阶乘

最基本的概念之一排列和组合是用的阶乘符号。利用阶乘的概念，许多复杂的事情变得简单了。的使用 $！$是由克里斯蒂安·克兰在1808年创立的。虽然它们看起来很简单，但对非负整数和分数的阶乘记数法的使用有点复杂。应用范围从简单的代数到微积分，它也被用来寻找概率。

让我们先熟悉阶乘的定义，然后讨论与阶乘相关的一些性质。

对于所有正整数， $n !$(读 $n$的阶乘)的定义为

$n != n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)$

的话说, $n !$所有正整数的乘积是否小于或等于 $n$．

以下是基于上述定义的一些例子:

评估 $5！$．

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我们有

$\{对齐}5开始!& = 5×4×3×2×1 \ \ \ \ & = 120。\ _ \广场结束\{对齐}$

评估 $\ dfrac{10 !}{6 !}。$

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我们可以写 $10 !$作为 $10 × 9 × 8 × 7 × 6!$．把这个值代入题中，我们得到

$\begin{aligned} \dfrac{10\乘9\乘8\乘7\乘6!}{6!} &=& 10\乘以9\乘以8\乘以7 \\ &=& 5040\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $4×3 !$．

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我们有

$开始\{对齐}4×3 !&=(4×3×2×1)\times (3×2×1)\\ &=24×6\\ &=144\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $x !＝1，$有多少不同的值 $x$有什么?

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我们有

$0 !＝1，\quad 1!=1.$

所以, $2$的值 $x$满足给定方程。 $_ \广场$

评估 $\ dfrac {3 !} {5 !｝$．

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表达式等于

$\begin{aligned} \dfrac{3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = & \dfrac{1}{5 \times 4}\\\\ = & \dfrac{1}{20}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

现在您可以轻松解决以下问题:

让我们试试特殊情况 $0 !$．这个案子有很多争议 $0 !$，但最后大家都接受了 $0 ! = 1。$在证明它之前，让我们先理解一个基本定理。

对于任何正整数 $n$， $\压裂{n !} {n} = (n - 1) !。$

我们可以写 $\压裂{n !} {n}$作为

${对齐}\ \开始dfrac {n \乘以(n - 1) \乘以(n - 2) \ \ cdots \ times3 \ times2 \ times1} {n} & = & (n - 1) \乘以(n - 2) \ \ cdots \ times3 \ times2 \ times1 \ \ & = & (n - 1) !。\ \ _ \广场结束{对齐}$

现在，我们来证明一下 $0 != 1。$

我们可以表达 $(n - 1) ! = \压裂{n !} {n}$．然后我们可以把值 $n = 1$获得

$\{对齐}(1 - 1)开始! & = & \ dfrac {1 !}{1} \ \ \ \ 0 ! & = & 1 ! \ \ & = & 1。\ _ \广场结束\{对齐}$

评估 $\压裂{8 !}{8}。$

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我们有

${对齐}\ \开始dfrac {8 !} {8} & = 7 !\ \ & = 7×6×5×4×3×2×1 \ \ & = 5040。\ \ _ \广场结束{对齐}$

评估 $\压裂{8×7 !}{6×5 !}。$

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我们有

${对齐}\ \开始dfrac{8×7 !}{6×5 !｝&=\dfrac {8×7×6×5×4×3×2×1×7×\cancel{6×5×4×3×2×1}}{\cancel{6×5×4×3×2×1}×5×4×3×2×1}\\\\ &=2352.\ _\square \end{aligned}$

双因子:

现在，我们来讨论一下什么是二重阶乘。这种阶乘用表示 $n ! !$．这是一种多因素的类型，我们将在这wiki。就二阶乘而言，它的结尾是 $2$对于偶数，以 $1$对于一个奇数。换句话说,

• 对于一个甚至数量和 $n > 0,$ $n ! ! = n××(n - 2) \ cdots×4×2;$
• 对于一个奇怪的数量和 $n > 0,$ $n ! ! = n××(n - 2) \ cdots×3×1;$
• 如果 $n = 0,$ $0 ! ! = 1。$

