一般相对论GyD.F4.y2Ba

一般相对论GyD.F4.y2Ba是爱因斯坦的理论GyD.F4.y2Ba重力GyD.F4.y2Ba，其中引力是由于曲率的结果呈现GyD.F4.y2Ba时空GyD.F4.y2Ba．在一般相对性中，在引力吸引下移动的物体仅沿着弯曲的非欧几里德空间中的“最小阻力路径”流动。时空曲线的金额取决于时空中存在的问题和能量，如物理学家John Archibald Wheeler的着名报价：GyD.F4.y2Ba

$``\ textrm {spacetime告诉差异如何移动;物质告诉spacetime如何曲线}。“GyD.F4.y2Ba$

行星弯曲附近的时空，描绘成一个二维网格的弯曲GyD.F4.y2Ba^{[1]GyD.F4.y2Ba}．GyD.F4.y2Ba

这一陈述可以概括为广义相对论的两个中心方程:GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} g _ {\ mu \ nu}＆= \ frac {8 \ pi g} {c ^ 4} t _ {\ mu \ nu} \\\\\ \ frac {d ^ 2 x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ 2} + \ gamma ^ {\ mu} _ {\ alpha \ beta} \ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau} \ frac {dx ^ {\ beta}} {d\ tau}＆= 0. \结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

第一个实际上是一组称为GyD.F4.y2Ba爱因斯坦的野外方程式GyD.F4.y2Ba；左边编码时空的曲率，而右边编码物质/能量内容。第二个，叫做GyD.F4.y2Ba测地方程GyD.F4.y2Ba，管理对象的轨迹如何在弯曲的时期中发展。下面，将解释这些方程背后的数学和物理直觉。GyD.F4.y2Ba

通常相对性的效果在存在极其巨大/致密的物体的情况下最可见，例如发现的物体GyD.F4.y2Ba天文学GyD.F4.y2Ba和GyD.F4.y2Ba宇宙学GyD.F4.y2Ba．这些效果包括引力时间扩张，重力的重力潜力，行星轨道的动力，透镜光，存在GyD.F4.y2Ba黑洞GyD.F4.y2Ba， 和GyD.F4.y2Ba引力波GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

尽管广义相对论在理论和实验验证方面都取得了巨大的成功，但极其技术性的数学不一致性已经表明，该理论最有可能是一个低能量、大长度尺度的近似更完整的“量子引力”理论，例如GyD.F4.y2Ba弦理论GyD.F4.y2Ba包含效果GyD.F4.y2Ba量子力学GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

等价原则GyD.F4.y2Ba

在爱因斯坦发展之后GyD.F4.y2Ba特殊相对论GyD.F4.y2Ba在二十世纪早期，他成功地在相对论的框架下解释了电磁和力学。似乎唯一缺少的就是重力。在牛顿引力理论中，质量的引力影响是瞬间发生的，违反了相对论的光速限制。引力需要修正并纳入相对论的框架中。GyD.F4.y2Ba

广义相对论起源于爱因斯坦的另一个著名理论GyD.F4.y2Bagedankenexperiments.GyD.F4.y2Ba．考虑一个关闭房间内的观察者。观察者丢弃了一个物体，似乎加速了它落在地上。爱因斯坦的实现是，不可能判断物体是否在重力的影响下加速或者如果物体是静止的，但房间在火箭上加速向上，使其看起来好像对象朝向地板而不是地板朝向物体。这GyD.F4.y2Ba等价GyD.F4.y2Ba加速运动与加速帧适当地称为GyD.F4.y2Ba等价原则GyD.F4.y2Ba．随着爱因斯坦从特殊相对论的想法以及物理学没有优选的坐标系，它形成了一般相对性概念性基础的基础。GyD.F4.y2Ba

另一种更适用的看待等效原理的方法如下:考虑一个小质量GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$从一些较大的质量的重力（牛顿极限）的影响下起作用GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$．那么作用在物体上的力是GyD.F4.y2Ba

