求幂的最后一位gydF4y2Ba

许多数学竞赛要求学生找出幂的最后一位(或几位)。在大多数情况下，幂是相当大的数，比如gydF4y2Ba $6032 ^ {31}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $89 ^ {47},gydF4y2Ba$所以计算能量本身是不可能的。gydF4y2Ba

然而，有许多工具，例如gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba,gydF4y2Ba中国剩余定理gydF4y2Ba,gydF4y2Ba欧拉定理gydF4y2Ba这是找到扩展幂的最后一位数的捷径。解决这类问题是对初等数论的这些技术的一个接地气的介绍。gydF4y2Ba

解决这类问题的常用方法是列出幂函数的初始扩展以确定模式。关于幂的最后一个小数的问题可以在证明所讨论的模式成立(通常是通过gydF4y2Ba感应gydF4y2Ba)．下表给出了一个整数的各种幂的最后一位:gydF4y2Ba

$\开始{数组}{c | c c c c} \文本{数字}& d ^ 2 & d ^ 3 ^ & d ^ 4 & d 5 \ \ \线1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 2 & 4 & 8 & 6 & 2 \ \ 3 & 9 & 7 & 1 & 3 \ \ 4 & 6和4 & 6和4 \ \ 5 & & & 5 & 5 \ \ 6 & 6 & 6 & 6和6 \ \ 7和9 & 3 & 1 & 7 \ \ 8和4 & 2 & 6和8 \ \ 9 & 1 & 9 & 1 & 9 \ \ \{数组}结束gydF4y2Ba$从表格中我们可以看出:gydF4y2Ba

$\开始{数组}{c c | | |} \线\文本{1的最后一位权力总是}& 1 \ \ \线\文本{最后一位数的2重复循环}& 4,8日,6日2 \ \ \线\文本{权力的最后数字3重复的周期}& 9日7日1、3 \ \ \线\文本{权力的最后数字4重复循环}& 6 4 \ \ \线\文本的最后数字{5的权力总是}& 5 \ \ \线\文本的最后数字{6的权力总是}& 6 \ \ \线\文本{权力的最后数字7的重复周期的}&9,3,1,7\\ \hline \text{8的幂的最后一位在}& 4,2,6,8\\ hline \text{9的幂的最后一位在}&1,9\\ hline \end{array}循环中重复gydF4y2Ba$

幂的最后一位构成一个周期序列，其周期如下表所示:gydF4y2Ba

$\开始文本数组{}{c | c} \{数字}& \文本{时期}\ \ \线0,1,5日,6日& 1 \ \ 2、3、7、8和4 \ \ 4 9 & 2 \ \ \{数组}结束gydF4y2Ba$

求出的最后一位gydF4y2Ba $7 ^ {358}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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注意最后一位数的模式。他们是gydF4y2Ba $7, 9、3、1、7、9、3、1、7、9日\ ldotsgydF4y2Ba$．最后一个数字以4位数的模式重复:gydF4y2Ba $7、9、3、1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

请注意,gydF4y2Ba $358gydF4y2Ba$除以gydF4y2Ba $4gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $89gydF4y2Ba$其余的gydF4y2Ba $2，gydF4y2Ba$所以这个模式会重复gydF4y2Ba $89gydF4y2Ba$乘以，最后多出两项。最后两项是gydF4y2Ba $7gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $9，gydF4y2Ba$最后一位gydF4y2Ba $7 ^ {358}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $9gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

求出的最后一位gydF4y2Ba $2 ^ {2016}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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的幂的最后一位gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$的循环中重复gydF4y2Ba $2、4、8、6、2、4、8、6 \ ldotsgydF4y2Ba$．分gydF4y2Ba $2016gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $4,gydF4y2Ba$我们得到了gydF4y2Ba $504gydF4y2Ba$和的商gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$其余部分。因此，数字序列重复gydF4y2Ba $504gydF4y2Ba$没有额外的数，所以最后一位应该是gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

