傅里叶级数
有关……
- 微积分年代pan>>年代pan>
一个<年代trong>傅里叶级数年代trong>是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的和(可能无穷大)的方法。它类似于a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/taylor-series/" class="wiki_link" title="泰勒级数gydF4y2Ba" target="_blank">泰勒级数一个>,它表示函数可能是单项的无限和。
对于非周期函数,傅立叶级数用傅立叶变换代替。对于两个变量都具有周期性的函数,傅立叶级数中的三角基被<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/spherical-harmonics/" class="wiki_link" title="球面谐波gydF4y2Ba" target="_blank">球面谐波一个>.傅里叶级数,以及它的推广,在整个物理科学中是必不可少的,因为三角函数是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eigenvalues-and-eigenvectors/" class="wiki_link" title="特征函数gydF4y2Ba" target="_blank">特征函数一个>它出现在许多物理方程中。
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将函数改写为一系列三角函数的特殊方法。继续读下去<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-series/" class="wiki_link" title="下面gydF4y2Ba" target="_blank">下面一个>了解本系列是如何构建的。
的<年代trong>傅里叶级数年代trong>一个周期函数的<年代pan class="katex"> f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>的时期<年代pan class="katex"> T年代pan>是
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>一个年代pan>0年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>一个年代pan>k年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>b年代pan>k年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>,年代pan>
对于一些<年代trong>傅里叶系数年代trong> 一个年代pan>k年代pan>而且<年代pan class="katex"> b年代pan>k年代pan>由积分定义
一个年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>.年代pan>
为了计算周期函数的傅里叶级数表示<年代pan class="katex">
f年代pan>,因此,对于任意的积分,只需要计算上面的积分集<年代pan class="katex">
k年代pan>.通常,一个人可以立即设置所有<年代pan class="katex">
b年代pan>k年代pan>或<年代pan class="katex">
一个年代pan>k年代pan>通过注意函数归零<年代pan class="katex">
f年代pan>奇数或偶数,因为奇数函数没有余弦值,反之亦然。
系数前面的归一化因子来自于余弦函数和正弦函数的定义是正交的但不是标准正交的。的因素<年代pan class="katex">
2年代pan>1年代pan>乘<年代pan class="katex">
一个年代pan>0年代pan>因此来自于对的归一化的事实<年代pan class="katex">
一个年代pan>0年代pan>是不同的,因为
一个年代pan>0年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>d年代pan>x年代pan> 是函数平均值的两倍吗<年代pan class="katex">
f年代pan>在<年代pan class="katex">
[年代pan>0年代pan>,年代pan>T年代pan>)年代pan>.
注意,对于周期的周期函数<年代pan class="katex">
T年代pan>时,只要积分窗口保持不变,傅立叶系数定义中的积分极限可以被任意常数因子移动<年代pan class="katex">
T年代pan>总是这样。
求它的傅里叶级数<年代trong>方波年代trong>,其中一个周期内的函数为
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>{年代pan>1年代pan>−年代pan>1年代pan>如果年代pan>0年代pan>≤年代pan>x年代pan><年代pan>2年代pan>1年代pan>如果年代pan>2年代pan>1年代pan>≤年代pan>x年代pan><年代pan>1年代pan>.年代pan>
函数是
b年代pan>k年代pan>=年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>1年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>1年代pan>/年代pan>2年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>−年代pan>2年代pan>∫年代pan>1年代pan>/年代pan>2年代pan>1年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>[年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>0年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>+年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>x年代pan>=年代pan>1年代pan>]年代pan>=年代pan>2年代pan>[年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>π年代pan>k年代pan>+年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>1年代pan>+年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>因为年代pan>π年代pan>k年代pan>]年代pan>=年代pan>π年代pan>k年代pan>2年代pan>(年代pan>罪年代pan>2年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>−年代pan>2年代pan>1年代pan>因为年代pan>π年代pan>k年代pan>+年代pan>2年代pan>1年代pan>因为年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>)年代pan>=年代pan>{年代pan>π年代pan>k年代pan>4年代pan>0年代pan>如果年代pan>k年代pan>是奇数年代pan>如果年代pan>k年代pan>甚至年代pan>,年代pan> 在最后一行的什么地方<年代pan class="katex">
k年代pan>使用的是正整数。因此,方波的傅里叶级数是
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>π年代pan>4年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>,年代pan>3.年代pan>,年代pan>5年代pan>,年代pan>...年代pan>∑年代pan>k年代pan>1年代pan>罪年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>□年代pan> 注意,在方波的跳跃不连续点附近,傅立叶级数的有限截断趋向于超调。这是任何不连续周期函数的傅里叶级数的一个常见方面它被称为<年代trong>吉布斯现象年代trong>.