$马F_g = = \压裂{GMm} {r ^ 2} \意味着= \压裂{通用}{r ^ 2}。GyD.F4.y2Ba$

以上，取消GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$双方GyD.F4.y2Ba牛顿的第二法GyD.F4.y2Ba由于引力而引起加速GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$．但没有GyD.F4.y2Ba先验GyD.F4.y2Ba原因为什么小GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $F = maGyD.F4.y2Ba$,被称为GyD.F4.y2Ba惯性质量GyD.F4.y2Ba，应该等于GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$在GyD.F4.y2Ba $f_g = \ frac {gmm} {r ^ 2}GyD.F4.y2Ba$,被称为GyD.F4.y2Ba引力质量GyD.F4.y2Ba．爱因斯坦的等价原则是惯性和引力质量的等价性的陈述：由于框架的加速而导致的质量与引起的质量相同。在这张照片中，爱因斯坦重新称剧重力从加速框架中难以区分，并使用这些想法作为通过弯曲几何形状加速的物体来重新实现重力。在未来几十年中，爱因斯坦与时代的几个数学家，特别是大卫希尔伯特，在开发几何重力理论。这个理论是最终变得相对论的原因。GyD.F4.y2Ba

早期预测和测试GyD.F4.y2Ba

惯性质量和引力质量的等效性导致了爱因斯坦作为广义相对论的结果之一的第一个预测:引力GyD.F4.y2Ba光的引力红移GyD.F4.y2Ba在这种情况下，光在爬出重力场时就会失去能量。不久之后，1916年，爱因斯坦提出了三个具体的实验测试，以验证他在大约十年的时间里发展起来的广泛的几何理论。第一个是引力红移;另外两个是由于大质量引力引起的光偏转和水星近日点进动。GyD.F4.y2Ba

大约在同一时间，德国物理学家卡尔·史瓦西(Karl Schwarzschild)发现了爱因斯坦方程的黑洞解GyD.F4.y2BaSchwarzchild指标GyD.F4.y2Ba．几年后，俄罗斯物理学家亚历山大弗里曼和其他人发现了允许扩大或收缩宇宙的解决方案，导致现代GyD.F4.y2Ba宇宙学GyD.F4.y2Ba还有宇宙大爆炸。由于相信宇宙是静态的，爱因斯坦不接受这些解，他又加了一个GyD.F4.y2Ba宇宙常数GyD.F4.y2Ba术语对他的公式确保宇宙不得不静态。在后来的几年里，爱因斯坦着名谈到了后悔这个错误。GyD.F4.y2Ba

在实验验证方面，英国天文学家亚瑟·埃丁顿爵士带领一个天文探险，1919年证实了太阳光的重力偏转。同类早期证据也来自天文学：自19世纪中叶以来，既是轴汞的轨道旋转一小角度每革命，所谓的“透过的”渐变“。爱因斯坦在一般相对性中对这种旋转的计算匹配着壮观的异常角度。GyD.F4.y2Ba

现代测试与研究GyD.F4.y2Ba

在物理学的现代时代，已经进行了无数的其他相对性实验测试，在实验中具有壮观的理论。GyD.F4.y2Ba

爱因斯坦最初关于引力红移的预测是最后一个被证实的——直到1959年著名的Pound-Rebka实验，在哈佛大学的一个实验室里测量到了伽马射线的红移。GyD.F4.y2Ba

另一种众所周知的稍后实验是1971年的Hafele-Keating实验，其中两名美国物理学家在世界各地的商业客机中飞行了几个原子钟。将平面上的原子钟与地面上的原子钟进行比较，并且发现空中时钟经历了一致的时间稍微慢一致GyD.F4.y2Ba引力时间扩张GyD.F4.y2Ba通过相对性预测。GyD.F4.y2Ba

广义相对论的物理结果实际上相当适用于日常生活。重力时间膨胀对GPS卫星测量时间的影响是不可忽视的。GPS“三角测量”实际上需要四颗卫星:三颗用来确定位置，第四颗用来校准由重力时间膨胀引起的计时误差。这个误差的大小足以在卫星发射数小时内给出错误的GPS预测。GyD.F4.y2Ba

的存在GyD.F4.y2Ba黑洞GyD.F4.y2Ba是一般相对论的主要预测之一。直到最近，黑洞从未直接观察过，仅通过对其他天文体的引力影响间接观察。但是，2016年初，据宣布另一个预测一般相对论 -GyD.F4.y2Ba引力波GyD.F4.y2Ba- 从两个普遍存器二进制黑洞的合并中观察到。由激光干涉测量引力波天文台（LiGo）的科学家观察到的黑洞合并的所得到的直接信号。GyD.F4.y2Ba

