希尔伯特空间GYDF4.Y2.Ba

A.GYDF4.Y2.Ba希尔伯特空间GYDF4.Y2.Ba是一个GYDF4.Y2.Ba向量空间GYDF4.Y2.Ba $vGYDF4.Y2.Ba$ 配备GYDF4.Y2.Ba内积GYDF4.Y2.Ba，这可以看作是GYDF4.Y2.Ba点积GYDF4.Y2.Ba在欧几里德空间中，具有GYDF4.Y2.Ba米制的GYDF4.Y2.Ba来自内部的产品制造GYDF4.Y2.Ba $vGYDF4.Y2.Ba$ 成一个GYDF4.Y2.Ba完备度量空间GYDF4.Y2.Ba.Hilbert空间的基本示例是GYDF4.Y2.Ba ${\mathbb R}^nGYDF4.Y2.Ba$ $\大的(GYDF4.Y2.Ba$ 或GYDF4.Y2.Ba ${\mathbb C}^n\big）GYDF4.Y2.Ba$ 使用标准的点积，但数学和物理中的许多其他问题和结构最终被证明是由其他类型的希尔伯特空间，尤其是某些类型函数的空间来描述的。GYDF4.Y2.Ba

内积的定义GYDF4.Y2.Ba

一GYDF4.Y2.Ba内积GYDF4.Y2.Ba关于向量空间GYDF4.Y2.Ba $vGYDF4.Y2.Ba$ 田野上空GYDF4.Y2.Ba $F={\mathbb R}GYDF4.Y2.Ba$ 或GYDF4.Y2.Ba $\Mathb CGYDF4.Y2.Ba$ 是一个函数GYDF4.Y2.Ba $\langle\cdot\cdot\rangle\colon V\times V\to FGYDF4.Y2.Ba$ 满足以下特性：GYDF4.Y2.Ba

(1)GYDF4.Y2.Ba $\langle x，y\rangle={\overline{\langle y，x\rangle}GYDF4.Y2.Ba$ 总的来说GYDF4.Y2.Ba $x、 y \在V中。GYDF4.Y2.Ba$
（2）在第一个参数中是线性的：GYDF4.Y2.Ba $\语言ax_1+bx_2，y\rangle=a\langle x_1，y\rangle+b\langle x_2，y\rangleGYDF4.Y2.Ba$ 总的来说GYDF4.Y2.Ba $a、 b\在F中，x\u 1，x\u 2，y\在V中。GYDF4.Y2.Ba$
（3）为了GYDF4.Y2.Ba $x\n在V中，GYDF4.Y2.Ba$ 内积GYDF4.Y2.Ba $xGYDF4.Y2.Ba$ 它本身是正定的：GYDF4.Y2.Ba $\语言x，x\rangle\ge 0，GYDF4.Y2.Ba$ 只有当且仅当GYDF4.Y2.Ba $x=0。GYDF4.Y2.Ba$

笔记GYDF4.Y2.Ba:GYDF4.Y2.Ba

（1）暗示GYDF4.Y2.Ba $\langle x，x\rangle=\overline{\langle x，x\rangle}，GYDF4.Y2.Ba$ 所以GYDF4.Y2.Ba $\语言x，x\r语言GYDF4.Y2.Ba$ 是一个实数，所以（3）中的不等式是有意义的。GYDF4.Y2.Ba

（1）和（2）暗示内积是GYDF4.Y2.Ba反线性GYDF4.Y2.Ba在第二个论点中：GYDF4.Y2.Ba $\langle x，ay_1+by_2\rangle={\overline{a}}\langle x，y_1\rangle+{\overline{b}}\langle x，y_2\rangle。GYDF4.Y2.Ba$