对于任何非负整数 $n,$我们发现

${数组}{c} & \ \开始dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !=(n-1)!!×n!!结束\{数组}$

有以下两种情况:

• 案例1: $n$是奇怪的．然后我们有 ${n\times(n-1)\times(n-2)\times \cdots \times3\times2\times1}{n\times(n-2)\times(n-4)\times \cdots \times 5\times3\times1}。$因为所有的数字都是奇数 $N, N -2, N -4, ldots, 5,3,1$消掉，这个方程等于 $\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !$

• 案例2: $n$是甚至．然后我们有 ${n\times(n-1)\times(n-2)\times \cdots \times3\times2\times1}{n\times(n-2)\times(n-4)\times \cdots \times 4\times2}$因为所有的数字都是偶数 $N, N -2, N -4, ldots, 4,2$消掉，这个方程等于 $\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !$

现在，如果我们结合这两种情况，我们会发现任何非负整数 $n,$

$\ dfrac {n !} {n ! !} = (n - 1) ! !\ _ \广场$

评估 $\压裂{9 !}{9 ! !}。$

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我们知道 $\压裂{n !} {n ! !} = (n - 1) ! !$．代入这些值，我们得到

${对齐}\ \开始dfrac {9 !} {9 ! !} & = (9) ! !\ \ & = 8 ! !\ \ & = 8×6×4×2 \ \ & = 384。\ _ \广场结束\{对齐}$

如果 ${100 \乘99 \乘98 \乘97 \乘cdots \乘3 \乘2 \乘1}{100 \乘99}$可以写成 $x !，$价值是什么 $x ?$

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我们有

$\begin{aligned} \ drac{100 \乘99 \乘98 \乘97 \乘cdots \乘3 \乘2 \乘1}{100 \乘99}&=98 \乘97 \乘96 \乘95 \乘cdots \乘3 \乘2 \乘1\ &=98!结束\{对齐}$

的值 $x$是 $98.$ $_ \广场$

对于任何非负整数 $n,$我们发现

$\ dfrac {(2 n + 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n + 1) ! !$

在这里，没有必要考虑两个独立的情况，因为，是否 $n$是奇数还是偶数，没有区别。

我们可以将表达式展开为

$\ dfrac {(2 n + 1)×(2 n)×2 (n - 1) \ * \ cdots×3×2×1}{(2 n)×(2 - 2)×2 (4)\ \ cdots \乘以4×2}。$

我们发现 $2n, 2n- 2,2n -4, ldots, 4,2$被取消(即。所有的偶数被取消)，导致我们得出这样的结果:

$\ dfrac {(2 n + 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n + 1) ! !\ _ \广场$

对于任何非负整数 $n,$我们发现

$\ dfrac {(2 n - 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n - 1) ! !$

同样，这里没有必要考虑两种不同的情况。

我们可以将LHS中的表达式展开为

${(2n-2)\times(2n-2)\times×(2n-3)\times \cdots \times3\times2\times1}{(2n-2)\times(2n-4)\times \cdots \times 4\times2}。$

因为所有的数字都是偶数 $2n- 2,2n - 4,ldots 4,2$消掉，这个方程等于

$\ dfrac {(2 n - 1) !} {(2 n) ! !} = (2 n - 1) ! !\ _ \广场$

注意:不解释 $n ! !$是 $(n !) !$．它们完全不同。

评估 $\ dfrac {9 !} {8 ! !｝$．

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我们有

$\begin{aligned} \dfrac {9!} {8 ! !｝＝& \dfrac{ (2 \times 5 - 1 ) ! } { (2 \times 5 - 2 ) !! } \\ = & (2 \times 5 - 1 )!! \\ = & 9 !! \\ = & 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1 \\ = &945.\ _\square \end{aligned}$

评估 $\ dfrac {(3) !} {3 ! !｝$．

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我们有

${对齐}\ \开始dfrac {(3) !} {3 ! !} & = \ dfrac{(3×2×1)!｝｛3.×1｝\\ &=\dfrac {6!}{3}\\ &=\dfrac {6×5×4×3×2×1}{3}\\ &=\dfrac {720}{3}\\ &=240.\ _\square \end{aligned}$

