保守力gydF4y2B一个

一个gydF4y2B一个保守力gydF4y2B一个力所做的功是什么gydF4y2B一个独立的gydF4y2B一个要看情况而定gydF4y2B一个只有gydF4y2B一个在gydF4y2B一个初始和最终位置gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

保守力是物理学的一个重要方面。许多自然力都是保守的喜欢gydF4y2B一个引力gydF4y2B一个，gydF4y2B一个静电力gydF4y2B一个，gydF4y2B一个磁力gydF4y2B一个,gydF4y2B一个弹性力(弹簧力)gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

在阅读这一页之前，确保你已经阅读过gydF4y2B一个Work-Kinetic能量定理gydF4y2B一个和gydF4y2B一个动能gydF4y2B一个．如果你熟悉就好了gydF4y2B一个势能gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

顾名思义，保守力遵循…定律gydF4y2B一个能量守恒gydF4y2B一个．正如我们看到的，能量守恒最基本的理解之一是gydF4y2B一个动能守恒gydF4y2B一个它让我们对“保护”一词的真正含义有了更深的理解。让我们回想一下定理是怎么说的gydF4y2B一个

$δ\ \ textrm {KE} = \ int \ textbf {F} \ cdot d \ textbf {r}。gydF4y2B一个$

保守力可以定义为两点之间运动时所作的功gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$与两点之间的路径无关。在这种情况下，“保守”的含义是你可以把它从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$走一条路，然后返回gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$通过另一条没有净能量损失的路径——任何闭合的返回路径gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$净零功。gydF4y2B一个^{［1］gydF4y2B一个}因此，我们定义如下:gydF4y2B一个

一个gydF4y2B一个保守的gydF4y2B一个力是一种力，它所做的功是gydF4y2B一个独立的gydF4y2B一个要看情况而定gydF4y2B一个只有gydF4y2B一个在gydF4y2B一个初始和最终位置gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

保守力的路径独立性:gydF4y2B一个

正如定义所说，保守力是路径独立的，这就是它们的独特之处。正是由于这个性质，质点在圆周运动时所做的功为零，我们稍后将讨论保守力的循环性质。现在，让我们看看路径独立性的定义是什么;gydF4y2B一个

让gydF4y2B一个 $vec f \gydF4y2B一个$是定义在开放区域上的向量gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$在一个gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$-维空间，假设有两点gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$的线积分gydF4y2B一个 $vec f C \ int_ {} \ \ cdot博士gydF4y2B一个$沿着一条路径gydF4y2B一个 $CgydF4y2B一个$从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$在gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$所有的路径都一样吗gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $B。gydF4y2B一个$然后:gydF4y2B一个 $\int_{A}^{B} \vec f\cdot drgydF4y2B一个$是路径无关gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$和领域gydF4y2B一个 $vec f \gydF4y2B一个$是保守的gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$．gydF4y2B一个^{［2］gydF4y2B一个}

既然我们已经知道保守力是路径独立的，让我们简单地研究一下gydF4y2B一个重力势能gydF4y2B一个关于gydF4y2B一个摩擦gydF4y2B一个了解保守势力背后的轮廓。gydF4y2B一个

重力势能gydF4y2B一个

重力势能与路径无关。gydF4y2B一个

我们知道重力gydF4y2B一个^{［3］gydF4y2B一个}的表达式gydF4y2B一个 $vec F = \毫克gydF4y2B一个$．现在让我们看看，如果我们把一个球扔在两条不同的路径上，但起点和终点相同，会发生什么。让我们先扔一个球，求当球到达高度时，重力所做的功gydF4y2B一个 $HgydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

对于下一种情况，假设我们以更高的速度扔出同样的球，使得球通过了这个高度gydF4y2B一个 $HgydF4y2B一个$，走得更远，到达一个高度gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$，然后回到gydF4y2B一个 $HgydF4y2B一个$，最后到达地面。因此，我们有两个不同的路径，在同一球到达高度gydF4y2B一个 $HgydF4y2B一个$．让我们计算每种情况下所做的功，并看看结果:gydF4y2B一个