一些理论上的问题（以及许多实验问题）仍然是一般相对性的。例如，尚未知道如何协调一般相对性GyD.F4.y2Ba量子理论GyD.F4.y2Ba以完全一致的方式。其他一些技术问题包括在数学上证明某些黑洞时空，精密引力波天文的稳定性，以及对理论的修改需要解释引力的影响GyD.F4.y2Ba暗物质GyD.F4.y2Ba和暗能量。GyD.F4.y2Ba

注意，尽管它是常规相对性的，但是使用光速的单位系统GyD.F4.y2Ba $c = 1GyD.F4.y2Ba$，清楚起见所有因素GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$都包含在本文中。GyD.F4.y2Ba

什么是度规?GyD.F4.y2Ba

在数学上的一般相对论中的“时空曲率”只是意味着物体之间的距离在欧几里德几何形状中所期望的弯曲时空变化。例如，生活在球体表面的人，弯曲的空间，不希望两点之间的最短路径是直线。在球体的表面上，最短长度的路径或GyD.F4.y2Ba大动测量GyD.F4.y2Ba是连接两个相对的杆子的伟大圆圈。GyD.F4.y2Ba

这个球面例子和广义相对论之间有一些区别。首先，人们通常把球面想象成嵌入一个更大的空间，所以人被限制在球面的表面，但有一些空间不在球面上。这不是广义相对论的情况——相反，弯曲的空间是唯一的存在。人们可以看出两点之间的测地线是弯曲的。如果测地线不是直线，那么有一些迹象表明空间是弯曲的。GyD.F4.y2Ba

其他区别在于，在gr中，它不仅仅是空间，而是空间GyD.F4.y2Ba时间GyD.F4.y2Ba那是弯曲的。这意味着不仅是两个对象之间的距离，还不仅是两个事件之间的距离。取决于一个接近引主的源极，事件之间测量的时间可以或多或少地拉伸。GyD.F4.y2Ba

从数学上讲，事件之间的距离和时间是用一个叫做a的物体来表示的GyD.F4.y2Ba度规GyD.F4.y2Ba．度量有效地是矩阵，其允许一个计算载体之间的编号产品。展示公制通知的目的GyD.F4.y2Ba勾股定理GyD.F4.y2Ba在欧几里德空间中可以写作矩阵产品：GyD.F4.y2Ba

$d ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ iff \ begin {pmatrix} x＆y＆z \ neg {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆1＆0 \\ 0＆0＆1 \结束{pmatrix} \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ neg {pmatrix}。GyD.F4.y2Ba$

在欧几里得空间中，度规是单位矩阵——上面两个坐标向量之间的矩阵。上面的矩阵写成GyD.F4.y2Ba $\ delta_ {ij}GyD.F4.y2Ba$， 这GyD.F4.y2Ba克罗内克符号GyD.F4.y2Ba $（GyD.F4.y2Ba$0如果GyD.F4.y2Ba $我\ neq jGyD.F4.y2Ba$，1如果GyD.F4.y2Ba $我= j）。GyD.F4.y2Ba$在一般的非欧几里德空间中，度量不需要是身份矩阵。这一切都意味着说空间是弯曲的 - 以某种方式扭曲了距离的距离。将一般的空间指标写为GyD.F4.y2Ba $g_ {ij},GyD.F4.y2Ba$指数在哪里GyD.F4.y2Ba $一世GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $jGyD.F4.y2Ba$标记矩阵的行和列。即使在欧几里德空间中，根据坐标系，指标也不是身份。例如，在欧几里德空间的球形坐标中，度量标准采用表格GyD.F4.y2Ba

$\ begin {pmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆r ^ 2＆0 \\ 0＆0＆r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ neat {pmatrix}。GyD.F4.y2Ba$

闵可夫斯基度量GyD.F4.y2Ba

在将度规从空间扩展到时空时，必须加上第四维。在平坦的欧几里得时空中，笛卡尔坐标的度规是这样的:GyD.F4.y2Ba

$\ begin {pmatrix} -1＆0＆0＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ 0＆0和0 \\ 0＆0＆0 \\ 0＆0＆0 \ of {pmatrix}。GyD.F4.y2Ba$

这被称为GyD.F4.y2BaMinkowski公制GyD.F4.y2Ba，并且相应地称为平欧克利德的时空GyD.F4.y2BaMinkowski Spacetime.GyD.F4.y2Ba．根据上下文，有时度规被写成所有的分量都是负数。通常，闵可夫斯基度规表示为GyD.F4.y2Ba $μ\ eta_ {\ \}GyD.F4.y2Ba$而不是GyD.F4.y2Ba $g _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$．GyD.F4.y2Ba

