统计力学基础
什么,为什么?
在大多数现实情况下,我们只能预测粒子的运动和未来,如果
- 已知初始条件;
- 我们已知作用于它的当前力以及与它相互作用的粒子。
然而,当涉及到像一盒气体这样的物体时,我们不能知道初始条件,因为它太复杂了,当然也很难测量。此外,如果我们观察一种气体的形成(比如通过固体的汽化),我们无法确定,甚至无法模糊地知道每一个气体原子/分子的初始速度。在这种情况下,由于缺乏信息,我们面临不确定性,因此我们失去了预测的能力。
但即使是这样的情况,如果我们假设以下合理的假设,也可以分析:
对于任意系统,系统将假设在足够的时间内最有可能发生的状态。(例如,投掷一千枚硬币,你或多或少会得到半正面半反面的结果。)
现在我们要解释状态的含义以及如何定义哪种状态比其他状态更有可能发生。
我们有两种形式的国家
微态:微态被定义为每一个粒子的精确排列(速度分布等)。
- 例1:如果我们在自由空间中有一个粒子它的能量是 那么它可以有两个速度 而且 这两个是系统的微观状态。
- 例2:如果我们一排有10个硬币,每一个都标有一个数字,那么一系列的个体状态(比如HTTHHHTHHT)就是一个微观状态。假设每个粒子/硬币都是相同的,每个微观状态(显然)都是等可能的。
宏观状态:宏观状态是一组微观状态,对应于上面粒子例子中的一个公共量。的能量 可以说是宏观状态为微观状态吗 而且 类似地,6个正面4个反面是一个宏观状态。然而,每个宏观状态不一定是等可能的,事实上,它的概率与它所拥有的微观状态的数量成正比。
所以,对于气体分子系统,它的能量是a宏观它在粒子间分配能量的方式是微观状态.现在定义清楚了,我们需要量化我们的想法。
热平衡
考虑两个系统通过一个固定的传导壁连接在一起(能量可以通过,材料不能通过)。设系统的总能量是 以及每个系统的能量 而且 同时,让 而且 是对应于每个具有各自能量的系统的微态数。那么,对于每一个1的微观状态,我们可以 微观状态为2,因此微观状态的总数为
根据我们的假设,这必须最大化才能得到最可能的分布。关于的微分 等于0得到
现在我们调用能量的对话来宣称
代入得到
这相当于
现在,我们有一个非常强大的关系,一般来说,对于 热平衡系统。对它们都保持不变的量是
我们称它为量 (原因很快就会清楚了)。因此,对于 热平衡系统, 对所有人来说都是一样的。我们称它为温度。
得到玻尔兹曼分布
现在,我们使用前一节的结果来证明非常强大和普遍的结果,利用这些结果我们可以处理大多数统计系统。想象一个小水箱连接到一个大水库,如图2所示。再一次让系统的总能量为 由于热源如此之大,大部分的总能量都来自热源。让小容器的能量是 还有热源的能量
现在,我们做一个特殊的假设.设小水箱的每个宏观状态对应的微观状态数为 然后
在哪里 是拥有该能量的概率(它与微观状态的数量成正比)。现在,随着 是固定的,我们还能进一步写吗
采取 双方都给予
所以,
尽管我们对微观状态的固定数量作了微妙的假设,但这一结果的重要性怎么强调都不过分。例如,让我们想象一维宇宙中的一个粒子。对于每一个能量 它可以有速度 而且 这里 值是2。
这如何适用于气体分子
小罐不一定是罐。稳态气体中的任何单个分子都通过碰撞与其他几个分子相互作用,从而获得和失去能量。这里可以把气体分子称为小储罐,其余的大量气体分子称为储罐。因此,气体分子有能量的概率 成正比
在以后的编辑或在另一个wiki中,我们将使用这个推导出麦克斯韦-玻尔兹曼分布。