$文本\开始{对齐}\{案例1:工作}= \ \ W_1 & = \ int_ {0} ^ {H}毫克\,dx \ \ & = mgH \ \ \ \ \文字{案例2:工作}= \ \ W_2 & = \ int_ {0} ^ {L}毫克\,dx - \ int_ {L} ^ {H}毫克\,dx \ \ & =球型+球型- mgH \ \ & = mgH。结束\{对齐}gydF4y2B一个$

我们观察到gydF4y2B一个 $W_1 = W_2gydF4y2B一个$．因此，根据保守力的定义，我们可以说引力势能是一个“保守力”，因为它是路径无关的。gydF4y2B一个

摩擦力是非保守力gydF4y2B一个

摩擦力，相对于重力势能，是gydF4y2B一个保守gydF4y2B一个因此它不仅仅取决于起点和终点。我们现在将探究这背后的原因。所以，让我们首先考虑一个物体从一个点滑动gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$在摩擦力的作用下gydF4y2B一个 $vec f \gydF4y2B一个$．让我们再试着找出两条不同的路径，这样我们就可以验证在这两种情况下所做的功是否相同。gydF4y2B一个

首先，我们把尸体从gydF4y2B一个 $0gydF4y2B一个$在一定程度上gydF4y2B一个 $XgydF4y2B一个$以恒定的速度。接下来，我们以另一种恒定的速度移动物体gydF4y2B一个 $0gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $2 xgydF4y2B一个$然后回到gydF4y2B一个 $XgydF4y2B一个$．再一次，就像我们在前一个例子中做的那样，让我们计算每一个例子所做的功。然后gydF4y2B一个

$文本\开始{对齐}\{案例1:工作}= \ \ W_1 & = - \ int_ {0} ^ {X} f \, dx \ \ & = fX \ \ \ \ \文字{案例2:工作}= \ \ W_2 & = \ int_ {0} ^ {2 X} - f \, dx - \ int_ {2 X} ^ {X} - f \, dx \ \ & = 2外汇+ fX - 2外汇\ \ & = 3外汇。结束\{对齐}gydF4y2B一个$

很明显gydF4y2B一个 $W_1 \ neq W_2gydF4y2B一个$．这意味着摩擦是gydF4y2B一个不gydF4y2B一个路径独立，因此它不是保守的。gydF4y2B一个

虽然检查一个力是否与路径无关似乎是检查一个力是否是保守力的好主意，但对于复杂的力来说，事情可能会变得更复杂。因此，我们需要开发一些其他更简单的方法来识别这些类型的力，这将在下一节中实现。gydF4y2B一个

Sravanth和朱利安gydF4y2B一个

到目前为止，我们对gydF4y2B一个保守力gydF4y2B一个；现在我们要试着找到一些方法来确定一个力是否是保守力。在本节中，我们将尝试通过四种不同的方法来理解这一点。要理解这一点，你必须熟悉gydF4y2B一个斯托克斯公式gydF4y2B一个，gydF4y2B一个偏导数gydF4y2B一个,gydF4y2B一个格林在物理学中的作用gydF4y2B一个．让我们看看如何确定一个保守力:gydF4y2B一个

方法1:测试不同的路径，保持端点相同gydF4y2B一个

来源:汗学院gydF4y2B一个

这个方法只是检查字段是否与路径无关。根据这个方法，如果我们证明所做的功不随所走的路径而改变，则力是保守的。这个方法不需要证明，因为这个方法本身就是保守力的核心。所以我们只需要确保这点gydF4y2B一个

$\displaystyle \int_{C_1} {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {dr}} = \int_{C_2} {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {dr}}。gydF4y2B一个$

上面的图像指定了2个不同的路径gydF4y2B一个 $c₁gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $c₂gydF4y2B一个$．当且仅当上述表达式成立时，向量场是保守的。它只是表明，无论你走哪条路，所做的功都不会改变，只要你的起点和终点是相同的。gydF4y2B一个