这种奇怪的度量的原因，在时效的负组件，它是正确捕获的基本假设GyD.F4.y2Ba特殊相对论GyD.F4.y2Ba．它是不变的最简单的指标GyD.F4.y2Ba洛伦兹转型GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

考虑拍摄基本坐标向量的点产品GyD.F4.y2Ba $(ct, x, y, z)GyD.F4.y2Ba$与自己：GyD.F4.y2Ba

$d ^ 2 = -c ^ 2 t ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2。GyD.F4.y2Ba$

由于Minkowski指标在Lorentz转换下不变，因此该度量正确地占据了光速的事实GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$在所有的帧。由于光速是GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$在某些情况下，例如。GyD.F4.y2Ba

$c ^ 2 = \压裂vec {x} {| \ | ^ 2} {t ^ 2} = \压裂{x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} {t ^ 2},GyD.F4.y2Ba$

$d = 0GyD.F4.y2Ba$在那帧。但是，通过Minkowski公制的不变性，GyD.F4.y2Ba $d = 0GyD.F4.y2Ba$在所有的画面中，光速总是GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$在所有的帧。GyD.F4.y2Ba

不变的间隔GyD.F4.y2Ba

测量距离的方式可以在一般相对性中连续变化。结果，公制通常根据差异的量而定义，例如差异。数量GyD.F4.y2Ba $d ^ 2GyD.F4.y2Ba$上面写GyD.F4.y2Ba

$DS ^ 2 = -dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 = -dt ^ 2 + d \ vec {x} ^ 2 = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^{\ nu}。GyD.F4.y2Ba$

数量GyD.F4.y2Ba $DS ^ 2.GyD.F4.y2Ba$被称为GyD.F4.y2Ba不变的间隔GyD.F4.y2Ba，由于度量标准是Lorentz不变的。在上面的最后一个相等中，不变的时间间隔被重写在内GyD.F4.y2Ba爱因斯坦总结符号GyD.F4.y2Ba，其中重复指数超出。数量GyD.F4.y2Ba $g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}GyD.F4.y2Ba$描述坐标向量的点产品GyD.F4.y2Ba $dx ^ {\ mu} =（cdt，dx，dy，dz）GyD.F4.y2Ba$与自己;指数GyD.F4.y2Ba $\μGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $\ nu.GyD.F4.y2Ba$标记向量和表示矩阵的矩阵的索引。当讨论时空时，空间指数GyD.F4.y2Ba $一世GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $jGyD.F4.y2Ba$通常促进这些希腊字母。GyD.F4.y2Ba

通常，常规度量是根据不变间隔编写的GyD.F4.y2Ba $g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}GyD.F4.y2Ba$由于这比写出整个矩阵更紧凑。GyD.F4.y2Ba

平行传输载体GyD.F4.y2Ba

弯曲的刻度肟的中央特征之一是载体的“平行传输”变得不动。事实证明，该观察结果导致了大部分现代差异几何形状和一般相对性的数学。GyD.F4.y2Ba

矢量的“平行移动”是指沿着曲线滑动矢量，使其始终与曲线相切。在欧几里得时空中，这很简单:只要在任意给定点上沿着切向量的方向走，这个向量就永远是切向量。然而，在弯曲的空间里，就没那么容易了。在下面的图表中，我们可以看到出错的地方:GyD.F4.y2Ba

在球面上沿闭合环路平行移动切向量，导致角缺陷GyD.F4.y2Ba $\αGyD.F4.y2Ba$^{[2]GyD.F4.y2Ba}．GyD.F4.y2Ba

在上图中，向量已经沿着闭环中的球体的表面平行传输。向量与曲线平行开始，并且随着切线向量的情况而保持相当平行。当它舍入环的顶部时，其中环的曲率大，然而，沿着切线滑动它会移位向量的方向。在整个循环绕过后，向量已经被一角移位GyD.F4.y2Ba $\αGyD.F4.y2Ba$相对于它的初始方向GyD.F4.y2Ba角度缺陷GyD.F4.y2Ba这个闭环。GyD.F4.y2Ba