具有内积的向量空间称为GYDF4.Y2.Ba内积空间GYDF4.Y2.Ba．GYDF4.Y2.Ba

这个GYDF4.Y2.Ba标准GYDF4.Y2.Ba内积空间中向量的GYDF4.Y2.Ba $\|x\|=\sqrt{\langle x，x\rangle}。GYDF4.Y2.Ba$ 这个GYDF4.Y2.Ba距离GYDF4.Y2.Ba在两个元素之间GYDF4.Y2.Ba $x、 yGYDF4.Y2.Ba$ 在内部产品空间中定义为GYDF4.Y2.Ba $\|x-y\|。GYDF4.Y2.Ba$

我只是GYDF4.Y2.Ba 一和二GYDF4.Y2.Ba 一、三GYDF4.Y2.Ba 二只GYDF4.Y2.Ba 二、三GYDF4.Y2.Ba 没有一个GYDF4.Y2.Ba

以下哪些是内部产品？GYDF4.Y2.Ba

一、关于GYDF4.Y2.Ba ${\mathb R}^2，GYDF4.Y2.Ba$ 带向量GYDF4.Y2.Ba $x、 yGYDF4.Y2.Ba$ 写为GYDF4.Y2.Ba $2 \ * 1GYDF4.Y2.Ba$ 列向量，定义GYDF4.Y2.Ba $\语言x，y\rangle=x^T A y，GYDF4.Y2.Ba$ 哪里GYDF4.Y2.Ba $A = begin{pmatrix} 0& 1 \\ 2&1 \end{pmatrix}。GYDF4.Y2.Ba$

二、和我一样，但是GYDF4.Y2.Ba $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}。GYDF4.Y2.Ba$

3这个GYDF4.Y2.Ba明可夫斯基产品GYDF4.Y2.Ba：在GYDF4.Y2.Ba ${\mathb R}^4，GYDF4.Y2.Ba$ 带向量GYDF4.Y2.Ba ${\bf v}=（x_1，y_1，z_1，t_1）GYDF4.Y2.Ba$ 和GYDF4.Y2.Ba ${\bf w}=（x_2，y_2，z_2，t_2），GYDF4.Y2.Ba$ 写GYDF4.Y2.Ba $\langle{\bf v}，{\bf w}\rangle=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2-t_1t_2。GYDF4.Y2.Ba$

内积空间的度量空间性质GYDF4.Y2.Ba

本节的目的是说明任何内部产品空间都是GYDF4.Y2.Ba度量空间GYDF4.Y2.Ba.证明将使用以下基本定理：GYDF4.Y2.Ba

(GYDF4.Y2.Ba柯西-施瓦兹不等式GYDF4.Y2.Ba):GYDF4.Y2.Ba $|\langle x，y\rangle\le\\x\\124; y\\124;，GYDF4.Y2.Ba$ 只有当且仅当GYDF4.Y2.Ba $x、 yGYDF4.Y2.Ba$ 是GYDF4.Y2.Ba线性相关GYDF4.Y2.Ba．GYDF4.Y2.Ba

证明遵循的路径与GYDF4.Y2.Ba证明GYDF4.Y2.Ba ${\mathbb R}^nGYDF4.Y2.Ba$ 首先要注意的是，这个定理对于GYDF4.Y2.Ba $xGYDF4.Y2.Ba$ 或GYDF4.Y2.Ba $y = 0。GYDF4.Y2.Ba$ 所以假设GYDF4.Y2.Ba $x、是\n 0。GYDF4.Y2.Ba$ 现在让我们GYDF4.Y2.Ba $t=\frac{langle x，y\rangle}{\langle x，y\rangle}。GYDF4.Y2.Ba$ 让GYDF4.Y2.Ba $u=\frac{x}{x\}，v=\frac{y}{y\}。GYDF4.Y2.Ba$ 注意GYDF4.Y2.Ba $UGYDF4.Y2.Ba$ 和GYDF4.Y2.Ba $vGYDF4.Y2.Ba$ 是单位向量（它们的范数都是GYDF4.Y2.Ba $1.GYDF4.Y2.Ba$ )，及GYDF4.Y2.Ba $|t |=1。GYDF4.Y2.Ba$ 然后GYDF4.Y2.Ba $\开始{对齐}GYDF4.Y2.Ba$ 但是GYDF4.Y2.Ba $\语言u，v\rangle=\dfrac{\langle x，y\rangle}{\\ x\\\ y\}，GYDF4.Y2.Ba$ 这就变成了GYDF4.Y2.Ba $0\le 2-2 \text{Re}\左（\frac{langle x，y\rangle}{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\右）GYDF4.Y2.Ba$ 由于括号中的数量是实数，我们可以去掉GYDF4.Y2.Ba $\文本{Re}GYDF4.Y2.Ba$ :GYDF4.Y2.Ba $\开始{对齐}0和{le2-2\frac{lex，y\rangle}{lex\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\GYDF4.Y2.Ba$ 当且仅当GYDF4.Y2.Ba $你= v,GYDF4.Y2.Ba$ 这当然意味着GYDF4.Y2.Ba $x、 yGYDF4.Y2.Ba$ 是线性相关的；但如果GYDF4.Y2.Ba $x、 yGYDF4.Y2.Ba$ 他们是独立的。GYDF4.Y2.Ba $_\方格GYDF4.Y2.Ba$