方法二:保守力的回路性质gydF4y2B一个

假设我们有一个闭环/路径，起点和终点是gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$，那么根据这个方法，如果在移动中所做的功gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$和回gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$从gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$是零，那么这个力是保守力。数学上说gydF4y2B一个

$\displaystyle \oint_{color{#D61F06}{\text{Any Closed Path}} {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow{dr}} = 0 \quad \forall \overrightarrow{f} \in \color{#3D99F6}{\text{Conservative Fields}}。gydF4y2B一个$

2比1的优势:gydF4y2B一个我们不能肯定gydF4y2B一个1gydF4y2B一个那gydF4y2B一个 $f \ overrightarrow {}gydF4y2B一个$即使遵循了它，还是保守吗gydF4y2B一个1gydF4y2B一个因为我们所选择的路径或点在符合条件时可能是一种特殊情况。现在，让我们看看这个方法的证明gydF4y2B一个2gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

来源:托马斯微积分gydF4y2B一个

假设有两个点gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$哪些是简单连接的(见图)gydF4y2B一个 $CgydF4y2B一个$．让我们说说这条路gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $c₁gydF4y2B一个$以及从gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $c₂gydF4y2B一个$．但如果我们改变方向gydF4y2B一个 $c₂gydF4y2B一个$从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$，其符号变为gydF4y2B一个 $c₂gydF4y2B一个$，所以我们有gydF4y2B一个

$\开始{对齐}\ oint_ vec {f} {C} \ \ & =博士cdot \ int_ vec {f} {C₁}\ \博士cdot + \ int_ vec {f}{₂}\ \ \ \ & =博士cdot \ int_{一}^ vec {f} {B} \ \博士cdot - \ int_{一}^ vec {f} {B} \ \博士cdot \ \ & = 0。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2B一个$

方法三:每个保守力可以表示为gydF4y2B一个 $\vec f = \nablagydF4y2B一个$

根据这种方法，如果是一个向量场gydF4y2B一个 $vec f \gydF4y2B一个$可以表示为gydF4y2B一个 $\vec f = \nablagydF4y2B一个$对于可微函数gydF4y2B一个 $FgydF4y2B一个$，那么它是保守的。换句话说，如果gydF4y2B一个 $\vec f =\nabla f，gydF4y2B一个$然后是线积分的值gydF4y2B一个 $\int_C \vec f \vec{dr}gydF4y2B一个$是路径独立。更正式的定义如下:gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kgydF4y2B一个$一个向量场的三个分量在开放区域中是连续的吗gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$在太空中，如果gydF4y2B一个 $vec {f} \gydF4y2B一个$可以表示为gydF4y2B一个

$\overrightarrow{f} = \nabla f \text{where f is a}{\ color{#D61F06}{\text{scalar}}，gydF4y2B一个$

然后gydF4y2B一个 $vec {f} \gydF4y2B一个$是一个gydF4y2B一个保守的gydF4y2B一个力。gydF4y2B一个

让我们看看如何证明这一点:gydF4y2B一个

让gydF4y2B一个 $mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kgydF4y2B一个$．现在，假设我们有gydF4y2B一个 $2gydF4y2B一个$点在空间gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$,如果gydF4y2B一个 $\ overrightarrow fgydF4y2B一个$是梯度场吗gydF4y2B一个

$C \ int_ {} \ overrightarrow f \ cdot = f (B) - f博士(A)。gydF4y2B一个$

假设这条路径是一条平滑的曲线gydF4y2B一个 $CgydF4y2B一个$，假设我们有一个点gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$与坐标gydF4y2B一个 $(从,y, z)gydF4y2B一个$附近gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$与坐标gydF4y2B一个 $(x, y, z)gydF4y2B一个$，由线段连接gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$．同时，让我们说说路径gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$是另一个曲线gydF4y2B一个 $C_0gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

如果我们要从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $B,gydF4y2B一个$我们得从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$然后从gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$，或者简而言之，我们不得不一路前行gydF4y2B一个 $C_0gydF4y2B一个$然后gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$．因此,gydF4y2B一个