为了解决这个问题，必须修改它意味着并行传输曲线中的向量。通常，在一个平坦的空间中，人们会认为沿着直线自由落下的粒子会遵守等式GyD.F4.y2Ba

${d^2 x^{mu}}{d\tau^2} = 0，GyD.F4.y2Ba$

在哪里GyD.F4.y2Ba $\ TauGyD.F4.y2Ba$是粒子测量的时间GyD.F4.y2Ba $x ^{\μ}= (ct, vec {x}) \GyD.F4.y2Ba$是颗粒的坐标。这个等式基本上是陈述GyD.F4.y2Ba $f = ma = 0GyD.F4.y2Ba$，有效GyD.F4.y2Ba $a = \ frac {d ^ 2 x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ 2}GyD.F4.y2Ba$．GyD.F4.y2Ba

但是，此数量在坐标变换下不会很好地转换。由于在坐标变换下的行为良好是GR中的必需品，因此必须将该等式修改为等效表达式GyD.F4.y2Ba^{[3]GyD.F4.y2Ba}：GyD.F4.y2Ba

$\压裂{d x ^{\μ}}{d \τ}\ partial_{\μ}\压裂{dx ^{\ν}}{d \τ}= 0,GyD.F4.y2Ba$

在哪里GyD.F4.y2Ba $\ partial _ {\ mu} = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}GyD.F4.y2Ba$是通常的GyD.F4.y2Ba偏导数GyD.F4.y2Ba关于坐标GyD.F4.y2Ba $x ^{\μ}GyD.F4.y2Ba$．GyD.F4.y2Ba

在平坦空间中，平行移动任意向量GyD.F4.y2Ba $a ^ {\ nu}GyD.F4.y2Ba$因此意味着它遵守方程式GyD.F4.y2Ba

$v ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} a ^ {\ nu} = 0，GyD.F4.y2Ba$

在哪里GyD.F4.y2Ba $v ^ {\ mu}GyD.F4.y2Ba$是常用的切线矢量到路径。GyD.F4.y2Ba

协变微分、克里斯托费尔联系和测地线方程GyD.F4.y2Ba

在弯曲的空间，衍生物GyD.F4.y2Ba $\ partial_{\μ}GyD.F4.y2Ba$修正为正确的平行移动向量。它变成了GyD.F4.y2Ba协变导数GyD.F4.y2Ba^{[3]GyD.F4.y2Ba}

$\ nabla _ {\ mu} a ^ {\ nu} = \ partial _ {\ mu} a ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} _ {\ mu \ lambda} a ^ {\ lambda}，GyD.F4.y2Ba$

在哪里数量GyD.F4.y2Ba $\ gamma ^ {\ nu} _ {\ mu \ lambda}GyD.F4.y2Ba$,被称为GyD.F4.y2Ba克里斯托费尔符号GyD.F4.y2Ba要么GyD.F4.y2BaChristoffel连接GyD.F4.y2Ba，在度量标准中定义GyD.F4.y2Ba

$\ gamma ^ {\ nu} _ {\ mu \ lambda} = \ frac12 g ^ {\ nu \ sigma}（\ partial _ {\ mu} g _ {\ sigma \ lambda} + \ partial _ {\ lambda} g _ {\ mu\ sigma} - \ partial _ {\ sigma} g _ {\ mu \ lambda}）。GyD.F4.y2Ba$

此数量称为“连接”，因为它“连接”切线向量两点。它改变普通的局部衍生物，以便正确调整切线向量以考虑空间的曲率。GyD.F4.y2Ba

这GyD.F4.y2Ba $g ^ {\ nu \ sigma}GyD.F4.y2Ba$以上两项指标均被提振的成分为GyD.F4.y2Ba逆矩阵GyD.F4.y2Ba．逆度规等于这个度规的矩阵逆。GyD.F4.y2Ba

有了这些修改，切向量的平行移动GyD.F4.y2Ba $v ^ {\ mu}GyD.F4.y2Ba$ $\大(GyD.F4.y2Ba$注意到这一点GyD.F4.y2Ba $v ^ {\ mu} = \ frac {\ partial x ^ {\ mu}} {\ partial \ tau} \ big）GyD.F4.y2Ba$由此提供GyD.F4.y2Ba测地方程GyD.F4.y2Ba^{[3]GyD.F4.y2Ba}

$v ^ {\ nu} \ nabla _ {\ nu} v ^ {\ mu} = 0 \ iff \ frac {d ^ 2 x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ 2} + \ gamma ^ {\ mu}_ {\ alpha \ beta} \ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau} \ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ tau} = 0。GyD.F4.y2Ba$

