二项式定理据/h1>
当据strong>二项式定理据/strong>(或二项式展开)是将二项式的幂或两项的和展开的结果。展开式中各项的系数是据一种H.R.ef="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-coefficient/" class="wiki_link" title="二项式系数" target="_blank">二项式系数据/a>
定理的声明据/h2>
让据span class="katex"> 是一个正整数据span class="katex"> 和据span class="katex"> 实数(或复数,或多项式)。系数据span class="katex">
或据/p>
当据strong>二项式定理据/strong>对于任何正整数据span class="katex"> , 我们有据/p>
证明据/h2>
我们可以通过组合学证明这一点:据/p>
我们可以建立一个据一种H.R.ef="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="双射" target="_blank">双射据/a>二项式的产品之间提高到据span class="katex"> 和组合据span class="katex"> 对象。每个产品的结果据span class="katex">
或者我们也可以用归纳法来证明据/p>
基本情况据span class="katex">
例子据/h2>
应用程序据/h2>
当据一种H.R.ef="//www.parkandroid.com/wiki/derivatives-of-polynomials/" class="wiki_link" title="权力规则" target="_blank">权力规则据/a>在微分可以使用衍生物的极限定义和二项式定理证明。据span class="katex"> 要查找的衍生据span class="katex">
的一般证明据一种H.R.ef="//www.parkandroid.com/wiki/principle-of-inclusion-and-exclusion-pie/" class="wiki_link" title="包容性和排斥原则" target="_blank">包容性和排斥原则据/a>涉及二项式定理。回想一下,该原则指出,对于有限集合据span class="katex">
事实上据一种H.R.ef="//www.parkandroid.com/wiki/mobius-function/" class="wiki_link" title="Möbius函数" target="_blank">Möbius函数据/a> 是据一种H.R.ef="//www.parkandroid.com/wiki/dirichlet-convolution/" class="wiki_link" title="狄利克雷逆" target="_blank">狄利克雷逆据/a>恒定功能据span class="katex">
如果据span class="katex"> 是一个素数,则据span class="katex"> 将所有的二项式系数据span class="katex">
推广据/h2>
如规定的定理使用一个正整数指数据span class="katex"> .事实证明,有微积分的二项式定理的自然推广,利用无穷级数,对任意实指数据span class="katex"> .也就是说,据/p>
对于据span class="katex">
Pascal的三角形据/h2>
这些都对扩张据span class="katex">