主要文章:gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba

上一节的模式可以用模运算语言优雅地表示。求一个正整数的最后一位和求这个数除以后的余数是一样的gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$．一般来说，底数为幂的最后一位gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$它的余数是除以的吗gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．对于小数，我们计算gydF4y2Ba $\ bmod ~ {10}gydF4y2Ba$．求一个整数的后两位相当于计算它的modgydF4y2Ba $One hundred.gydF4y2Ba$找到最后一个gydF4y2Ba ${n}gydF4y2Ba$数字相当于计算gydF4y2Ba $\ bmod ~ 10 ^ {n}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

求出的最后一位gydF4y2Ba $17 ^{17}。gydF4y2Ba$

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求一些幂gydF4y2Ba $17gydF4y2Ba$国防部gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$17^2\equiv 7^2\equiv 9 \pmod{10}，gydF4y2Ba$

所以gydF4y2Ba

$17^4 \equiv 9^2 \equiv 1 \pmod{10}。gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba $17^{17} = \大(17^4\大)^{4}\乘以17gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba

$17 ^ \开始{对齐}{17}& \枚\大(17 ^ 4 \大)^{4}\乘以17 \ pmod{10} \ \ & \枚1 ^ 4 \乘以17 \ pmod{10} \ \ & \ 7枚\ pmod{10}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba中国剩余定理gydF4y2Ba是查找幂的最后几位的强大工具。这个想法是求出一个数字的模gydF4y2Ba $5 ^ ngydF4y2Ba$和国防部gydF4y2Ba $2 ^ n,gydF4y2Ba$然后结合这些结果，利用中国余数定理，求出这个数的模gydF4y2Ba $10 ^ ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

的最后两位数字gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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观察到gydF4y2Ba $100 = 4 \ * 25gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba ${gcd} \文本(25)= 1gydF4y2Ba$．所以我们可以计算gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$(国防部4)gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$(mod 25)，然后将这些结果合并得到gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$国防部100年。现在gydF4y2Ba

$\{对齐}74年开始^{540}\枚2 ^{540}\ * 37 ^{540}& \ 0枚\ pmod{4} \ \ 74 ^{540} \枚(1)^{540}& \枚1 \ pmod{25}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

唯一解模gydF4y2Ba $One hundred.gydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $X \equiv 0 \pmod 4gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $x \枚1 \ pmod {25}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $76年,gydF4y2Ba$这就是答案。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

大的指数可以用gydF4y2Ba欧拉定理gydF4y2Ba:如果gydF4y2Ba $\肾小球囊性肾病(n) = 1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\φ(n)gydF4y2Ba$表示gydF4y2Ba欧拉totient函数gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba

$A ^{\phi (n)}\equiv 1 \pmod{n}。gydF4y2Ba$

所以一个指数gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$可以被约模吗gydF4y2Ba $\φ(n)gydF4y2Ba$取一个更小的指数而不改变的值gydF4y2Ba $^ b \ pmod n。gydF4y2Ba$

的最后两位数字gydF4y2Ba $33 ^{42}。gydF4y2Ba$

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自gydF4y2Ba $\φ40 (100)=gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $33 ^{40} \枚1 \ pmod {100},gydF4y2Ba$由此可见,gydF4y2Ba $33 ^{42} \ ^ 2 33枚\ pmod {100},gydF4y2Ba$这更容易计算:gydF4y2Ba $33 ^ 2 = 1089,gydF4y2Ba$所以答案是gydF4y2Ba $89.gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

的最后三位数字gydF4y2Ba $4 ^{2 ^{42}}。gydF4y2Ba$

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这个数字是gydF4y2Ba $0 \ pmod {2 ^ 3},gydF4y2Ba$和国防部gydF4y2Ba $5 ^ 3gydF4y2Ba$它取决于指数的模gydF4y2Ba $\φ(5 ^ 3)= 100。gydF4y2Ba$现在gydF4y2Ba $2^{42} \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{100}gydF4y2Ba$用欧拉定理，得到gydF4y2Ba $4^4 =256 \equiv 6\pmod{125}。gydF4y2Ba$