求它的傅里叶级数
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>∣年代pan>x年代pan>−年代pan>0年代pan>.年代pan>5年代pan>∣年代pan>+年代pan>1年代pan> 为<年代pan class="katex">
−年代pan>0年代pan>.年代pan>5年代pan>≤年代pan>x年代pan>≤年代pan>1年代pan>.年代pan>5年代pan>它在这个区域外是周期性的。
提示:年代trong>先试着画出给定的函数。
应用和推广
热方程与球谐:年代trong>
傅里叶最初设计使用傅里叶级数作为求解<年代trong>热方程年代trong>
∂年代pan>t年代pan>∂年代pan>T年代pan>−年代pan>α年代pan>∇年代pan>2年代pan>T年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan>
在哪里<年代pan class="katex"> T年代pan>是温度,<年代pan class="katex"> t年代pan>是时间,而且<年代pan class="katex"> α年代pan>是某个常数。
从泛函分析可以看出,算子的本征函数集<年代pan class="katex">
∇年代pan>2年代pan>=年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>在一维中是完备的,这意味着任何函数都可以用它们的线性组合来表示。在一维中,这些本征函数就是正弦和余弦函数。因为热方程突出了算符<年代pan class="katex">
∇年代pan>2年代pan>,通过傅立叶级数表示函数,傅立叶能够求解给定初始温度分布的材料的渐近温度分布。
在高维方程中使用<年代pan class="katex">
∇年代pan>2年代pan>例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/schrodinger-equation/" class="wiki_link" title="薛定谔方程gydF4y2Ba" target="_blank">薛定谔方程一个>为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/hydrogen-atom/" class="wiki_link" title="氢原子gydF4y2Ba" target="_blank">氢原子一个>时,用傅立叶级数的高维推广更合适<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/spherical-harmonics/" class="wiki_link" title="球面谐波gydF4y2Ba" target="_blank">球面谐波一个>.
傅里叶变换:年代trong> 如上所述的傅立叶级数足以表示任何周期函数。我们也可以说,这意味着三角函数是在紧区间上表示函数的一个完整集合,因为任何周期函数都可以由一个有限周期内的函数表示。
对于整个实线上的任意函数它们不一定是周期性的,没有傅里叶级数是处处收敛的。然而,在这种情况下,可以用its表示函数<年代trong>傅里叶变换年代trong>.给定一个函数<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,它的傅里叶变换是
f年代pan>^年代pan>(年代pan>k年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>−年代pan>∞年代pan>∞年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>.年代pan> 我们可以把这个公式看作定义傅立叶级数系数的内积。以前,系数是由离散变量索引的数字<年代pan class="katex">
k年代pan>.现在,变量<年代pan class="katex">
k年代pan>是连续的,函数呢<年代pan class="katex">
f年代pan>^年代pan>(年代pan>k年代pan>)年代pan>给出振荡函数的“系数”的值<年代pan class="katex">
e年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>,这是一个
巴塞尔问题:年代trong> 的<年代trong>巴塞尔协议的问题年代trong>数学分析中的一个众所周知的问题,是关于计算某一数值的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-zeta-function/" class="wiki_link" title="黎曼函数gydF4y2Ba" target="_blank">黎曼函数一个>:
ζ年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>n年代pan>年代年代pan>1年代pan>.年代pan> 可以看出,对于价值<年代pan class="katex">
年代年代pan>=年代pan>2年代pan>n年代pan>,在那里<年代pan class="katex">
n年代pan>这个函数是一个正整数,它接受数值
ζ年代pan>(年代pan>2年代pan>n年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>⋅年代pan>(年代pan>2年代pan>n年代pan>)年代pan>!年代pan>(年代pan>2年代pan>π年代pan>)年代pan>2年代pan>n年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>n年代pan>+年代pan>1年代pan>B年代pan>2年代pan>n年代pan>,年代pan>
