泰勒级数

本文用途求和符号。

一种泰勒级数是A.多项式它可以用来表示很多不同的函数，尤其是那些不是多项式的函数。泰勒级数的应用范围从古典和现代物理到你的手持计算器计算三角表达式。

泰勒系列都很有用......

$\ int_ {0} ^ {x} \ frac {\ sin t} {t} dt = x - \ frac {x ^ {3}}} {3 \ cdot3！} + \ frac {x ^ {5}} {5\ cdot5！} - \ frac {x ^ {7}}} {7 \ cdott7！} + \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty}（ - 1）^ {n} \ frac {x ^ {2n + 1}} {{（2n + 1）} \ cdot {（2n + 1）}！}$

这里，泰勒系列用于评估不能使用已知方法计算的积分。

......和美丽：

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ {n} \压裂{4}{2 n + 1} = 4 - \压裂{4}{3}+ \压裂{4}{5}- \压裂{4}{7}+ \ cdots = \π$

在这里，用泰勒级数给出了确切的值 $\π$。

让 $f（x）$是一个无限差异的真实函数 $x =从$。这泰勒级数扩展功能 $f（x）$以点为中心 $x =从$是（谁）给的

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {(n)}(从)\压裂{(x - x_0) ^ {n}} {n !}。$

注意 $f ^ {(n)}(从)$代表了 $n ^ \文本{th}$的导数 $f（x）$在 $x =从$。

$\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {(n)}(从)\压裂{(x - x_0) ^ {n}} {n !｝$

这不是明显的本定义如何构建与原始功能相当的无限度的多项式， $f（x）$。也许我们可以通过写出的泰勒级数的前几项来获得理解 $f（x）= \ cos x$集中在 $x = 0$。请注意，使用没有特别的特别之处 $x = 0$除了计算方便之外，任何其他中心的选择都是允许的，并且会根据需要而变化。

现在我们将使用上面的定义来构造一个优雅的多项式等价 $\ cos x$。

因为上面定义的泰勒级数的公式包含 $f ^ {(n)}(从)$，则应该构建一个包含的值的列表 $f（x）$它的前四阶导数 $x = 0:$

$\{数组}{rll}开始f(0) & = \因为0 & = {# EC7300} 1 \颜色\ \ f(0) & = - \ 0 & =罪\颜色\ \ {# 3 d99f6} 0 f”(0)& = - \因为0 & = {# EC7300}{1} \颜色\ \ f”(0)& =罪\ 0 & = {# 3 d99f6} \颜色\ \ 0 f ^ {(4)} (0) & = \ cos 0 & ={\颜色{# EC7300}{1}}。结束\{数组}$

我们开始通过写作组装泰勒系列 $f（x）=$[我们列表中的第一个号码] $\ cdot \ frac {（x - x_0）^ 0} {0！}$像这样:

$f (x) = {{# EC7300} 1 \颜色\ cdot \ displaystyle \压裂{(x - 0) ^ 0} {0 !} = 1}。$

到目前为止，我们构建的功能 $f（x）= 1$看起来一点也不像 $f（x）= \ cos x$。他们只是有 $f（0）= 1$共同，但我们将添加更多条件。我们从上面的列表中添加下一个术语，这次乘以 $\压裂{(x - x_0) ^ {1}} {1 !}:$

$f（x）= {\ color {＃ec7300} 1 \ cdot \ displaystyle \ frac {（x - 0）^ 0} {0！} + \框{\ coder {＃3d99f6} 0 \ cdot \ displaystyle \ frac {（x - 0）^ 1} {1！}} = 1}。$

注意指数 $(x - 0)$阶乘里面的参数这次都是1，而不是前一项的0。这是因为求和要求我们递增 $N.$从0到1。此过程将继续从上面的列表中添加下一个术语，但再次递增电源 $(x - 0)$和阶乘内的价值：

$f（x）= {\ color {＃ec7300} 1 \ cdot \ displaystyle \ frac {（x - 0）^ 0} {0！} + \ color {#daot \ displaystyle \ frac {（x -0.）^1}{1!} + \boxed{\color{#EC7300}({-1})\cdot \displaystyle\frac{(x - 0)^2}{2!}} = 1 - \displaystyle\frac{x^2}{2!}}.$