利用中国余数定理，有一个唯一的数模gydF4y2Ba $1000gydF4y2Ba$等于gydF4y2Ba $0 \ pmod {8}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $6 \ pmod {125},gydF4y2Ba$即gydF4y2Ba $256.gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

另一种方法(类似于涉及gydF4y2BaHensel引理gydF4y2Ba)是用gydF4y2Ba二项式定理gydF4y2Ba，以这样一种方式，许多项的模次方消失了gydF4y2Ba $10.gydF4y2Ba$这有时对简化有用，但通常只有当指数的底是这种形式时，它才有显著的帮助gydF4y2Ba $10 k \点1。gydF4y2Ba$

的后两位gydF4y2Ba $31日^ {25}gydF4y2Ba$通过二项式展开。gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$31日^ {25}= (1 + 30)^ {25}= 1 ^ {25}+ \ dbinom{25}{1} \ * 1 ^{24} \×30 + \ dbinom {25} {2} \ * 1 ^ {23} \ * 30 ^ 2 + \ cdots + \ dbinom{25}{25} \乘以30 ^{25}。gydF4y2Ba$

注意，在第二项之后，每一项都至少包含两个0。因此，第二项之后的每一项都能被gydF4y2Ba $One hundred.gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

对于前两项，gydF4y2Ba

$1+25\乘以30=751 \equiv 51 \pmod{100}。gydF4y2Ba$

最后gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$数字的gydF4y2Ba $31日^ {25}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $51gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

考虑以下问题:什么是gydF4y2Ba $117 ^ {1023} \ pmod {229} ?gydF4y2Ba$欧拉定理gydF4y2Ba允许我们稍微减少指数:因为gydF4y2Ba $229gydF4y2Ba$是'gydF4y2Ba $\φ(229)= 228,gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $117^{1023} \equiv 117^{111} \pmod{229}。gydF4y2Ba$这似乎仍然是一个困难的计算。gydF4y2Ba

在这种情况下，重复平方通常是进行所需计算的最简单方法。假设我们想求值gydF4y2Ba $x ^ \ pmod {n}gydF4y2Ba$．很明显gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$有一个唯一的base-2扩展吗gydF4y2Ba $(a_1 a_2 \cdots a_k)_2，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $ai = 0, 1gydF4y2Ba$．我们可以利用这一事实将一致性分解为更简单的一致性:gydF4y2Ba

$x ^ \枚x ^ {(a_1 a₂\ cdots a_k) _2} \枚\ prod_ \ neq 0} {a_i ^ {} {x ^ {2 ^ {k-i}}} \ pmod {n}。gydF4y2Ba$

现在做一个表格gydF4y2Ba $我x ^ ^ {2},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $我\ le kgydF4y2Ba$．这只需要gydF4y2Ba $\ \ lfloor \ log_2大(a) \ \ rfloor大gydF4y2Ba$计算，使这个策略更加有效一旦你把这些值代入产品。gydF4y2Ba

在这个例子中,gydF4y2Ba $111 = 2 ^ 6 + 2 ^ 5 + 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 + 2 ^ 0 ^ 1。gydF4y2Ba$一些快速的平方和gydF4y2Ba

$\begin{aligned} 117^1 &\equiv 117 \\ 117^2 &\equiv 178 \\ 117^4 &\equiv 82 \\ 117^8 &\equiv 83 \\ 117^{16} &\equiv 19 \\ 117^{32} &\equiv 132 \\ 117^{64} &\equiv 20。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

所以答案是gydF4y2Ba $117 \cdot 178 \cdot 82 \cdot 83 \cdot 132 \cdot 20 \pmod{229}，gydF4y2Ba$算出来是gydF4y2Ba $141.gydF4y2Ba$

• 原始的根gydF4y2Ba

• RSA加密gydF4y2Ba

• 欧拉Totient函数gydF4y2Ba