距离函数GYDF4.Y2.Ba $d（x，y）=\| x-y\|GYDF4.Y2.Ba$ 是一个GYDF4.Y2.Ba米制的GYDF4.Y2.Ba．GYDF4.Y2.Ba

第一，GYDF4.Y2.Ba $d（x，y）=\| x-y\|GYDF4.Y2.Ba$ 根据范数的定义是非负的GYDF4.Y2.Ba $(GYDF4.Y2.Ba$ 这是有道理的GYDF4.Y2.Ba $\语言x-y，x-y\r语言GYDF4.Y2.Ba$ 是非负的GYDF4.Y2.Ba $).GYDF4.Y2.Ba$ 的确如此GYDF4.Y2.Ba $0GYDF4.Y2.Ba$ 当且仅当GYDF4.Y2.Ba $\langle x-y，x-y\rangle=0，GYDF4.Y2.Ba$ 当且仅当GYDF4.Y2.Ba $x-y=0，GYDF4.Y2.Ba$ 或GYDF4.Y2.Ba $x=y，GYDF4.Y2.Ba$ 根据内积的性质（1）。GYDF4.Y2.Ba

第二GYDF4.Y2.Ba $d（x，y）=d（y，x）GYDF4.Y2.Ba$ 立即清楚；大体上GYDF4.Y2.Ba $\|tu\|=| t\| u\|GYDF4.Y2.Ba$ 对于GYDF4.Y2.Ba $t\in FGYDF4.Y2.Ba$ 和GYDF4.Y2.Ba $u\n在V中，GYDF4.Y2.Ba$ 所以GYDF4.Y2.Ba $\|x-y\\\\\\\\\\（-1）（y-x）\\\\\\\\\\\\\=-1\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\。GYDF4.Y2.Ba$

三角不等式就是柯西-施瓦兹的用武之地：让GYDF4.Y2.Ba $u=x-y，GYDF4.Y2.Ba$ $v=y-z。GYDF4.Y2.Ba$ 然后GYDF4.Y2.Ba $u+v=x-z。GYDF4.Y2.Ba$ 现在GYDF4.Y2.Ba $\（124）u+u+v（1244）^2 124；u+v（1244）^2 124；u+v（1244）^2 124；u^12 |你们们（1245）可能会开始（对齐）开始（对齐）开始（对齐）开始（有可能）可能（本本州）可能（除除除除除除除除除除除除除除除除除除除除除除你以外以外以外）以外的任何一个（除除除除除除除除上述）外）外）外，除除除除除除除除除除除除除除除除上述上述外以外以外以外以外以外以外以外以外以外以外以外以外的其他任何其他任何其他任何其他外，除除除除除除除除除除除除除除上述上述上述外外外外外，除除除除除除上述上述上述外，其他外，除除除除除除除除除除上述上述上述上述外外外外外，除除除除上述上述上述上述上述\rangle）\\&=2\big（\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\text{Re}（\langle u，v\rangle）\big）\&\ge 0\end{aligned}GYDF4.Y2.Ba$ 请注意，对于非零，等式成立GYDF4.Y2.Ba $u、五GYDF4.Y2.Ba$ 当且仅当GYDF4.Y2.Ba $UGYDF4.Y2.Ba$ 是的正实数倍GYDF4.Y2.Ba $vGYDF4.Y2.Ba$