斯特林近似为 $n !$说,

$n !{2 \ n} left(\frac{n}{e} right)^n。$

此外，我们知道了一个好的下界 $n !：$

$n !{2\pi n}} {{e}^{n}}。$

关于阶乘的一个有趣的事实是对于任何多项式 $f (x)$，我们可以说它是一个整数 $n$那 $n ! > f (n)$和 $m > n$那 $m ! > f(米)$．我们称之为"克服" $f (x)$．

说明这一点的一个简单方法是使用已经提供的下界，并假设 $n > 1$．这告诉我们

$n !通用电气\ \压裂{{n} ^ {n} \ sqrt{2π\ n}} {{e} ^ {n}} \通用电气\离开(\压裂{n} {e} \右)^ n。$

为 $f (x) = {x} ^ {k}$很明显，任何以大于1为底的指数函数都可以通过取对数来“克服”它。因为 $左(\ \压裂{n} {e} \右)^ n$会比指数函数增长得快吗 $n > 1$，它也必须克服 $f (x)$．因为这是下限 $n !，$我们展示了 $x !$克服了 ${x} ^ {k}$对于一个任意 $k$和 $一个$．

由于多项式是由这些函数组成的，结果如下。

虽然阶乘通常用于整数，但它们可以推广为复数(负整数除外)，并表示为一个整数:

$n !＝\Gamma (n+1)=\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ n } }{ { e }^{ x } } } dx,$

在哪里 $\γ(n)$被定义为 $(n - 1) !$．这个也可以写成 $\ displaystyle z !＝\Gamma (z+1)=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { t }^{ z }{ e }^{ -t } } dt$．

这个公式的一个很好的推导是从积分开始的

$int \{\压裂{1}{{e} ^ {kx}}} dx = - \压裂{{e} ^ {kx}} {k} + C,$

因此

$\ int_ {0} ^ {\ infty}{\压裂{1}{{e} ^ {kx}}} dx = \压裂{1}{k}。$

然后区分 $n$乘以 $k$获得

$\ int_ {0} ^ {\ infty}{\压裂{{(- x)} ^ {n}} {{e} ^ {kx}}} dx = \压裂{{(1)}^ {n} n !} {{k} ^ {n + 1}}。$

观察到 ${(1)} ^ {n}$两边都可以提出来，然后呢 $k = 1,$我们到达

$n !＝\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ n } }{ { e }^{ x } } } dx.\ _\square$

从这个积分定义，有一些很好的性质 $左(\ \伽马\压裂{n}{2} \右)$可以导出。首先，我们需要计算 $\离开(- \压裂{1}{2}\右)!$或 $左(\ \伽马\压裂{1}{2}\右)$．这是通过积分得到的

$\ int _ {0} ^ {\ infty}{\压裂{1}{\ sqrt {x} {e} ^ {x}}} dx = \ sqrt{\π}。$

结合使用 $\ n (n + 1) =γ\γ(n),$你可以到达

$左(n - \ \压裂{1}{2}\右)! = \ sqrt{\π}\离开(\压裂{1}{2}\)\离开(\压裂{3}{2}\右)…\离开(n - \压裂{1}{2}\右)= \ sqrt{\π}\ prod _ {j = 1} ^ {n} {j - \压裂{1}{2}}。$

剩下的就是简化了 $\prod _{j=1}^{n}{j-\frac {1}{2}}$．如果你把每一项表示为分数，这就容易多了:

$\ prod _ {j = 1} ^ {n} {j - \压裂{1}{2}}= \ prod _ {j = 1} ^ {n}{\压裂{2 j - 1}{2}} = \压裂{(2 n) !} {{2} ^ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {n} {2 j}} = \压裂{(2 n) !} {{4} ^ {n} n !}。$

因此，最终结果为 $左(n - \ \ dfrac{1}{2} \右)!$是 $大概{\π}\ \ dfrac {(2 n) !} {{4} ^ {n} n !｝$．

阶乘的思想不仅仅局限于双阶乘，还存在多阶乘!

• 排列

• 组合