD.F.4.y2B.a $V.G.yD.F.4.y2B.a$缩小到G.yD.F.4.y2B.a $P.G.yD.F.4.y2B.a$：G.yD.F.4.y2B.a

$\ operatorname {DIV} \，\ overrightarrow {E}（P）= \ lim_ {V \ RIGHTARROW \ {P \}} \ iint_ {S（V）} {\ overrightarrow {E} \ CDOT \ widehat {N} \在| V |} \;DS，G.yD.F.4.y2B.a$

在哪里G.yD.F.4.y2B.a $| V |G.yD.F.4.y2B.a$是的音量G.yD.F.4.y2B.a $V.G.yD.F.4.y2B.a$那G.yD.F.4.y2B.a $s（v）G.yD.F.4.y2B.a$是边界G.yD.F.4.y2B.a $V.G.yD.F.4.y2B.a$，积分是一个完整的表面G.yD.F.4.y2B.a $\ widehat {N}G.yD.F.4.y2B.a$作为该表面正常的向外单位。G.yD.F.4.y2B.a

在笛卡尔坐标中的应用：G.yD.F.4.y2B.a

如果有一个矢量场，使得G.yD.F.4.y2B.a

$\ overrightarrow {E}（X \ widehat {I} + Y \ widehat {Ĵ} + Z \ widehat {K}）= U \ widehat {I} + V \ widehat {Ĵ} + W \ widehat {K}，G.yD.F.4.y2B.a$

然后G.yD.F.4.y2B.a

$\ operatorname {DIV} \，\ overrightarrow {E} = \ nabla \ CDOT \ overrightarrow {E} = \压裂{\局部【U}} {\局部{X}} + \压裂{\局部{V}} {\局部{Y}} + \压裂{\ {局部瓦特}} {\局部{Z}}。G.yD.F.4.y2B.a$

整体形式G.yD.F.4.y2B.a
如果G.yD.F.4.y2B.a $S.G.yD.F.4.y2B.a$是一个封闭的表面，其中电荷G.yD.F.4.y2B.a $问：G.yD.F.4.y2B.a$被封闭，则磁通量G.yD.F.4.y2B.a $\ Phi_EG.yD.F.4.y2B.a$通过G.yD.F.4.y2B.a $S.G.yD.F.4.y2B.a$是给出的G.yD.F.4.y2B.a

$\ phi_e = \ \ oint _ {\ mathcal {s}} \ optrightarrow {e} \ cdot d \ optrightarrow {a} = \ frac {q} {\ varepsilon_0}。G.yD.F.4.y2B.a$

微分形式G.yD.F.4.y2B.a
如果G.yD.F.4.y2B.a $\ rho \ left（\ oveRightarrow {R} \右）G.yD.F.4.y2B.a$是电荷的体积密度G.yD.F.4.y2B.a $\ overrightarrow {R}G.yD.F.4.y2B.a$，则电场的发散G.yD.F.4.y2B.a $\ overrightarrow {E}G.yD.F.4.y2B.a$当G.yD.F.4.y2B.a $\ overrightarrow {R}G.yD.F.4.y2B.a$是G.yD.F.4.y2B.a

$\ nabla \ cdot \ eptractivearrow {e} \ left（\超级arrow {r}右）= \ frac {\ rho \ left（\ verightarrow {r}右）} {\ varepsilon_0}。G.yD.F.4.y2B.a$

通量和分歧上述讨论应该清楚为什么这两种形式是等价的。然而，这种等价来自高斯定理或散度定理。G.yD.F.4.y2B.a

可以为其他几个领域制作类似的陈述，例如电动高斯法律。这是一个这样的表达式表，其中符号具有他们通常的含义。G.yD.F.4.y2B.a

推导库仑从高斯：G.yD.F.4.y2B.a

考虑一下费用G.yD.F.4.y2B.a $问：G.yD.F.4.y2B.a$和半径的球体G.yD.F.4.y2B.a $R.G.yD.F.4.y2B.a$。G.yD.F.4.y2B.a

通过Gauss的法律，球体的领域的通量是G.yD.F.4.y2B.a $\ frac {q} {\ varepsilon}，G.yD.F.4.y2B.a$哪个等于G.yD.F.4.y2B.a $4 \ pi r ^ 2 | e |，G.yD.F.4.y2B.a$所以G.yD.F.4.y2B.a

$4 \ pi r ^ 2 | e |= \ frac {q} {\ varepsilon} \ lightarrow | e |= \ frac {q} {4 \ pi r ^ 2 \ varepsilon}。G.yD.F.4.y2B.a$

所以，放置检验电荷G.yD.F.4.y2B.a $问：G.yD.F.4.y2B.a$在现场不妨碍它导致的力G.yD.F.4.y2B.a

$| F |= q | e |= q \ frac {q} {4 \ pi r ^ 2 \ varepsilon}，G.yD.F.4.y2B.a$

这是库仑的法律。G.yD.F.4.y2B.a

请阅读G.yD.F.4.y2B.a约翰Muradeli注G.yD.F.4.y2B.a为了更好地解释上述证明。G.yD.F.4.y2B.a

来自Coulomb的Gauss：G.yD.F.4.y2B.a

我们从Coulomb的法律开始为单点收费G.yD.F.4.y2B.a $E = \压裂{\伽玛} {R ^ 2}G.yD.F.4.y2B.a$，在哪里G.yD.F.4.y2B.a $\伽马= \压裂{Q} {4 \ PI \ varepsilon_0}G.yD.F.4.y2B.a$。G.yD.F.4.y2B.a

现在，我们在一个封闭的球形表面包裹的电荷的电场集成：G.yD.F.4.y2B.a

$\开始{对齐} \ ointÊ\ CDOT \帽子{N} \，DA＆= \ oint \压裂{\伽玛} {R ^ 2} \，DA \\＆= \压裂{\伽玛} {R ^ 2} \ oint \，DA \\＆= \压裂{\伽玛} {R ^ 2} 4 \ PI R ^ 2 \\＆= 4 \ PI \伽马\\＆= \压裂{q} {\ varepsilon_0}\ {端对齐}G.yD.F.4.y2B.a$

根据需要，这是高斯的法律。G.yD.F.4.y2B.a $_ \平方G.yD.F.4.y2B.a$。G.yD.F.4.y2B.a

注意G.yD.F.4.y2B.a：只提供证明适用于球面;更一般的证明方式结束了使用的矢量运算和格林/三角洲的功能。随意搭在一般情况下的拍摄。G.yD.F.4.y2B.a

高斯定律是关于平方反比领域强大的报表。不只是在解决问题，但也发现它的地方在四个麦克斯韦方程以及重力。G.yD.F.4.y2B.a

看G.yD.F.4.y2B.a大卫的设置G.yD.F.4.y2B.a旅游为Gauss的定理及其应用。G.yD.F.4.y2B.a