傅里叶级数的求导
线性代数中的向量<年代pan class="katex">
v年代pan>与组件<年代pan class="katex">
(年代pan>v年代pan>1年代pan>,年代pan>...年代pan>,年代pan>v年代pan>n年代pan>)年代pan>在标准基中可以写成另一种标准正交基<年代pan class="katex">
{年代pan>b年代pan>k年代pan>}年代pan>通过公式
v年代pan>=年代pan>k年代pan>∑年代pan>b年代pan>k年代pan>(年代pan>v年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>)年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
(年代pan>一个年代pan>,年代pan>b年代pan>)年代pan>表示内积或<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dot-product-properties/" class="wiki_link" title="点积gydF4y2Ba" target="_blank">点积一个>的<年代pan class="katex">
一个年代pan>而且<年代pan class="katex">
b年代pan>.
这个公式可以推广到函数,其中两个实函数的内积<年代pan class="katex">
f年代pan>而且<年代pan class="katex">
g年代pan>变成一个积分。如果两个函数都有周期<年代pan class="katex">
T年代pan>,这个内积是(根据某种特定的归一化)
(年代pan>f年代pan>,年代pan>g年代pan>)年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan> 一般来说,函数可以写成
f年代pan>=年代pan>k年代pan>∑年代pan>b年代pan>k年代pan>(年代pan>f年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>)年代pan> 对于任何基函数的集合<年代pan class="katex">
b年代pan>k年代pan>.
傅里叶级数只是一种用基底重写函数的特殊方式<年代pan class="katex">
{年代pan>b年代pan>k年代pan>}年代pan>=年代pan>{年代pan>f年代pan>k年代pan>}年代pan>∪年代pan>{年代pan>g年代pan>k年代pan>}年代pan>.也就是说,基函数是两个特定函数集的组合<年代pan class="katex">
{年代pan>f年代pan>k年代pan>}年代pan>而且<年代pan class="katex">
{年代pan>g年代pan>k年代pan>}年代pan>.这些集合就是函数
f年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>,年代pan>g年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>,年代pan> 在哪里<年代pan class="katex">
k年代pan>∈年代pan>{年代pan>0年代pan>,年代pan>1年代pan>,年代pan>2年代pan>,年代pan>...年代pan>}年代pan>在非负整数上的范围。
写出这些函数的基的变化,任何函数<年代pan class="katex">
f年代pan>可以分解成傅里叶级数吗
f年代pan>=年代pan>2年代pan>一个年代pan>0年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>一个年代pan>k年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>k年代pan>=年代pan>1年代pan>∑年代pan>∞年代pan>b年代pan>k年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan> 有了系数<年代pan class="katex">
一个年代pan>k年代pan>而且<年代pan class="katex">
b年代pan>k年代pan>由内积定义
一个年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>因为年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan>b年代pan>k年代pan>=年代pan>T年代pan>2年代pan>∫年代pan>0年代pan>T年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>罪年代pan>T年代pan>2年代pan>π年代pan>k年代pan>x年代pan>d年代pan>x年代pan>,年代pan> 如前所述。
参考文献
- Thenub314。
方波的傅里叶级数 .从检索<一个href="https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave">https://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave一个>
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