所以GYDF4.Y2.Ba $\|u\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\；GYDF4.Y2.Ba$ 然后代回给GYDF4.Y2.Ba $d（x，y）+d（y，z）\ge d（x，z）。GYDF4.Y2.Ba$ $_\方格GYDF4.Y2.Ba$

Hilbert空间的例子——Lebesgue空间GYDF4.Y2.Ba

让GYDF4.Y2.Ba $L^2（{\mathbb R}）GYDF4.Y2.Ba$ 是函数的集合GYDF4.Y2.Ba $f\colon{\mathbb R}\到{\mathbb C}GYDF4.Y2.Ba$ 以致GYDF4.Y2.Ba $\int{-\infty}^{\infty}f（x）^2，dxGYDF4.Y2.Ba$ 存在并且是有限的。然后在上定义了一个内积GYDF4.Y2.Ba $L^2（{\mathbb R}）GYDF4.Y2.Ba$ 通过GYDF4.Y2.Ba $\语言f，g\rangle=\int{-\infty}^{\infty}f（x）{\overline{g（x）}}\，dx。GYDF4.Y2.Ba$ $\大的(GYDF4.Y2.Ba$ 所以GYDF4.Y2.Ba $L^2GYDF4.Y2.Ba$ 要求正是这样GYDF4.Y2.Ba $\|f\|GYDF4.Y2.Ba$ 是有限的。GYDF4.Y2.Ba $\（大）GYDF4.Y2.Ba$ 结果表明，如果积分是GYDF4.Y2.Ba勒贝格积分GYDF4.Y2.Ba，那么“足够”的函数是可积的，这样函数的柯西序列就会收敛GYDF4.Y2.Ba $L^2（{\mathbb R}）GYDF4.Y2.Ba$ 进入希尔伯特空间。GYDF4.Y2.Ba

同样地，GYDF4.Y2.Ba $L^2\big（[0,1]\big）GYDF4.Y2.Ba$ 是希尔伯特空间，这里的定义是一样的除了函数和积分是在区间内取的GYDF4.Y2.Ba $[0,1].GYDF4.Y2.Ba$

在上述讨论中，警惕的读者会注意到明显的不准确；非零函数是可能的GYDF4.Y2.Ba $FGYDF4.Y2.Ba$ 拥有GYDF4.Y2.Ba $L^2GYDF4.Y2.Ba$ -范数等于0，即如果GYDF4.Y2.Ba $FGYDF4.Y2.Ba$ 零“几乎无处不在”，除了在一组GYDF4.Y2.Ba零度GYDF4.Y2.Ba. 解决办法是让GYDF4.Y2.Ba $L^2（X）GYDF4.Y2.Ba$ 由函数的等价类组成，而不是函数，其中有两个函数GYDF4.Y2.Ba $FGYDF4.Y2.Ba$ 和GYDF4.Y2.Ba $GGYDF4.Y2.Ba$ 如果GYDF4.Y2.Ba $f-gGYDF4.Y2.Ba$ 几乎所有地方都是零。这是一个需要记住的重要细节，特别是因为（不幸的）在讨论希尔伯特空间时，为了方便起见，它经常被抑制。GYDF4.Y2.Ba