让我们停下来看看到目前为止我们有什么。三项之后，泰勒级数就给出了 $F (x) = 1 - frac{x^2}{2}$。

有趣的是，如果我们继续从我们的列表中占用数字时追逐递增的权力 $(x - 0)$和递增的阶乘，然后我们的泰勒序列缓慢但肯定符合余弦曲线：

$f（x）= {\ color {＃ec7300} 1 \ cdot \ displaystyle \ frac {（x - 0）^ 0} {0！} + \ color {#daot \ displaystyle \ frac {（x -0）^ 1} {1！} + \ color {＃ec7300}（{ - 1}）\ cdot \ displaystyle \ frac {（x-0）^ 2} {2！} + \ color {＃3d99f6} 0 \CDOT \ DisplayStyle \ FRAC {（x-0）^ 3} {3！} + \ color {＃ec7300} 1 \ cdot \ displaystyle \ frac {（x - 0）^ 4} {4！} = 1 - \ displaystyle\ frac {x ^ 2} {2！} + \ displaystyle \ frac {x ^ 4} {4！}}。$

此时，我们可以猜到新兴模式。权力 $X$甚至，分母中的阶乘甚至是偶数，术语替代标志。注意，可能需要更多原始功能的衍生物来发现模式，但是该示例只需要四个衍生物。我们将此模式编码为一个求和，最终会产生我们的泰勒系列 $\ cos x：$

$\ cos x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ idty}（ - 1）^ {n} \ frac {x ^ {2n}} {（2n）！}。$

在下面的动画中，每一帧都是前一帧泰勒级数的附加项。随着我们加入更多的项，泰勒级数更接近它试图近似的余弦函数:

重要注意:因为这个系列的扩展是以 $x = 0$，这也被称为aMaclaurin系列。麦克劳林级数就是泰勒级数的中心 $x = 0$。

那么这到底是如何工作的呢?这个公式的直观意义是什么?让我们用一个稍微抽象一点的演示来巩固我们对泰勒级数的理解。对于下一个示例，让 $t（x）$的泰勒级数展开 $f（x）$。

$\ begin {对齐} t（x）＆= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {（n）}（x_0）\ frac {（x - x_0）^ {n}} {n！}\\＆= f（x_0）+ f'（x_0）（x-x_0）+ f''（x_0）\ frac {（x-x_0）^ 2} {2} + f''（x_0）\ frac{（x-x_0）^ 3} {6} + \ cdots \ neg {aligined}$

重要的是要注意这个求和的价值 $x =从$只是 $f（x_0）$，因为第一项之后的所有项的乘积都包含一个0。这意味着幂级数的值与函数的值一致 $X_0.$ $\大（$或者 $t（x_0）= f（x_0）\ big）。$当然这就是我们想要的一系列旨在与该功能同意的系列！毕竟，如果我们的索赔是泰勒系列 $t（x）$等于功能 $f（x）$然后它应该同意价值 $x =从$。诚然，有无数其他函数在 $X_0.$，所以这个等价到目前为止没有特别的。让我们来通过在我们列出的电力系列中的术语衍生地进行调查：

$t'（x）= 0 + f'（x_0）+ f''（x_0）（x-x_0）+ f'''''''（x_0）\ frac {（x-x_0）^ 2} {2} + f ^{（4）}（x_0）\ frac {（x-x_0）^ 3} {3！} + \ cdots。$

如果我们计算微分和 $x =从$，然后所有的项之后 $f '(从)$消失(再次由于在它们的乘积中包含0)，只留给我们 $f '(从)$。所以，除了 $T(从)= f(从)$,我们也有这样的 $t'（x_0）= f'（x_0）$，意思是泰勒级数和它所代表的函数在点处的导数值是一致的 $X_0.$。我们可以反复区分 $t（x）$和 $f（x）$在 $x =从$并发现这种模式仍在继续。实际上，下一个衍生物 $T”(x)$承担价值 $f''（x_0）$，后面的导数 $T”(x)$承担价值 $f”(从)$等等，所有人都在 $x =从$。

这是一个有希望的结果！如果我们能够确保 $n ^ \文本{th}$的导数 $t（x）$同意 $n ^ \文本{th}$的导数 $f（x）$在 $x =从$对于所有值 $N.$，然后我们可以期望泰勒级数的行为和 $f（x）$相同。

