胡克定律gydF4y2Ba

弹簧的恢复力与将物体向下拉的重力相反[2]。gydF4y2Ba

胡克定律gydF4y2Ba是一个经验物理定律，描述弹簧施加的恢复力与弹簧从平衡长度位移的距离之间的线性关系。一个符合胡克定律的弹簧gydF4y2Ba胡克gydF4y2Ba．除了弹簧，胡克定律通常也是任意物理系统的一个很好的模型，这些物理系统在扰动后有很快回到平衡状态的趋势。gydF4y2Ba

如果胡克弹簧因某种位移而压缩或伸长gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在平衡状态下，弹簧将向相反方向施加与位移成正比的力:gydF4y2Ba

$F = kx。gydF4y2Ba$

的比例常数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$,被称为gydF4y2Ba弹簧常数gydF4y2Ba，是依赖的gydF4y2Ba刚度gydF4y2Ba而这又取决于它的形状和制成弹簧的材料。gydF4y2Ba

怎样用胡克定律来确定一个物体的质量呢?gydF4y2Ba

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给定弹簧常数的胡克弹簧gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$把弹簧的一端固定在天花板上，另一端固定在物体上。在平衡状态下，弹簧力将与物体上向下的重力平衡，这样就可以计算出物体的质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$从位移gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$的春天。gydF4y2Ba

重力施加一个力gydF4y2Ba $F_g =毫克gydF4y2Ba$向下正比于质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$与弹簧力完全匹配的物体gydF4y2Ba $f = kxgydF4y2Ba$在平衡中，负号表示弹簧力作用于相反的方向。质量是通过使这些力相等得到的:gydF4y2Ba

$g m = \压裂{kx}{}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

胡克定律的线性关系经验地只适用于小位移gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．对于大变形，弹簧或其他胡克材料可以永久变形并表现出非线性恢复力。gydF4y2Ba

在一维中，弹簧的势能可以由胡克定律通过积分得到:gydF4y2Ba

$U = - int F,dx = = int kx,dx = = frac12 kx^2。gydF4y2Ba$

如果弹簧被压缩或拉伸，然后松开，它将振荡(如果忽略摩擦力，它将无限期振荡;否则，弹簧将最终恢复平衡)。质量的振荡gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$可以直接从弹簧上推导出来gydF4y2Ba牛顿第二定律gydF4y2Ba的运动,gydF4y2Ba $F = magydF4y2Ba$．因为加速度是速度的二阶导数，所以力等于弹簧力gydF4y2Ba $F = kxgydF4y2Ba$收益率gydF4y2Ba

$m\ddot{x} = ma = F = -kx。gydF4y2Ba$

所以弹簧上的质量运动方程是gydF4y2Ba

${k}{m} x = 0，gydF4y2Ba$

点表示时间导数。的系数gydF4y2Ba $\压裂{k} {m}gydF4y2Ba$通常表示为gydF4y2Ba $\ omega_0 ^ 2gydF4y2Ba$的平方gydF4y2Ba固有频率gydF4y2Ba弹簧的振荡。这是因为这个运动方程的通解是gydF4y2Ba

$x(t) = A cos (0t) + B sin (0t)gydF4y2Ba$

对于一些常量gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$取决于初始条件。gydF4y2Ba

上面的运动方程常被称为运动方程gydF4y2Ba简单谐振子gydF4y2Ba，而遵循与上述类似的运动方程的系统则被称为“显示”gydF4y2Ba简谐运动gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$悬浮在两个弹簧的弹簧常数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一个质量gydF4y2Ba $米,gydF4y2Ba$由两个弹簧各悬着一个弹簧常数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$如图所示，位移向上压缩gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$从弹簧的平衡长度，并允许在重力的影响下下降。求后续位移作为时间的函数。gydF4y2Ba

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质量服从简谐振子的运动方程其中系数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$取而代之的是gydF4y2Ba $2 kgydF4y2Ba$因为有两个弹簧力直接作用在物体上。位移gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$因此服从方程gydF4y2Ba

$x (t) = A \因为\左\√{\压裂{2 k} {m}} t \右)+ B \罪\左\√{\压裂{2 k} {m}} t \右)gydF4y2Ba$

为常量gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$由初始条件确定。这些初始条件是gydF4y2Ba

$x(0) = L， \四\点{x}(0) = 0。gydF4y2Ba$

代入上面的通解，这些初始条件就产生了gydF4y2Ba

$x (0) = = L \四\点{x} (0) = B \√6{\压裂{2 k} {m}} = 0 \意味着B = 0。gydF4y2Ba$

因此，解决方案是唯一固定的gydF4y2Ba

$x(t) = L\cos \left(sqrt{\frac{2k}{m}}t \right)。\ _ \广场gydF4y2Ba$

说明一个电路gydF4y2Ba电感器gydF4y2Ba和gydF4y2Ba电容器gydF4y2Ba,被称为gydF4y2BaLC电路gydF4y2Ba，服从简谐振子方程。gydF4y2Ba

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根据gydF4y2Ba基尔霍夫定律gydF4y2Ba，则闭环周围的电压总和必须为零。通过电容器的电压为gydF4y2Ba $V_c = Q / C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$为电容和gydF4y2Ba $问gydF4y2Ba$是储存在电容器上的电荷。电感两端的电压为gydF4y2Ba $V = L \压裂{dI} {dt},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$电路中的电流是多少gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$是电感。由于目前的gydF4y2Ba $I = \压裂{dQ} {dt}gydF4y2Ba$是电容器上电荷的时间变化率，基尔霍夫循环规则降为gydF4y2Ba

