查找幂的最后一位gydF4y2Ba

许多数学竞赛要求学生找出幂的最后一个数字。在大多数情况下，幂是相当大的数，例如gydF4y2Ba $6032 ^ {31}gydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $89 ^ {47},gydF4y2Ba$所以计算能量本身是不可能的。gydF4y2Ba

但是，有很多工具，比如gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba,gydF4y2Ba中国剩余定理gydF4y2Ba,gydF4y2Ba欧拉定理gydF4y2Ba这是找到扩大幂的最后一位的捷径。解决这类问题可以让我们对初等数论的这些技术有一个实际的介绍。gydF4y2Ba

解决这类问题的常见方法是列出一个能力的初始扩展，以确定一个模式。关于幂的最后一位小数的问题，在证明所讨论的模式成立之后就可以完全解决了(通常是by)gydF4y2Ba感应gydF4y2Ba).下表给出了整数的各种幂的最后位数：gydF4y2Ba

$\开始{数组}{c | c c c c} \文本{数字}& d ^ 2 & d ^ 3 ^ & d ^ 4 & d 5 \ \ \线1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 2 & 4 & 8 & 6 & 2 \ \ 3 & 9 & 7 & 1 & 3 \ \ 4 & 6和4 & 6和4 \ \ 5 & & & 5 & 5 \ \ 6 & 6 & 6 & 6和6 \ \ 7和9 & 3 & 1 & 7 \ \ 8和4 & 2 & 6和8 \ \ 9 & 1 & 9 & 1 & 9 \ \ \{数组}结束gydF4y2Ba$从表中可以看出:gydF4y2Ba

$\开始{数组}{c c | | |} \线\文本{1的最后一位权力总是}& 1 \ \ \线\文本{最后一位数的2重复循环}& 4,8日,6日2 \ \ \线\文本{权力的最后数字3重复的周期}& 9日7日1、3 \ \ \线\文本{权力的最后数字4重复循环}& 6 4 \ \ \线\{文本的最后一位权力5总是}& 5 \ \ \线\文本的最后数字{6的权力总是}& 6 \ \ \线\文本{权力的最后数字7的重复周期的}& 9、3、1、7 \ \ \线\文本{权力的最后数字8的重复周期的}& 4、2、6、8 \ \ \线\文本{权力的最后数字9重复循环}& 1,9 \ \ \线\{数组}结束gydF4y2Ba$

幂次的最后几位组成一个周期序列，周期如下表所示:gydF4y2Ba

$\开始{array}{c|c}\text{Digit}&\text{Period}\\\hline 0,1,5,6&1\\2,3,7,8&4\\4,9&2\\\\结束{array}gydF4y2Ba$

查找数据的最后一位gydF4y2Ba $7^{358}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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注意最后一个数字的模式。他们是gydF4y2Ba $7, 9、3、1、7、9、3、1、7、9日\ ldotsgydF4y2Ba$.最后一个数字以4位长的模式重复：gydF4y2Ba $7、9、3、1gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

请注意,gydF4y2Ba $358gydF4y2Ba$除以gydF4y2Ba $4gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $89gydF4y2Ba$用剩余的gydF4y2Ba $2.gydF4y2Ba$所以这个模式会重复gydF4y2Ba $89gydF4y2Ba$乘以，最后有两个额外的项。最后两项是gydF4y2Ba $7gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $9,gydF4y2Ba$最后一个数字是gydF4y2Ba $7^{358}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $9gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_\方格gydF4y2Ba$

查找数据的最后一位gydF4y2Ba $2^{2016}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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的幂的最后一位gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$在一个循环中重复gydF4y2Ba $2、4、8、6、2、4、8、6 \ ldotsgydF4y2Ba$．分gydF4y2Ba $2016gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $4.gydF4y2Ba$我们得到了gydF4y2Ba $504gydF4y2Ba$作为商gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$其余部分。因此，数字序列重复gydF4y2Ba $504gydF4y2Ba$没有额外项的次数，所以最后一位应该是gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_\方格gydF4y2Ba$

