RSA加密

RSA是一个加密算法，用于在互联网上安全地传输信息。它的原理是大的数字相乘很容易，但是保理大量的数字是非常困难的。例如，检查31和37乘到1147是很容易的，但试图找出1147的因数是一个更长的过程。

RSA就是一个例子公钥密码学，这是由以下示例说明的：假设Alice希望送鲍勃是一个有价值的钻石，但如果送达无担保，珠宝将被盗。Alice和Bob都有各种挂锁，但它们不拥有相同的挂锁，这意味着他们的钥匙无法打开另一个锁。

爱丽丝是怎样把钻石送给鲍勃的?

解决方案：

1. 鲍勃首先发送Alice解锁挂锁。请注意，鲍勃会给任何人一个解锁的挂锁，因为唯一的用途是发送鲍勃的东西。
2. Alice添加Bob的锁并将包发送给Bob
3. 鲍勃打开了锁，打开了包裹。

此示例演示了公钥加密后面的想法，尽管概念实际上略有不同。在公共关键密码学中。Alice使用Bob的公钥加密她的消息，只能由Bob的私钥解码。

在RSA中，公钥是用2乘以2来生成的质数 $p$和 $问$一起，私钥是通过涉及的不同进程生成的 $p$和 $问$．然后，用户可以分发他的公钥 $魁人党$，并且希望发送用户消息的人将使用公钥加密其邮件。出于所有实际目的，偶数计算机也不能将数量大的​​数量归因于两个素线的乘积，以与手用手414863的数字是不可能的。然而，乘两个数字的难度要小得多，因此可以快速地验证潜在的因式分解，如下面的多项选择题所示:

当用户收到加密的消息时，他们使用私钥对其进行解密，并可以读取原始文本。下一节将给出更详细的技术解释。

RSA的实施重大使用模块化算术，欧拉定理， 和欧拉的职能．请注意，算法的每个步骤只涉及乘法，因此计算机可以执行：

1. 首先，接收器选择两个大质数 $p$和 $问$．他们的产品, $n = pq.$，将是公钥的一半。
2. 接收器计算 $\ phi（pq）=（p-1）（q-1）$并选择一个数字 $e$相对素质来 $\φ(pq)$．在实践中， $e$经常被选为 $2 ^ {16} + 1 = 65537$，尽管它可能很小 $3.$在某些情况下。 $e$将是公钥的另一半。
3. 接收端计算模块化的逆 $d$的 $e$模 $\φ(n)$．换句话说, $de \ Equiv 1 \ PMOD {{\ small \ phi（n）}}$． $d$是个私钥．
4. 接收方分发公钥的两部分: $n$和 $e$． $d$保持秘密。

既然已经生成了公钥和私钥，就可以随时重用它们了。要传递信息，请遵循以下步骤:

1. 首先，发送者将他的信息转换成一个数字 $米$．一个常见的转换过程使用ASCII字母：

   一个	B	C	D	E	F	G	H	我	J	K	l	米
   65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77
   N	O	P	问	R	年代	T	U	V	W	X	Y	Z
   78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90.

   例如，消息“Hello”将被编码为7269767679.重要的是 $m < n$，否则取模后信息将丢失 $n$,所以如果 $n$小于消息，它将以片状​​发送。

2. 然后发件人计算 $C \ Equiv M ^ e \ pmod {n}$． $c$是个密文或加密消息。除了公钥外，这是攻击者将能够窃取的唯一信息。
3. 接收方计算 $C ^ D \ Equiv M \ PMOD n$，从而检索原始号码 $米$．
4. 接收方翻译 $米$回到字母，检索原始信息。

注意，第3步使用了欧拉定理。

欧拉的定理告诉我们 $M ^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$．从接收者的步骤3，我们刻意选择 $d$这 $de \ Equiv 1 \ PMOD {{\ small \ phi（n）}}。$注意这样一个 $d$存在的定义 $e$．这意味着存在一个整数 $k$满意 $德= k \φ(n) + 1$．然后