$0 = - L \压裂{dI} {dt} - \压裂{Q} {C} \意味着L \ ddot {Q} + \压裂{1}{C} Q = 0。gydF4y2Ba$

这是简谐振子方程其中电感gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$起着质量和电容的逆作用gydF4y2Ba $C \压裂{1}{}gydF4y2Ba$起着弹簧常数的作用。随着电容上储存电荷的增加，线性电压响应类似于胡克定律，电流通过电路的变化率类似于加速度。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

上面运动方程的解，用余弦和正弦表示，将会永远振荡下去。然而，实振子最终会回到稳定的平衡状态。这是因为实振子有感觉gydF4y2Ba阻尼力gydF4y2Ba从系统中移除能量。gydF4y2Ba

几乎任何具有稳定平衡态的物理系统，当它稍稍偏离平衡态时，都能很好地用胡克定律来描述。要知道为什么，考虑一下是有用的gydF4y2Ba势能图gydF4y2Ba，它以图形的方式显示系统在不同状态下的势能。gydF4y2Ba

蓝色部分是物理系统的势能图。红色的是谐振子关于稳定平衡点的势能近似。gydF4y2Ba

上面的图用蓝色表示势能gydF4y2Ba $U (x)gydF4y2Ba$某些系统的位置函数gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．在这个系统中，一个总能量足够低的状态将没有足够的动能来逃脱，在最小值附近的势阱gydF4y2Ba $U (x)gydF4y2Ba$．最低gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $U (x)gydF4y2Ba$因此是平衡态。此外,它是gydF4y2Ba稳定的gydF4y2Ba:表示系统启动时间gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$当它受到轻微的扰动时，它会倾向于发挥一种恢复力量gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

作为一个结果,gydF4y2Ba泰勒扩张gydF4y2Ba关于最小产率的势能gydF4y2Ba

$U(x)约等于U(x_0) +左。\ frac12 (x-x_0) ^ 2 \压裂{d ^ 2 U} {dx ^ 2} \ | _ {x = x_0}。gydF4y2Ba$

第一项,gydF4y2Ba $U(从)gydF4y2Ba$，就是一个恒定的能量转移。二次项是描述如何处理的最低阶项gydF4y2Ba $UgydF4y2Ba$变化与gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．这个二次电势与弹簧电势的形式完全匹配gydF4y2Ba $U_s = \frac12 kx^2gydF4y2Ba$．因此，在平衡点附近gydF4y2Ba $从gydF4y2Ba$在美国，物理系统的行为可以很好地用简谐运动来近似，即一个服从胡克定律的力。上面，电势在其最小值处的二次近似用红色标出。gydF4y2Ba

对于具有多个相互作用质量的系统，定义质量是有用的gydF4y2Ba降低质量gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba

$\压裂{1}{\μ}= \压裂{1}{1}+ \压裂{1}{m_2} + \ cdots。gydF4y2Ba$

振荡频率gydF4y2Ba $\ omega_0gydF4y2Ba$势能的最小值，与胡克弹簧类似，gydF4y2Ba

$0^2 =√{frac{1}{mu} left。\压裂{d ^ 2 U} {dx ^ 2} \ | _ {x = x_0}}。gydF4y2Ba$

的gydF4y2BaLennard-Jones 6、12的潜力gydF4y2Ba用来模拟两个中性原子之间的相互作用。蕴含着诱人的潜力gydF4y2Ba $r ^ \压裂{1}{6}gydF4y2Ba$术语的gydF4y2Ba范德瓦尔斯相互作用gydF4y2Ba和排斥gydF4y2Ba $r ^ \压裂{1}{{12}}gydF4y2Ba$模型交换力的项gydF4y2Ba泡利不相容原理gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

$U = \ε\左\[左(\压裂{r_m} {r} \右)^{12}- 2 \离开(\压裂{r_m} {r} \右)^ 6 \对吧),gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\εgydF4y2Ba$控制潜在井的深度gydF4y2Ba $r_mgydF4y2Ba$为势井的最小值。求两个有质量的原子关于平衡的振荡频率gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$它们的相互作用是由这个势来模拟的。gydF4y2Ba

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泰勒展开gydF4y2Ba $U (r)gydF4y2Ba$关于gydF4y2Ba $r_mgydF4y2Ba$二阶是gydF4y2Ba

$U (r) \大约- \ε+ 36 \压裂{\ε}{r_m ^ 2} (r-r_m) ^ 2。gydF4y2Ba$

系统的约简质量是gydF4y2Ba $\μ= \压裂{m} {2}gydF4y2Ba$．因此，关于平衡的振荡频率为gydF4y2Ba

$大概{\ omega_0 ^ 2 = \ \压裂{2}{72}\压裂{\ε}{r_m ^ 2}} = \压裂{12}{r_m} \√6{\压裂{\ε}{m}}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

D. Klepper和R. Kolenkow，gydF4y2Ba机械学简介gydF4y2Ba．麦格劳-希尔,1973年。gydF4y2Ba

[2]图片来自https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Mass-spring-system.png，在知识共享许可下重用和修改。gydF4y2Ba