$F(x,y,z) = \int_{C_0} \右转F \cdot dr + \int_{L} \右转F \cdot dr。gydF4y2B一个$

对这个求导，我们得到gydF4y2B一个

$f (x,y,z) = {frac{partial f}{partial x}\int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + {frac{partial f}{partial x}\int_{L} \overrightarrow f\cdot dr。gydF4y2B一个$

因为这是第二项gydF4y2B一个 $xgydF4y2B一个$，我们到达gydF4y2B一个

$F(x,y,z) = {frac{partial F}{partial x}\int_{L} \overrightarrow F \cdot dr。gydF4y2B一个$

我们可以参数化路径gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$作为gydF4y2B一个 $\mathbf r(t) = t \mathbf I + y\mathbf j + z\mathbf k，gydF4y2B一个$其中的价值gydF4y2B一个 $tgydF4y2B一个$是gydF4y2B一个 $x0 \leq t \leq xgydF4y2B一个$．因此我们有gydF4y2B一个 $(1) (1) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5)gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $f \ cdot d \ \ int_L \ mathbf mathbf r = \ int_ {x_0} ^ x M (t, y, z) \ dt。gydF4y2B一个$将这些代入上面的积分得到gydF4y2B一个

$\压裂{\部分}{x} \部分F (x, y, z) = \压裂{\部分F} {x} \部分\ int_ {x_0} ^ x M (t, y, z) \ dt = M (x, y, z)。gydF4y2B一个$

我们可以对其他两个偏导数做同样的处理gydF4y2B一个 ${partial f}{partial z} =PzgydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $\frac{partial f}{partial y} = N，gydF4y2B一个$结论gydF4y2B一个

$\mathbf F = \nabla F .\ _\平方gydF4y2B一个$

下面是另一种证明方法:gydF4y2B一个点击这里gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

方法4:保守场的旋度为0。gydF4y2B一个

向量场的旋度gydF4y2B一个 $\vec f =M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kgydF4y2B一个$被定义为gydF4y2B一个

$vec f = \ \微分算符\ * \离开(\ dfrac{\部分P}{\偏y} - \ dfrac{\部分N}{部分z \} \) \ mathbf i + \离开(\ dfrac{\部分M}{\部分z} - \ dfrac{\部分P} {x} \部分\)\ mathbf j + \离开(\ dfrac{\部分N} {x} \部分——\ dfrac{\部分M}{\偏y} \) \ mathbf k。gydF4y2B一个$

根据这个方法，如果场的旋度是零，那么它是保守的。正式声明如下:gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $nabla乘以vec f = 0gydF4y2B一个$在a的每一个点gydF4y2B一个单连通gydF4y2B一个地区的gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$在太空中,然后gydF4y2B一个

$\oint_C \vec f\cdot d\vec{r}=0\意味着\vec f\ text{是保守的}。gydF4y2B一个$

因此它意味着它是一个在空间区域上的保守力。gydF4y2B一个

这里有一种方法来证明gydF4y2B一个斯托克斯公式gydF4y2B一个：gydF4y2B一个

我们有一个定理，它来自数学的一个分支，叫做“拓扑”，它说，“每一条平滑的简单闭合曲线gydF4y2B一个 $CgydF4y2B一个$在单连通开放区域中gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$光滑的双面表面的边界是什么gydF4y2B一个 $年代gydF4y2B一个$这也在于gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$．"^{［4］gydF4y2B一个}

因此,使用gydF4y2B一个斯托克斯公式gydF4y2B一个,我们有gydF4y2B一个

$\oint_C \vec f d\vec r =\iint_S\nabla \times\vec f \cdot\mathbf n \ d\sigma = 0。gydF4y2B一个$

本节内容与主题无关，请尽快编辑。gydF4y2B一个

现在，说到重力，它是另一个保守力，因为它所做的功与运动的路径无关。它所做的功由这个公式计算出来gydF4y2B一个 $W = f × sgydF4y2B一个$(gydF4y2B一个 $FgydF4y2B一个$力,gydF4y2B一个 $年代gydF4y2B一个$位移)。gydF4y2B一个