现在，这个结论有一些罕见的，病态的例子，但为了确保它们不会出现，我们把这个定理设为函数是无限可微的。

已知的泰勒级数已经有几十个了。其中一些很容易自己推导出来(你也应该这么做!)，而另一些则太复杂了，不适合这个wiki的范围:

${对齐}\ \开始因为x & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ {n} \压裂{x ^ {2 n}} {(2 n) !} & \ sin (x) & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (1) ^ {n} \压裂{x ^ {2 n + 1}} {(2 n + 1) !｝& \tan^{-1} x &= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)} \\ e^{x} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \ln(1 + x) &= \sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} & \frac{1}{1 - x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}x^n. \end{aligned}$

主要文章：间隔和收敛半径

这收敛区间对于泰勒级数 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}（x - x_ {0}）^ {n}$是一组价值观 $X$系列融合为此。

检查几何功率系列 $\ frac {1} {1 - x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + \ cdots = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n}$。回想一下无穷项的几何级数是

$s_n = a + a \ cdot r + a \ cdot r ^ 2 + a \ cdot r ^ {3} + \ cdots，$

哪个等于

$S_n = \压裂{一}{第一轮}。$

假设我们想用一个连续可微的函数在笛卡尔平面上插值无穷多个点 $F$。如何做到这一点?

鉴于 $N.$点的集合可以用至少一次的多项式来插值 $N-1$。鉴于内插的无限数量，我们需要一个无限多项式

$f（x）= {a} _ {0} + {a} _ {1}（x-{x} _ {0}）+ {a} _ {2} {（x-{x} _ {0}）} ^ {2} + \ cdots，$

在哪里 $左左| x- {x} _ {0} \右|$在收敛半径范围内。

观察：

$\{对齐}开始f ({x} _{0}) & ={一}_ {0}\ \ f”({x} _{0}) & ={一}_ {1}\ \ f”({x} _{0}) & = 2{一}_ {2}\ \ f”({x} _{0}) & = 6{一}_ {3}\ \ {f} ^ {(4)} ({x} _{0}) & = 24{一}_ {4}\ \ {f} ^ {(n)} ({x} _ {0}) & = n !{一}_ {n}。结束\{对齐}$

求解每个常数术语将原始功能扩展到无限多项式中

$F (x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{n!} {f} ^ {(n)} ({x} _ {0}}) {(x - {x} _ {0})} ^ {n}。$

主要文章：泰勒系列近似值

假设你被囚禁在一间黑暗的牢房里。逮捕你的人说你可以赢得自由，但前提是你能制造出接近 $\ sqrt [3] {8.1}$。更糟糕的是，你的近似值必须精确到小数点后五位!即使你的单元格中没有计算器，你也可以使用泰勒级数的前几项 $\ sqrt [3] {x}$关于这一点 $x = 8$作为一种快速和体面近似的工具。

我们当然无法在一个函数的泰勒级数展开中计算出无限项。然而，随着在函数的泰勒级数展开中计算更多的项，该函数的近似得到了改进。

用泰勒级数展开的前三项 $f（x）= \ sqrt [3] {x}$集中在 $x = 8$,近似 $\ sqrt [3] {8.1}。$

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我们有

$f（x）= \ sqrt [3] {x} \约2 + \ frac {（x-8）} {12} - \ frac {（x-8）^ 2} {288}。$

所示的前三项将足以提供一个很好的近似 $\ sqrt [3] {x}$。评估这笔款项 $x = 8.1.$给出了 $\ sqrt [3] {8.1}：$

$\{对齐}开始f (8.1) = \ sqrt[3]{8.1} & \大约2 + \压裂{(8.1 - 8)}{12}- \压裂{(8.1 - 8)^ 2}{288}\ \ & = {# 3 d99f6}{2.008298} \颜色\颜色{# D61F06} {61111} \ ldots \ \ \ \ \ sqrt[3]{8.1} & = \颜色{# 3 d99f6} {2.008298} {# D61F06}{85025}{\颜色\点}。结束\{对齐}$

仅用三项，上面的公式就可以近似 $\ sqrt [3] {8.1}$精确到小数点后6位。 $_\正方形$

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