一组
Zn∗有一个重要的性质:它是乘法模下封闭
n.也就是说,如果
一个,b∈Zn∗,
c正整数是否小于
n哪个是相等的
一个b国防部
n,然后
c∈Zn∗也这是因为
一个b而且
n没有公因数(by<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-arithmetic/" class="wiki_link" title="独特的分解gydF4y2Ba" target="_blank">独特的分解),所以
c而且
n也没有公因数吗
(因为如果
d∣c而且
d∣n,然后
d∣一个b,因为
一个b=c+nx对于一些整数
x).
这个属性,加上乘法mod的其他基本属性
n,意味着
Zn∗是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="集团gydF4y2Ba" target="_blank">集团在乘法。
对于任何一个元素
一个∈Zn∗,考虑它的权力顺序
1,一个,一个2,一个3.,...国防部
n.所有的幂
一个在有限集中
Zn∗的幂的序列
一个最终重复。事实上,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉定理gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉定理意味着它随周期重复
ϕ(n):
一个0≡1≡一个ϕ(n)(米odn).
根据这个序列,原始根的另一个特征是:原始根是元素
一个∈Zn∗的幂的序列
一个有最低期
ϕ(n).
的幂序列的最小周期
一个被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-an-element/" class="wiki_link" title="订单gydF4y2Ba" target="_blank">订单的
一个.所以
一个是原始根mod吗
n当且仅当
一个是
ϕ(n).
Z9∗={1,2,4,5,7,8}.
- 的权力
1是
1,1,1,....的顺序
1是
1.
- 的权力
2是
2,4,8,7,5,1,....的顺序
2是
6.
- 的权力
4是
4,7,1,....的顺序
4是
3..
- 的权力
5是
5,7,8,4,2,1,....的顺序
5是
6.
- 的权力
7是
7,4,1,....的顺序
7是
3..
- 的权力
8是
8,1,....的顺序
8是
2.
原始根mod
9是
2而且
5.