注意，与常规相对论一样，上述重复指标（因此可以用无论希望的字母标记）。还要注意，这个等式看起来很像GyD.F4.y2Ba $f = ma = 0GyD.F4.y2Ba$，除了修改术语GyD.F4.y2Ba $\ gamma ^ {\ mu} _ {\ alpha \ beta} \ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau} \ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ tau}GyD.F4.y2Ba$捕捉时空曲率的影响。GyD.F4.y2Ba

pathGyD.F4.y2Ba $x ^ {\ mu}（\ tau）GyD.F4.y2Ba$据说遵守测地等式的时空中GyD.F4.y2Ba大动测量GyD.F4.y2Ba．它们是弯曲时空的两个点之间的最短路径，并且是当空间弯曲时自由下降粒子的轨迹。由于这些轨迹通常在引力源涉及时通常不是直线，因此重力的影响是曲线时空，改变GyD.F4.y2Ba $g _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$并产生改变粒子的轨迹。这就是“Spacetime在一般相对性中讲述如何移动”的方式。GyD.F4.y2Ba

泊松等式和弱场限制GyD.F4.y2Ba

在牛顿引力的最精细的数学方法中，物体的加速度是根据GyD.F4.y2Ba引力势GyD.F4.y2Ba $\ phi.GyD.F4.y2Ba$由方程GyD.F4.y2Ba

$a = - \ nabla \ phi，GyD.F4.y2Ba$

在哪里GyD.F4.y2Ba $\微分算符GyD.F4.y2Ba$是渐变算子。这种引力潜在的obeysGyD.F4.y2Ba泊松方程GyD.F4.y2Ba^{[3]GyD.F4.y2Ba}

$nabla^2 = 4 G，GyD.F4.y2Ba$

类似于GyD.F4.y2Ba高斯的法律GyD.F4.y2Ba在电力和磁力。在这个等式中，GyD.F4.y2Ba $\ rho.GyD.F4.y2Ba$是引人注目的密度。GyD.F4.y2Ba

由于一般相对性应在静态，慢慢移动，弱的严格情况下减少到牛顿引力，因此对泊松方程来说应该是完全相对的重力方程。此外，左侧应该是由度量编码的以某种方式，因为度量在一般相对性中对弯曲的时空和重力进行了所有效果。此外，事实证明，在弱场限制中，只有一个度量组件很重要，并且由GyD.F4.y2Ba $g_{00} \大约-(1 + 2 \φ)GyD.F4.y2Ba$，因此度量标准实际上直接连接到牛顿潜力在这个限制。GyD.F4.y2Ba

压力 - 能量张量GyD.F4.y2Ba

度量是矩阵，因此这种等式也应该是矩阵方程。这是可能的，因为实际上存在一个矩阵，其编码了关于引起的物质和能量的所有信息：GyD.F4.y2Ba压力 - 能量张量GyD.F4.y2Ba $t _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$．这是一个关于图解的对称的四×四矩阵GyD.F4.y2Ba

应力-能量张量矩阵表示的图解结构GyD.F4.y2Ba

那是，GyD.F4.y2Ba $t_ {00} = \ rhoGyD.F4.y2Ba$是能量密度，另一个组件给出引力物质的动态，压力和剪切应力。仅示出了矩阵的右上右半部分，因为它对对角线对称。自从GyD.F4.y2Ba $t_ {00} = \ rhoGyD.F4.y2Ba$是能量密度，似乎是合理的GyD.F4.y2Ba $t _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$成为一般相对性方程的右侧，这将减少泊松等式。GyD.F4.y2Ba

事实证明，使用协助衍生物的相应性相比，通过相应的衍生物作为GyD.F4.y2Ba

$\ nabla _ {\ mu} t ^ {\ mu \ nu} = 0。GyD.F4.y2Ba$

曲率和爱因斯坦的方程式GyD.F4.y2Ba

如果GyD.F4.y2Ba $T ^{\μ\ν}GyD.F4.y2Ba$是一般相对性等式的右侧，因此，左侧在协助衍生物下面更好地消失。事实证明，该协调衍生性的指标的第二衍生物的组合也是如此，这也是如此GyD.F4.y2Ba爱因斯坦张信GyD.F4.y2Ba $G_{\μ\ν}GyD.F4.y2Ba$：GyD.F4.y2Ba