$m ^ {de} \ \ chariv m ^ {k \ phi（n）+1} \ Equiv m ^ {k \ phi（n）} \ cdot m \ Equiv \ big（m ^ {\ phi（n）} \ big）^ k \ cdot m \等式1 ^ k \ cdot m \等式m \ pmod {n}。\ _ \ square$

例如，假设接收器选择了Primes $p = 11$和 $Q = 17.$,连同 $e = 3$．

1. 接收器计算 $n = pq = 11 \ cdot 17 = 187$，这是公钥的一半。
2. 接收器还计算 $\ phi（n）=（p-1）（q-1）= 10 \ cdot 16 = 160$． $e = 3$也被选中。
3. 接收器计算 $d = 107.$， 自那以后 $de = 321 \ Equiv 1 \ pmod {{\ small \ phi（n）}}$ $\大($自从 $\ phi（n）= 160）。$
4. 接收方分发他的公钥: $n = 187.$和 $e = 3$．

现在假设发件人想要发送消息“Hello”。自从 $n$是如此之小，发送者将不得不一个字一个字地发送他的信息。

1. 'H'是ASCII的72，所以消息文本是 $米= 72$．
2. 发件人计算 $M ^ e = 72 ^ 3 \ Equif 183 \ PMod {187}$，制作密文 $C = 183.$．同样，这是攻击者能得到的唯一信息，因为攻击者没有私钥。
3. 接收器计算 $c ^ d = 183 ^ {107} \ Equiv 72 \ PMOD {187}$，从而得到的信息 $米= 72$．
4. 接收端会翻译成“H”。

其余的信件以同样的方式寄出。

由于破解RSA的难度很大，它几乎被普遍用于任何需要加密的地方:密码交换、银行、网上购物，甚至有线电视。RSA也被用来确保网站是合法的，因为只有真正的网站才有它的私钥。因此，它避免了中间人攻击，在中间人攻击中，攻击者拦截一个连接，并几乎完全向用户显示一个令人信服的假连接。总而言之，RSA中的一个漏洞会带来灾难性的安全后果，因此人们尝试了各种各样的攻击。

RSA的强度以键尺寸为单位测量，这是位数的位数 $n = pq.$．512位（155位数字）RSA不再被认为是安全的，因为现代蛮力攻击只需几个小时就可以提取私钥，并且类似的攻击能够在2010年提取768位（232位数）私钥。2016年，1024位（309位数字）键被认为是风险的，并且大多数新生成的键是4096位（1234位数）。

关于RSA的一个常见攻击完全绕过算法。计算机可以快速计算使用两个数字的最大常见除数欧几里得算法，因此攻击者可以在两个公钥上运行此算法。如果他们最大的普通除数是不1，则攻击者找到了一个质数除以两个密钥，因此同时破坏两个密钥。例如，假设两个公钥是239149和166381。很难用手工分解这两个数字中的任何一个，但是欧几里得算法可以用手完成，揭示这两个数字具有379的最大常见除数。

其他攻击是类似的，利用了糟糕的随机数生成。如果 $p$和 $问$太靠近了， $e$这太小了 $m ^ e$或者私钥太小，然后攻击者可以有效地确定私钥。

另一类攻击主要针对硬件。密歇根大学的研究人员通过操纵计算机的功率水平并导致电源故障，仅使用标准硬件[1]就能解码1024位私钥。类似地，通过研究计算机运行时发出的声音，以色列研究人员能够在不到一个小时的时间内提取出一个4096位的私钥。

1994年，MIT Mathematician Peter Shor开发了一种理论算法量子计算机这些因素数量比当前算法呈指数增长。然而，由于仅构建了小量子计算机，因此截至2016年，该算法仅管理到因子16位数字（最大到日期为56153）。

[1]密歇根大学。基于故障的RSA认证攻击．从http://web.eecs.umich.edu/~valeria/research/publications/date10rsa.pdf中检索了2016年1月12日

特拉维夫大学。通过低带宽声密码分析的RSA密钥提取．2016年1月12日从http://www.tau.ac.il/~tromer/papers/acoustic-20131218.pdf检索