一只停在树顶的鸟沿着半圆形的路径飞到地面，这样最终的位置正好低于初始位置(或树顶到它最终位置的倾斜角是)gydF4y2B一个 $0 ^{\保监会}gydF4y2B一个$．如果鸟的质量是gydF4y2B一个 $10公斤gydF4y2B一个$，其向下的加速度为gydF4y2B一个 $5米/秒gydF4y2B一个$．结果表明，鸟的初、终位置垂直线所形成的半圆及其所经过的半圆路径的面积为gydF4y2B一个 $77 m ^ 2gydF4y2B一个$计算它所做的功。(带gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$作为gydF4y2B一个 $\ dfrac {22} {7}gydF4y2B一个$

---

$\begin{aligned} \text{Given}:-\\ & text{鸟的质量}= 10kg\\ & text{Acceleration} = 5m/s\\ & text{形成的半圆面积}= 77m^2 \end{aligned}gydF4y2B一个$

$\开始{对齐}& \文本{半圆面积}= \ dfrac{1}{2} \πr ^ 2 \ \ & 77 = \ dfrac{1}{2}×\ dfrac{22}{7}×r ^ 2 \ \ & r ^ 2 = \ dfrac{77×7×2}{22}\ \ & r ^ 2 = {\ dfrac{7 \取消{77}7××\取消{2}}{{2}\ \取消取消{22}}}\ \ & r ^ 2 = 49 \ \ & r = \√{49}\ \ & r = 7 m \ \ \文字{总行驶距离鸟}& = \文本{直径的半圆}\ \ & =(2 × r)\\ & = (2 × 7)\\ & = 14m \end{align}gydF4y2B一个$

$\begin{aligned} \text {Work by the bird} & = m × a × S\\ & = 10 × 5 × 14\\ & = box {700J} \end{aligned}gydF4y2B一个$

从下面的例子中，我们看到重力所做的功与所走的路径无关，所以重力是保守的。gydF4y2B一个

复制gydF4y2B一个电势gydF4y2B一个

DeeprajgydF4y2B一个

RajdeepgydF4y2B一个

一个gydF4y2B一个保守的gydF4y2B一个力是一种力，它所做的功是gydF4y2B一个独立的gydF4y2B一个要看情况而定gydF4y2B一个只有gydF4y2B一个在gydF4y2B一个初始和最终位置gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

换句话说，我们可以说gydF4y2B一个完成工作gydF4y2B一个这个力沿着闭合路径gydF4y2B一个0gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

质点在力的作用下运动。所做的功是多少(零或非零)，如果粒子在一段时间后回到起始位置，如果作用的力是:gydF4y2B一个

1. 保守的gydF4y2B一个
2. 非保守的gydF4y2B一个

---

这就是问题的答案，带有详细的解决方案。请解释一下你的步骤，以便别人能跟上来。gydF4y2B一个

来源:汗学院gydF4y2B一个

方法1:gydF4y2B一个上面给出的图像指定了2个不同的路径gydF4y2B一个 $c₁gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $c₂gydF4y2B一个$．向量场是保守的，当且仅当gydF4y2B一个 $\displaystyle \int_{c_1} {\overrightarrow {f}。\overright tarrow {dr}} = \int_{c_2} {\overright tarrow {f}。博士\ overrightarrow {}}gydF4y2B一个$它仅仅说明了所做的功是不变的不管你走的是什么路径只要你的起点和终点是相同的。gydF4y2B一个

方法2:gydF4y2B一个现在，利用上面的理论，如果路径的起点和终点是一样的，所做的功应该是gydF4y2B一个0gydF4y2B一个．如果是，这个力是保守力，如果不是，它是非保守力。gydF4y2B一个 $\displaystyle \oint_{\color{#D61F06}{\text{Any Closed Path}} {\overrightarrow {f}。\overrightarrow{dr}} = 0 \quad \forall \overrightarrow{f} \in \color{#3D99F6}{\text{Conservative Fields}}gydF4y2B一个$