$g _ {\ mu \ nu} = r _ {\ mu \ nu} - \ frac12 r g _ {\ mu \ nu}，GyD.F4.y2Ba$

在哪里GyD.F4.y2Ba $R_{\μ\ν}GyD.F4.y2Ba$是个GyD.F4.y2Ba里奇张量GyD.F4.y2Ba和GyD.F4.y2Ba $r = r ^ {\ lambda} _ {\ lambda}GyD.F4.y2Ba$，里奇张量的迹，称为GyD.F4.y2Ba里奇标量GyD.F4.y2Ba．RICCI张量在GyD.F4.y2BaRiemann曲率张量GyD.F4.y2Ba，又在克里斯科特尔符号中定义了之前定义的GyD.F4.y2Ba

$r ^ {\ rho} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} \ gamma ^ {\ rho} _ {\ nu \ sigma} - \ partial _ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho}_ {\ mu \ sigma} + \ gamma ^ {\ rho} _ {\ mu \ lambda} \ gamma ^ {\ lambda} _ {\ nu \ sigma} - \ gamma ^ {\ rho} _ {\ nu \ lambda} \ gamma ^ {\ lambda} _ {\ mu \ sigma}，GyD.F4.y2Ba$

以便GyD.F4.y2Ba $r _ {\ mu \ nu} = r ^ {\ lambda} _ {\ mu \ lambda \ nu}GyD.F4.y2Ba$是riemann曲率张量的部分迹线。Riemann曲率张量与协方衍生物和平行传输的深度连接，也可以根据该语言定义。GyD.F4.y2Ba

上面的方程足以给出广义相对论的中心方程作为两者之间的比例关系GyD.F4.y2Ba $G_{\μ\ν}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $t _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$．要求该方程在弱场极限下简化为牛顿引力泊松方程GyD.F4.y2Ba $g_{00} \大约-(1 + 2 \φ)GyD.F4.y2Ba$设比例常数为GyD.F4.y2Ba $8 \ \压裂{πG} {c ^ 4}GyD.F4.y2Ba$．因此，通过对矩阵（应力 - 能量张量）中的能量密度进行编码，并在遵守相同的协助衍生性属性的指标的第二衍生方面找到矩阵，一个到达GyD.F4.y2Ba爱因斯坦的野外方程式GyD.F4.y2Ba，一般相对性的中央方程GyD.F4.y2Ba^{[3]GyD.F4.y2Ba}：GyD.F4.y2Ba

$G_{mu \nu} = {frac{8 \pi G}{c^4} T_{mu \nu}。GyD.F4.y2Ba$

注意，这个等式适用于所有选择的指标GyD.F4.y2Ba $\μGyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $\ nu.GyD.F4.y2Ba$因此它是一组方程，而不是一个单独的方程。GyD.F4.y2Ba

通用相对论的定义和符号非常密集，计算任何数量都非常密集。然而，这种紧凑且美观的方程总结了Wheeler's引用的下半部分：“物质告诉Spacetime如何曲线。”压力 - 能量张量GyD.F4.y2Ba $t _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$通过空间集中的任何问题的能量内容描述了GyD.F4.y2Ba $G_{\μ\ν}GyD.F4.y2Ba$，度规的函数GyD.F4.y2Ba $g _ {\ mu \ nu}GyD.F4.y2Ba$，因此决定了时尚曲线如何响应物质。GyD.F4.y2Ba

爱因斯坦真空的方程GyD.F4.y2Ba

一般来说，解决爱因斯坦的方程是非常困难的，即使是借助计算机进行数值计算。对于给定不同的应力-能量张量的度规，只有几个精确的解析解是已知的。最简单的解决方案是在真空中(可能在引力源之外):GyD.F4.y2Ba $T_{\mu \nu} = 0GyD.F4.y2Ba$．在这种情况下，爱因斯坦的方程减少到稍微更简单的方程（提供的尺寸大于2）：GyD.F4.y2Ba

$r _ {\ mu \ nu} = 0. \ qquad \ text {（真空einstein方程）}GyD.F4.y2Ba$

这个等式的一个明显的解决方案只是Minkowski指标。由于所有组件只是数字而不是空间或时间的功能，因此Minkowski度量标准的所有衍生物都为零，因此所有Christoffel符号都消失，曲率也消失。GyD.F4.y2Ba