主要文章:gydF4y2Ba模运算gydF4y2Ba

上一节的模式可以用模运算语言优雅地表示。求一个正整数的最后一位等于求这个数除以的余数gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$．一般来说，底数幂的最后一位gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$它的余数除以gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．对于十进制数，我们进行计算gydF4y2Ba $\ bmod ~ {10}gydF4y2Ba$.查找整数的最后2位相当于计算它modgydF4y2Ba $One hundred.gydF4y2Ba$找到最后一个gydF4y2Ba ${n}gydF4y2Ba$数字等于计算gydF4y2Ba $\bmod~10^{n}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

查找数据的最后一位gydF4y2Ba $17 ^{17}。gydF4y2Ba$

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计算一些gydF4y2Ba $17gydF4y2Ba$摩登派青年gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$17^2\equiv 7^2\equiv 9 \pmod{10}，gydF4y2Ba$

所以gydF4y2Ba

$17^4 \equiv 9^2 \equiv 1 \pmod{10}。gydF4y2Ba$

因此gydF4y2Ba $17^{17}=\big（17^4\big）^{4}\乘以17gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba

$\开始{aligned}17^{17}&\equiv\big（17^4\big）^{4}乘以17\pmod{10}\\&\equiv 1^4\times 17\pmod{10}\\\\\\\\ equiv 7\pmod{10}.\\正方形\结束{aligned}gydF4y2Ba$

的gydF4y2Ba中国剩余定理gydF4y2Ba是查找幂的最后几位的强大工具。其思想是查找一个数字gydF4y2Ba $5^ngydF4y2Ba$和国防部gydF4y2Ba $2 ^ n,gydF4y2Ba$然后结合这些结果，使用中国余数定理，找到那个数modgydF4y2Ba $10^ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

找到最后两位数字gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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观察到gydF4y2Ba $100=4乘以25gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\文本{gcd}（4,25）=1gydF4y2Ba$．所以我们可以计算gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$（mod 4）和gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$(mod 25)，然后结合这些结果进行查找gydF4y2Ba $74 ^ {540}gydF4y2Ba$国防部100，现在gydF4y2Ba

$\开始{aligned}74^{540}\equiv 2^{540}\次37^{540}&\equiv 0\pmod{4}\\74^{540}\equiv（-1）^{540}&\equiv 1\pmod{25}.\end{aligned}gydF4y2Ba$

唯一解模gydF4y2Ba $100gydF4y2Ba$到gydF4y2Ba $x\equiv 0\pmod 4gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $x\equiv 1\pmod{25}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $76年,gydF4y2Ba$这就是答案。gydF4y2Ba $_\方格gydF4y2Ba$

大指数可以通过使用来减少gydF4y2Ba欧拉定理gydF4y2Ba：如果gydF4y2Ba $\肾小球囊性肾病(n) = 1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $\φ(n)gydF4y2Ba$表示gydF4y2Ba欧拉totient函数gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba

$a ^{\phi（n）}\equiv 1\pmod{n}。gydF4y2Ba$

那么指数呢gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$可约化模gydF4y2Ba $\φ(n)gydF4y2Ba$为较小的指数而不改变的值gydF4y2Ba $a^b\pmod n。gydF4y2Ba$

找到最后两位数字gydF4y2Ba $33 ^{42}。gydF4y2Ba$

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自gydF4y2Ba $\φ40 (100)=gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $33 ^{40}\equiv 1\pmod{100}，gydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $33^{42}\equiv 33^2\pmod{100}，gydF4y2Ba$这更容易计算:gydF4y2Ba $33 ^ 2 = 1089,gydF4y2Ba$所以答案是gydF4y2Ba $89.gydF4y2Ba$ $_\方格gydF4y2Ba$

找到最后三位数字gydF4y2Ba $4 ^{2 ^{42}}。gydF4y2Ba$

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这个号码是gydF4y2Ba $0 \ pmod {2 ^ 3},gydF4y2Ba$和国防部gydF4y2Ba $5^3gydF4y2Ba$它取决于指数取余gydF4y2Ba $\φ（5^3）=100。gydF4y2Ba$现在gydF4y2Ba $2^{42} \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{100}gydF4y2Ba$根据欧拉定理，我们得到gydF4y2Ba $4^4=256\equiv 6\pmod{125}。gydF4y2Ba$