2比1的优势:gydF4y2B一个我们不能肯定gydF4y2B一个1gydF4y2B一个那gydF4y2B一个 $f \ overrightarrow {}gydF4y2B一个$即使遵循了它，还是保守吗gydF4y2B一个1gydF4y2B一个因为我们所选择的路径或点在符合条件时可能是一种特殊情况。gydF4y2B一个

方法3:gydF4y2B一个

如果gydF4y2B一个 $f \ overrightarrow {}gydF4y2B一个$可以表示为gydF4y2B一个 $\overrightarrow{f} = \nabla f \text{where f is a} \color{#D61F06}{\text{Scalar}}gydF4y2B一个$然后gydF4y2B一个 $f \ overrightarrow {}gydF4y2B一个$是一个gydF4y2B一个保守的gydF4y2B一个力。gydF4y2B一个

让gydF4y2B一个 $mathbf f=M\mathbf i + N\mathbf j + P\mathbf kgydF4y2B一个$．现在，假设我们有我们有gydF4y2B一个 $2gydF4y2B一个$点在空间gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$,如果gydF4y2B一个 $\ overrightarrow fgydF4y2B一个$为梯度场;gydF4y2B一个

$if (B) - f (A) = f (B) - f (A)gydF4y2B一个$

假设这条路径是一条平滑的曲线gydF4y2B一个 $CgydF4y2B一个$，假设我们有一个点gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$与协调gydF4y2B一个 $(从,y, z)gydF4y2B一个$附近gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$与协调gydF4y2B一个 $(x, y, z)gydF4y2B一个$，由线段连接gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$．同时，让我们说说路径gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$是另一个曲线gydF4y2B一个 $C_0gydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

如果我们要从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$要做到这一点，我们必须从gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$然后从gydF4y2B一个 $B_0gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$，或者简而言之，我们必须走下去gydF4y2B一个 $C_0gydF4y2B一个$然后gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$．因此,gydF4y2B一个

$F(x,y,z) = \int_{C_0} \右转F \cdot dr + \int_{L} \右转F \cdot drgydF4y2B一个$

对这个求导，我们得到:gydF4y2B一个

$f (x,y,z) = {frac{partial f}{partial x}\int_{C_0} \overrightarrow f\cdot dr + {frac{partial f}{partial x}\int_{L} \overrightarrow f\cdot drgydF4y2B一个$

因为，这是第二项gydF4y2B一个 $xgydF4y2B一个$，我们到达:gydF4y2B一个

$F(x,y,z) = {frac{partial F}{partial x}\int_{L} \overrightarrow F \cdot drgydF4y2B一个$

我们可以参数化路径gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$作为gydF4y2B一个 $\mathbf r(t) = t \mathbf I + y\mathbf j + z\mathbf kgydF4y2B一个$其中的价值gydF4y2B一个 $tgydF4y2B一个$是:gydF4y2B一个 $x0 \leq t \leq xgydF4y2B一个$．因此我们有,gydF4y2B一个 $D \mathbf r/dt = mathbf IgydF4y2B一个$；gydF4y2B一个 $mathbf f cdot d, mathbf r/dt = MgydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $当M(t,y,z)的导数为0时，我们就可以得到gydF4y2B一个$，代入上式积分得到:gydF4y2B一个

$\压裂{\部分}{x} \部分F (x, y, z) = \压裂{\部分F} {x} \部分\ int_ {x_0} ^ x M (t, y, z) dt = M (x, y, z)gydF4y2B一个$

我们可以对其他两个偏导数做同样的处理gydF4y2B一个 $偏f/偏z =PzgydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $偏f/偏y = NgydF4y2B一个$结论:gydF4y2B一个 $\mathbf F = \nabla FgydF4y2B一个$

