让
一个
和
b
是欧几里得向量
θ它们之间的夹角。然后点积的
一个
和
b
来标示
一个⋅b和定义为
一个
⋅b
=∥一个
∥∥∥∥b
∥∥∥因为θ,
在哪里
∣一个
∣,例如,表示级的
一个
.
由于点积是对两个返回标量值的向量的运算,所以点积也称为数积.
几何上,我们也可以把点积解释为
一个
⋅b
=(∥一个
∥)(∥∥∥b
∥∥∥因为θ).
也就是说,我们可以把点积看成是
一个
乘以的分量的大小
b
,点
一个
.
(∥∥∥b
∥∥∥因为θ)它的大小是投影的
b
到
一个
:
同样的,
一个
⋅b
=(∥∥∥b
∥∥∥)(∥一个
∥因为θ),
所以点积也可以看成是
b
乘以的分量的大小
一个
,点
b
.
自
∥一个
∥和
∥∥∥b
∥∥∥是正数吗,点积的符号取决于
θ:
- 如果
θ是急性,那么
因为θ是正的,所以点积是正的。
- 如果
θ是
90∘,那么点积就是零。点积消失的向量是正交.
- 如果
θ是钝角,那么点积就是负的。
注意,由于欧几里得基是单位向量
x^,
y^,
z^是相互垂直的吗
x^⋅y^=y^⋅z^=x^⋅z^=0
这
x^⋅x^=y^⋅y^=z^⋅z^=1.
考虑到
一个
是
7和
b
是
8,找
一个
⋅b
当夹角
一个
和
b
是
(我)60∘(2)90∘(3)120∘.
为了求点积,我们用这个公式
一个
⋅b
=∥一个
∥∥∥∥b
∥∥∥因为θ.
我们知道
∥一个
∥=7和
∥∥∥b
∥∥∥=8,这意味着
一个
⋅b
=7×8因为θ=56因为θ.因此,答案如下:
(我)
θ=60∘,
因为θ=21因此
一个
⋅b
=56×21=28.
(2)当
θ=90∘,
因为θ=0因此
一个
⋅b
=56×0=0.
(3)当
θ=120∘,
因为θ=−21因此
一个
⋅b
=56×(−21)=−28.
□
如果
c
=4ı^和
d
=2ı^是什么
c
⋅d
?
我们可以应用这个公式
c
⋅d
=∥c
∥∥∥∥d
∥∥∥因为θ.
我们知道
∥c
∥=4和
∥∥∥d
∥∥∥=2.这两个向量是平行的
θ=0因此
因为θ=1.
代入公式后,得到
c
⋅d
=4×2×1=8.□
真或假?
如果
一个
和
b
是这样的向量
一个
⋅b
=1,然后
一个
和
b
必须是平行的。
一个
∥c
一个
⊥c
∥一个
∥=∥c
∥
以上都不是
三个向量
一个
,b
和
c
在
R3.满足下式:
一个
⋅b
=c
⋅b
.
你能推断出什么
一个
和
c
从这个信息?