希尔伯特空间-序列空间的例子GYDF4.Y2.Ba

上一个示例的离散版本如下：defineGYDF4.Y2.Ba $\厄尔^2GYDF4.Y2.Ba$ 是序列的集合GYDF4.Y2.Ba $（z_1，z_2，\ldots）GYDF4.Y2.Ba$ 复数的，复数的GYDF4.Y2.Ba $\求和{n=1}^\infty | z|n | ^2GYDF4.Y2.Ba$ 存在并且是有限的。然后在上有一个内积GYDF4.Y2.Ba $\厄尔^2GYDF4.Y2.Ba$ 给予GYDF4.Y2.Ba $\big\langle（z_n），（w_n）\big\rangle=\sum_{n=1}^\infty z_n{\ overline{w_n}。GYDF4.Y2.Ba$ 这是证明这一点的标准练习GYDF4.Y2.Ba $\厄尔^2GYDF4.Y2.Ba$ 实际上是一个希尔伯特空间（也就是说，它对于内积导出的度量是完全的）。GYDF4.Y2.Ba

Hilbert空间中的正交基GYDF4.Y2.Ba

在Hilbert空间中GYDF4.Y2.Ba $\呃^2，GYDF4.Y2.Ba$ 让GYDF4.Y2.Ba ${\bf e_k}GYDF4.Y2.Ba$ 是所有的序列GYDF4.Y2.Ba $0GYDF4.Y2.Ba$ 除了一个GYDF4.Y2.Ba $1.GYDF4.Y2.Ba$ 在GYDF4.Y2.Ba $k^\text{th}GYDF4.Y2.Ba$ 术语。然后是任意序列GYDF4.Y2.Ba ${\bf z}=z_nGYDF4.Y2.Ba$ 可以写成无穷和GYDF4.Y2.Ba ${\bf z}=\sum{n=1}^\infty z{\bf e{n}。GYDF4.Y2.Ba$ 也就是说，右边的无穷和收敛到GYDF4.Y2.Ba ${\bf z}，GYDF4.Y2.Ba$ 使用GYDF4.Y2.Ba $\厄尔^2GYDF4.Y2.Ba$ -norm在前一节中给出。注意，这种表示是唯一的。GYDF4.Y2.Ba

有一个很明显的类比GYDF4.Y2.Ba基础GYDF4.Y2.Ba向量空间的一组元素，使得每个元素都可以作为GYDF4.Y2.Ba有限多GYDF4.Y2.Ba基础的成员。例如，相同的构造给出了基础GYDF4.Y2.Ba ${\bf e_1}、\ldots、{\bf e_n}GYDF4.Y2.Ba$ 属于GYDF4.Y2.Ba ${\mathbb C}^n。GYDF4.Y2.Ba$

由于Hilbert空间是向量空间，因此它们具有正则向量空间基（由GYDF4.Y2.Ba选择公理GYDF4.Y2.Ba).为避免歧义，这些通常称为GYDF4.Y2.Ba哈默尔基地。GYDF4.Y2.BaHilbert空间的Hamel基通常对计算没有用处，并且很难构造，除非它们是有限的GYDF4.Y2.Ba $\大（\text{e.g.}V={\mathbb C}^n\big）。GYDF4.Y2.Ba$ 对于“更大”的希尔伯特空间，更自然的概念是GYDF4.Y2.Ba正交基GYDF4.Y2.Ba，它概括了上面给出的示例。GYDF4.Y2.Ba

一套GYDF4.Y2.Ba $（是）GYDF4.Y2.Ba$ Hilbert空间中向量的个数是GYDF4.Y2.Ba正交的GYDF4.Y2.Ba如果GYDF4.Y2.Ba

$\langle y_i，y_j\rangle=\begin{cases}1&\text{if}i=j\\0&\text{if}i\ne j\end{cases}GYDF4.Y2.Ba$

这是一个GYDF4.Y2.Ba正交基GYDF4.Y2.Ba如果，另外，唯一的向量GYDF4.Y2.Ba $xGYDF4.Y2.Ba$ 令人满意的GYDF4.Y2.Ba $\语言x，y\n\r语言=0GYDF4.Y2.Ba$ 总的来说GYDF4.Y2.Ba $NGYDF4.Y2.Ba$ 是零向量。（相当于GYDF4.Y2.Ba $尤伊GYDF4.Y2.Ba$ 是GYDF4.Y2.Ba稠密的GYDF4.Y2.Ba.)GYDF4.Y2.Ba