下面是另一种证明方法:gydF4y2B一个点击这里gydF4y2B一个．gydF4y2B一个

让我们考虑动能gydF4y2B一个 $F = \压裂{1}{2}m \点{r} \ cdot \导{r}gydF4y2B一个$,位置gydF4y2B一个 $rgydF4y2B一个$是受网络第二定律支配的。准确地说,gydF4y2B一个 $F (r \点{r}) = \点p {}gydF4y2B一个$．摩擦力取决于gydF4y2B一个 $r \点{}gydF4y2B一个$和gydF4y2B一个 $p = m \导{r}gydF4y2B一个$为粒子的动量。gydF4y2B一个

如果质量不变，动能就会改变gydF4y2B一个 $\压裂{dT} {dT} = \ p {} \ cdot \点{r} = F \ cdot \点{r}gydF4y2B一个$如果粒子从某个位置移动gydF4y2B一个 $r_1gydF4y2B一个$在时间gydF4y2B一个 $t_1gydF4y2B一个$定位gydF4y2B一个 $r_2gydF4y2B一个$在时间gydF4y2B一个 $t_2gydF4y2B一个$那么动能的变化是gydF4y2B一个 $T (t_2) - T (t_1) = \ int_ {t_1} {t_2} \压裂{dT} {dT} \ cdot dT = \ int_ {r_1} {r_2} F \ cdot博士gydF4y2B一个$

守恒力只与位置有关gydF4y2B一个 $rgydF4y2B一个$，而不是速度gydF4y2B一个 $r \点{}gydF4y2B一个$．所做的功与路径无关。对于闭合路径，它会消失gydF4y2B一个 $int F cdot r意味着nabla乘以F=0gydF4y2B一个$许多粒子的总动能可以写成gydF4y2B一个 $T = \压裂{1}{2}M \ cdot {R} + \压裂{1}{2}\ sum_i m_i \点{R ^ 2}gydF4y2B一个$，它将动能分解为具有内能的中心动能，系统围绕质心运动。对于单个粒子，总动能的变化gydF4y2B一个 $T (t_2) - T (t_1) = \ sum_i \ int F_i ^ {ext} \ cdot dr_i + \ sum_ f {ij} {i \ neq j} \ cdot dr_igydF4y2B一个$

外部保守力量:gydF4y2B一个 $F_i ^ {ext} = - \ nabla_i V_i (r_1, \ cdots r_N)gydF4y2B一个$内部保守力:gydF4y2B一个 $f {ij} = - \微分算符V_ {ij} (r_1, \ cdots r_N)gydF4y2B一个$在这里gydF4y2B一个 $\ nabla_ {ij} \枚\压裂{\部分}{\部分r_i}gydF4y2B一个$根据牛顿第三定律gydF4y2B一个 $f {ij} = f{他}gydF4y2B一个$在一起，这个平行gydF4y2B一个 $r_i-r_jgydF4y2B一个$．这个定律对万有引力和库仑力都成立。质量中心gydF4y2B一个 $R= M =1 ^N m_i x_igydF4y2B一个$

运动粒子的引力，运动粒子的质量gydF4y2B一个 $米gydF4y2B一个$经验领域gydF4y2B一个 $F =通用\ sum_i \压裂{M_i} {| r-r_i |} (r-r_i)gydF4y2B一个$．如果我们用质量固定粒子gydF4y2B一个 $M_igydF4y2B一个$在位置gydF4y2B一个 $r_igydF4y2B一个$．gydF4y2B一个

1. Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu, U。gydF4y2B一个势能gydF4y2B一个．从检索gydF4y2B一个http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pegrav.html#cfogydF4y2B一个
2. 小乔治·b·托马斯，美国gydF4y2B一个托马斯微积分gydF4y2B一个．皮尔森:印度次大陆适应2014。gydF4y2B一个
3. 图片来自维基百科的知识共享属性下的重用和修改，美国。gydF4y2B一个Wikipedia.orggydF4y2B一个．从检索gydF4y2B一个https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Conservative_Force_Gravity_Example.svg#mw-jump-to-licensegydF4y2B一个
4. 小乔治·b·托马斯，美国gydF4y2B一个托马斯微积分gydF4y2B一个．皮尔森:印度次大陆适应2014。gydF4y2B一个