Schwarzschild公制和黑洞GyD.F4.y2Ba

Minkowski度量标准不是空间或时间的函数，因此它非常对称。真空爱因斯坦方程的下一个最简单的解决方案是GyD.F4.y2BaSchwarzschild公制GyD.F4.y2Ba，这对应于球形对称质量分布外的时空的情况。它是由球形坐标的不变间隔给出：GyD.F4.y2Ba

$ds ^ 2 = - \左（1- \ frac {2gm} {rc ^ 2}右）c ^ 2 dt ^ 2 + \左（1- \ frac {2gm} {rc ^ 2} \右）^ {-1} Dr ^ 2 + r ^ 2 d \ theta ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta d \ phi ^ 2。GyD.F4.y2Ba$

这个度量标准描述了GyD.F4.y2Ba任何GyD.F4.y2Ba质量的球对称质量分布GyD.F4.y2Ba $mGyD.F4.y2Ba$，包括行星、恒星……和黑洞!注意这个因素GyD.F4.y2Ba $1- \ frac {2gm} {rc ^ 2}GyD.F4.y2Ba$上面使得度量变得堕落GyD.F4.y2Ba $r_s = \ frac {2gm} {c ^ 2}GyD.F4.y2Ba$， 这GyD.F4.y2BaSchwarzschild RadiusGyD.F4.y2Ba和位置GyD.F4.y2Ba活动视野GyD.F4.y2Ba一个黑洞。黑洞只是球形对称的质量分布，其充分密集为GyD.F4.y2Ba $r_s.GyD.F4.y2Ba$实际上在物体半径之外。例如，地球的史瓦西半径大约是GyD.F4.y2Ba $9.GyD.F4.y2Ba$毫米，在地球的核心内部深入，施瓦茨柴尔德公制不再适用。GyD.F4.y2Ba

一个有趣的是要注意的，即上述公式意味着存在GyD.F4.y2Ba引力时间扩张GyD.F4.y2Ba．一个物体固定在半径GyD.F4.y2Ba $rGyD.F4.y2Ba$从球体对称的批量分布的中心以一定因素调整的速率经历时间的流逝GyD.F4.y2Ba $\ sqrt {1- \ frac {2gm} {rc ^ 2}}GyD.F4.y2Ba$与无限大的观察者相比，也就是更慢。如上所述，这一效应已在地球表面上得到实验证实。GyD.F4.y2Ba

据说黑洞常常被称为“曲率奇点”。这似乎与Schwarzschild度量相矛盾，即自那里的真空爱因斯坦方程的解决方案GyD.F4.y2Ba $R_{\mu \nu} = R = 0GyD.F4.y2Ba$．然而，并非riemann曲率张量的所有组件都消失了，并且标量数量称为GyD.F4.y2BaKretschmann Scalar.GyD.F4.y2Ba对于Schwarzschild度量来提供GyD.F4.y2Ba^{[3]GyD.F4.y2Ba}

$k = r _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} r ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} = \ frac {48 g ^ 2 m ^ 2} {c ^ 4 r ^ 6}。GyD.F4.y2Ba$

由于此数量偏离GyD.F4.y2Ba $r \ 0GyD.F4.y2Ba$，黑洞确实具有曲率奇点GyD.F4.y2Ba $r \ 0GyD.F4.y2Ba$，尽管人们怀疑经典广义相对论将在这一点之前崩溃，从而阻止奇点的形成。GyD.F4.y2Ba

作为GyD.F4.y2Ba $r \ to r_sGyD.F4.y2Ba$， 这GyD.F4.y2Ba $dt ^ 2.GyD.F4.y2Ba$在史瓦西度规中的项趋于零。这应该被解释为，远离黑洞的观察者在观察一个物体下落时，永远不会看到这个物体下落到视界之外。因为，当它接近视界时，它似乎停止体验时间的流逝，与视界的物理距离似乎变得巨大。然而，仔细的分析将表明，在经典广义相对论中，一个下落的物体在经过视界时并没有什么不寻常的经历。GyD.F4.y2Ba

SR声称空间和时间表现出特定的对称模式。转换组称为Lorentz转换或速度变换。这是一组线性变换GyD.F4.y2Ba $(^{\μ})' = \ sum_{\ν= 1}^ 4 L_{\ν}^{\μ}^{\ν}。GyD.F4.y2Ba$

1. mysid，。GyD.F4.y2BaSpacetime格子类比GyD.F4.y2Ba．从检索GyD.F4.y2Bahttps://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=45121761GyD.F4.y2Ba
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