请注意，正交基不一定是Hamel基。例如，正交基GYDF4.Y2.Ba $（{\bf e_n}）GYDF4.Y2.Ba$ 属于GYDF4.Y2.Ba $\厄尔^2GYDF4.Y2.Ba$ 不是Hamel基，因为表示GYDF4.Y2.Ba $\厄尔^2GYDF4.Y2.Ba$ 作为基向量的线性组合，需要无穷（收敛）和。GYDF4.Y2.Ba

就像激励的例子一样，GYDF4.Y2.Ba可数的GYDF4.Y2.Ba正交基具有各种优良的性质。GYDF4.Y2.Ba

让GYDF4.Y2.Ba $（x_n）{n\in{\mathb n}GYDF4.Y2.Ba$ 是希尔伯特空间的正交基GYDF4.Y2.Ba $十,。GYDF4.Y2.Ba$ 然后GYDF4.Y2.Ba

(1)GYDF4.Y2.Ba $x=\sum\limits{n=1}^\infty\langle x，x\n\rangle x\nGYDF4.Y2.Ba$ 总的来说GYDF4.Y2.Ba $x\in xGYDF4.Y2.Ba$ ；尤其是GYDF4.Y2.Ba $xGYDF4.Y2.Ba$ 具有唯一的表示形式（可能是无限的）线性组合GYDF4.Y2.Ba $x_nGYDF4.Y2.Ba$ ，其系数由该公式给出。GYDF4.Y2.Ba

(2)GYDF4.Y2.Ba $\|x\^2=\sum\limits{n=1}^\infty\langle x，x\n\rangle^2GYDF4.Y2.Ba$ (GYDF4.Y2.Ba帕塞瓦尔的身份GYDF4.Y2.Ba)GYDF4.Y2.Ba

(3)GYDF4.Y2.Ba $\langle x，y\rangle=\sum{n=1}^\infty\langle x，x\u n\rangle{\overline{\langle y，x\u n\rangle}。GYDF4.Y2.Ba$

空间GYDF4.Y2.Ba $L^2\big（[0,1]\big）GYDF4.Y2.Ba$ 具有由函数组成的正交基GYDF4.Y2.Ba $e^{2\pi i n\theta}，GYDF4.Y2.Ba$ 对于所有整数GYDF4.Y2.Ba $NGYDF4.Y2.Ba$ 和中的系数GYDF4.Y2.Ba $f（\theta）=\sum\limits\u{n=-\infty}^\infty a\n e^{2\pi i n\theta}GYDF4.Y2.Ba$ 被称为“GYDF4.Y2.Ba傅里叶系数GYDF4.Y2.Ba属于GYDF4.Y2.Ba $FGYDF4.Y2.Ba$

这个GYDF4.Y2.Ba选择公理GYDF4.Y2.Ba每个希尔伯特空间都有一个标准正交基。GYDF4.Y2.Ba

Hilbert空间的应用GYDF4.Y2.Ba

如前一节所述GYDF4.Y2.Ba $L^2GYDF4.Y2.Ba$ 空格是的设置GYDF4.Y2.Ba傅里叶变换GYDF4.Y2.Ba和GYDF4.Y2.Ba傅里叶级数GYDF4.Y2.Ba．希尔伯特空间也自然而然地出现在GYDF4.Y2.Ba量子力学GYDF4.Y2.Ba，其中粒子的可能状态集是一个称为GYDF4.Y2.Ba状态空间GYDF4.Y2.Ba．GYDF4.Y2.Ba

数学中希尔伯特空间的其他例子包括GYDF4.Y2.BaSobolev空间GYDF4.Y2.Ba，这是中的计算设置GYDF4.Y2.Ba偏微分方程GYDF4.Y2.Ba和GYDF4.Y2.Ba变分法GYDF4.Y2.Ba．GYDF4.Y2.Ba

有关……GYDF4.Y2.Ba

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