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f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 罪 ( x n ) 7 n f \左(x \右)= \总和_ {n = 0} ^ {\ infty}{\压裂{\罪{\左(xn \右)}}{{7}^ {n}}} f(x)=n=0∑∞7n罪(xn)对所有实数 x x x,让 f ( x ) f (x) f(x)是一个有基本周期的函数 P P P.
让 一个 = ∫ 0 P / 2 f ( x ) d x {P/2} f(x) = 0, x, x, x, x, x, x, x, x, x 一个=∫0P/2f(x)dx.如果 f ( π e ∣ 一个 ∣ ) (e^{|a|} \right) f(πe∣一个∣)可以表示为 − α β γ α- \ dfrac{\ \√6 \β}{\伽马} −γαβ ,在那里 α , β \α,β\ α,β和 γ \γ γ是正整数与 α , γ \α,\γ α,γcoprime和 β β\ βsquare-free,找到 α + β + γ + + α+β+γ.
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1 7 1 ! + 1 7 + 2 7 2 ! + 1 7 + 2 7 + 3. 7 3. ! + 1 7 + 2 7 + 3. 7 + 4 7 4 ! + ... \压裂{1 ^ 7}{1 !}+\frac {1^7 + 2^7}{2!} + \frac {1^7 + 2^7 + 3^7}{3!} + \frac {1^7 + 2^7 + 3^7 + 4^7}{4!} + \ldots 1!17+2!17+27+3.!17+27+3.7+4!17+27+3.7+47+...
如果上面的级数等于 W W W,什么是价值 24 e × W \frac {24}{e} \ W e24×W?
注意: e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n E = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left (1 + \frac 1 n \right)^n e=n→∞lim(1+n1)n
灵感来自Caleb Townsend
所有整数 n n n,我们定义 ξ n \ xi_n ξn如下: { ξ n = 1 如果 n ≡ 0 ( 米 o d 4 ) 或 n ≡ 1 ( 米 o d 4 ) ξ n = − 1 如果 n ≡ 2 ( 米 o d 4 ) 或 n ≡ 3. ( 米 o d 4 ) \begin{case} \xi_n= 1 & \text{if} n \equiv 0 \pmod{4} \text{or} n \equiv 1 \pmod{4} \\ \xi_n= -1 & \text{if} n \equiv 2 \pmod{4} \text{or} n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} {ξn=1ξn=−1如果n≡0(米od4)或n≡1(米od4)如果n≡2(米od4)或n≡3.(米od4)对所有 n ∈ Z + n \ \ mathbb {Z ^ +} n∈Z+,让 f ( n ) = ξ 0 ( n 0 ) + ξ 1 ( n 1 ) + ξ 2 ( n 2 ) + ⋯ + ξ n ( n n ) . f (n) = \ xi_0 \ dbinom {n} {0} + \ xi_1 \ dbinom {n} {1} + \ xi_2 \ dbinom {n} {2} + \ cdots + \ xi_n \ dbinom {n} {n}。 f(n)=ξ0(0n)+ξ1(1n)+ξ2(2n)+⋯+ξn(nn).找到 ⌊ One hundred. ( ∑ n = 0 ∞ f ( n ) n ! ) ⌋ \left \lfloor 100 \left(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{f(n)}{n!} \right) \right \rfloor ⌊100(n=0∑∞n!f(n))⌋.
细节和假设
作为一个明确的例子,因为 4 ≡ 0 ( 米 o d 4 ) 4 \相等0 \pmod{4} 4≡0(米od4), ξ 4 = 1 \ xi_4 = 1 ξ4=1,而 ξ 6 = − 1 \ xi_6 = 1 ξ6=−1自 6 ≡ 2 ( 米 o d 4 ) 6 \相等2 \pmod{4} 6≡2(米od4).请注意, ξ 0 = ξ 1 = 1 \ \ xi_1 xi_0 = = 1 ξ0=ξ1=1.
地板上功能 ⌊ x ⌋ \ \ rfloor lfloor x ⌊x⌋小于或等于的最大整数 x x x.例如, ⌊ 3.25 ⌋ = 3. , ⌊ 4 ⌋ = 4 , ⌊ π ⌋ = 3. \lfloor 3.25 \rfloor= 3, \lfloor 4 \rfloor= 4, \lfloor \pi \rfloor= 3 ⌊3..25⌋=3.,⌊4⌋=4,⌊π⌋=3..
你可以用科学计算器算这道题。
lim x → 0 ( 因为 x ) 罪 x − 1 − x 3. x 6 = ? \ \ displaystyle \大lim_ {x \ 0} \压裂{(\ cos (x) ^ {\ sin (x)} - \ sqrt {1 - x ^ 3}} {x ^ 6} = \ ? x→0limx6(因为x)罪x−1−x3. =?
找到 f ( 2016 ) ( 0 ) 2016 ! f \ dfrac {^ {(2016)} (0)} {2016 !} 2016!f(2016)(0)为 f ( x ) = x 3. ( 1 − x ) 3. ( 1 + x + x 2 ) f (x) = \ dfrac {x ^ 3} {(1 - x) ^ 3 (1 + x + x ^ 2)} f(x)=(1−x)3.(1+x+x2)x3..
澄清:
f ( k ) ( x ) f ^ {(k)} (x) f(k)(x)表示 k th k ^ \文本{th} kth的导数 f ( x ) f (x) f(x).
! ! !表示的阶乘符号。例如, 8 ! = 1 × 2 × 3. × ⋯ × 8 8 != 1 \ \ cdots \ times8 times2 \ times3 \倍 8!=1×2×3.×⋯×8.
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