利用中国剩余定理，有一个唯一的数modgydF4y2Ba $1000gydF4y2Ba$这就等于gydF4y2Ba $0 \ pmod {8}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $6\pmod{125}，gydF4y2Ba$即gydF4y2Ba $256.gydF4y2Ba$ $_\方格gydF4y2Ba$

另一种方法（类似于涉及gydF4y2Ba亨塞尔引理gydF4y2Ba)是使用gydF4y2Ba二项式定理gydF4y2Ba，以这样一种方式，许多项的模幂消失gydF4y2Ba $10gydF4y2Ba$这对于化简偶尔是有用的，但通常只有当指数的底是这种形式时才会有显著的帮助gydF4y2Ba $10 k \点1。gydF4y2Ba$

查找最后两位数字gydF4y2Ba $31^{25}gydF4y2Ba$通过二项式展开。gydF4y2Ba

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我们有gydF4y2Ba

$31日^ {25}= (1 + 30)^ {25}= 1 ^ {25}+ \ dbinom{25}{1} \ * 1 ^{24} \×30 + \ dbinom {25} {2} \ * 1 ^ {23} \ * 30 ^ 2 + \ cdots + \ dbinom{25}{25} \乘以30 ^{25}。gydF4y2Ba$

请注意，在第二项之后，每个项至少包含2个零。因此，第二项之后的每个项都可以被gydF4y2Ba $100gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

对于前两项，gydF4y2Ba

$1+25乘以30=751等于51\pmod{100}。gydF4y2Ba$

那么最后gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$数字gydF4y2Ba $31^{25}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $51gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_\方格gydF4y2Ba$

考虑以下问题：什么是gydF4y2Ba $117^{1023}\pmod{229}？gydF4y2Ba$欧拉定理gydF4y2Ba允许我们稍微减少指数gydF4y2Ba $229gydF4y2Ba$是黄金,，gydF4y2Ba $\φ(229)= 228,gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $117^{1023}\equiv 117^{111}\pmod{229}。gydF4y2Ba$这似乎仍然是一个困难的计算。gydF4y2Ba

在这种情况下，重复平方通常是进行所需计算的最简单方法gydF4y2Ba $x ^ \ pmod {n}gydF4y2Ba$．很明显gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$具有独特的base-2扩展gydF4y2Ba $(a_1 a_2 \cdots a_k)_2，gydF4y2Ba$哪里gydF4y2Ba $ai = 0, 1gydF4y2Ba$．我们可以用这个事实来把这个一致性分解成更简单的:gydF4y2Ba

$x ^ \枚x ^ {(a_1 a₂\ cdots a_k) _2} \枚\ prod_ \ neq 0} {a_i ^ {} {x ^ {2 ^ {k-i}}} \ pmod {n}。gydF4y2Ba$

现在做一张桌子gydF4y2Ba $我x ^ ^ {2},gydF4y2Ba$哪里gydF4y2Ba $我爱你gydF4y2Ba$．这只需要gydF4y2Ba $\大\lfloor\log\u 2（a）\big\rfloorgydF4y2Ba$计算，一旦将这些值插入到产品中，使此策略更加有效。gydF4y2Ba

在这个例子中，gydF4y2Ba $111 = 2 ^ 6 + 2 ^ 5 + 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 + 2 ^ 0 ^ 1。gydF4y2Ba$一些快速的平方gydF4y2Ba

$\begin{aligned} 117^1 & 117^2 & 117^4 & 82 ^8 & 83 ^ 117^{16} & 19 ^ 117^{32} & 132 ^ 117^{64} & 20。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

所以答案是gydF4y2Ba $117 \cdot 178 \cdot 82 \cdot 83 \cdot 132 \cdot 20 \pmod{229}，gydF4y2Ba$结果是gydF4y2Ba $141.gydF4y2Ba$

• 原始根gydF4y2Ba

• RSA加密gydF4y2Ba

• 欧拉Totient函数gydF4y2Ba