微分方程 - 建模

因为它延伸到许多不同的领域或学科企图微分方程一直以来它的发现有用模型行为。学科其中特别喜欢使用DES是物理学和工程学。这主要是由于这样的事实，我们可以涉及到它的变化速率的函数相对于某个变量使得通用的发现功能，从而在物理学中我们根据我们的实验/实验室的观察，它更容易看变化（比如速度）的速率与实际功能（位移），而不是试图明确的将功能。

谈到观察，这是值得注意的是，许多桌面环境主要是基于他们。随着从模拟尝试得到了解决DE的步骤作出的经验观察，然后要构建DE，然后终于解决了DE。

差分方程模型可以很容易的，但它也可以很辛苦。我们将与婴儿学步开始，处理一些简单的问题，他们的解释。

开始吧！

为了模拟一个微分方程，他们总会给你的信息，如变化率，可以用差来表示。然后，当你表达数学信息，你能够继续，并提出一些替代，或最常用的简单的问题，你可以使用链式法则。

让我们看一个例子：

迦勒具有半径为2厘米，高10厘米的圆筒容器。的管填充有水的容器的速率 $1 \文本{厘米} ^ 3 \文本{/ S}$和的速率深度的增加 $0.5 \文本{厘米/秒}。$什么是它的水的体积相对于它的深度增加的速度？

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我们可以通过制定那些给我们的那些衍生物开始：

$\压裂{的dV} {DT} = 1个\四\文本{和} \四\压裂{DH} {DT} = \压裂{1} {2}。$

作为resut，我们可以发现 $\压裂{的dV} {DH}$通过使用链式法则：

$\压裂{DT} {DH} \倍\压裂{的dV} {DT} = 2 \ times1 \意味着\压裂{的dV} {DH} = 2。$

而我们最终的答案是2。 $_\正方形$

我们的一位结石的开国元勋，艾萨克·牛顿，派生牛顿的冷却定律从当他观察的液体的温度如何与它周围的温度而变化的微分方程。

牛顿冷却定律

与瞬时温度的主体温度的变化率 $T（t）的$正比于身体的温度之间，并且该差的周边 $T_S：$

$\压裂{d T（t）的} {d T】= R \大（T（t）的-T_ {S} \大），$

在哪里 $R.$为比例常数，它表示身体的温度恢复到周围的温度有多快。

这里周围温度假定是恒定的。如果不是，该公式将是不同的，我们需要知道什么则函数 $T_S（t）的$是。这超出了承受范围。然而，我们可以解决这个DE：

我将下降 $（t）$。请记住 $T.$仍然是时间的函数。

如果我们可以让 $Y =笔 - T_ {S}，$

然后，因为 $T_S$是恒定的，即 $\压裂{DT_ {S}} {DT} = 0，$

$\压裂{DY} {DT} = \压裂{d（T - T_ {S}）} {DT} = \压裂{的dT} {DT} - \压裂{DT_ {S}} {DT} = \压裂{的dT} {DT} = R（T - T_ {S}）= RY$

或基本

$\压裂{DY} {DT} = RY。$

分离的差异，

$\压裂{DY} {Y} = R DT。$

整合双方：

$\ BEGIN {对齐} \ INT \压裂{DY} {Y}＆= \ INT R DT \\？\ LN Y'= \ LN（T - T_ {S}）\\＆= RT + C. \ {端对齐}$

找到 $C，$我们让 $t = 0.$吃出

$\ LN \大（T（0） - T_ {S}）\大）= C.$

因此，

$\开始{对齐}笔 - T_ {S}＆= E ^ {RT + C} \\＆= E ^ {C} E 1 {RT} \\＆= \大（T（0） - T_ {S}\大）在线^ {室温} \\ \ RIGHTARROW T＆= T_S + \大（T（0） - T_ {S} \大）在线^ {}室温。\结束{对齐}$

因此，我们得到了一个物体的温度时，它有一个温差环境温度如何随时间变化的函数。