能量守恒GydF4y2Ba

物理学中一些伟大的工具是所谓的“守恒定律”，它支持运动定律的某些物理量，在整个时间内保持不变。在这些伟大的法律中有GydF4y2Ba能量守恒GydF4y2Ba这表明，虽然能量可以改变形式，但它不能被创造或毁灭。在这里，我们将探讨动能和势能的相互转换，功和能之间的关系，以及在我们的计算中能量如何在某种意义上取代力。GydF4y2Ba

对于骑自行车的人来说，他们的动能GydF4y2Ba $EGydF4y2Ba$等于从他们拉刹车的那一刻到他们停下来的那一刻所散发的热量。如果他们不打滑，大部分的热量将进入加热的刹车片和金属轮辋的车轮。如果它们打滑，大部分的热量会流到轮胎的橡胶和路面上。在他们拉刹车之前，这种能量被观察为自行车各部分的持续运动，即自行车的净向前运动和车轮的旋转。GydF4y2Ba

粒子还有其他形式的能量，比如重力势能，化学势能，电势能，等等，但动能是物体能量的一部分，它明显是由于它的持续运动。对于一个有质量的点粒子GydF4y2Ba $δm \GydF4y2Ba$，以速度移动GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$，动能由公式给出GydF4y2Ba $\frac12\delta mv^2GydF4y2Ba$，任何延伸物体的动能都可以由此建立起来。如果一个移动物体与另一个物体碰撞，并且没有耗散（没有热量释放，没有化学键重新排列，等等），那么碰撞后物体的总动能必须等于碰撞前移动物体的动能。GydF4y2Ba

在GydF4y2Ba沿斜面运动GydF4y2Ba，我们观察到，当一个物体由于重力而沿平面向下加速时，沿平面的重力的乘积，乘以移动的距离，等于这个量GydF4y2Ba $\frac12 mv\u f^2-\frac12 mv\u i^2GydF4y2Ba$．事实上，这个量是物体在加速过程中所得到的动能，数学形式是点粒子动能的一般表达式。GydF4y2Ba

平动动能GydF4y2Ba为物体运动轨迹产生的动能。根据粒子的质量和速度，平动动能为GydF4y2Ba $vec {v} \ frac12 m \ ^ 2GydF4y2Ba$．在动量方面GydF4y2Ba $vec {p} = m \ \ vec {v}GydF4y2Ba$，动能是GydF4y2Ba $vec {p} \ displaystyle \压裂{\ ^ 2}{2 m}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

旋转动能GydF4y2Ba是与物体围绕其质心旋转相关的动能：GydF4y2Ba $KE_\text{rotation} = rfrac 1 2 I \ ω ^2，GydF4y2Ba$哪里GydF4y2Ba $我GydF4y2Ba$为转动物体的转动惯量。点粒子不可能有旋转动能。GydF4y2Ba

设计航天飞机的工程师必须考虑的一件事是航天飞机进入地球大气层时的减速。航天飞机的轨道速度大约是GydF4y2Ba $8 \文本{km / s},GydF4y2Ba$然而当它最终停在机库时，它是静止的。现在，如果轨道器的重量是GydF4y2Ba $70000年{公斤}\文本,GydF4y2Ba$轨道器在减速过程中释放了多少能量？GydF4y2Ba

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航天飞机在轨道上的平动动能等于GydF4y2Ba $\begin{aligned}\textrm{KE}_\textrm{orbiter} &= \frac12 m_\textrm{orbiter}v_\textrm{orbiter}^2 \\ &= \frac12 \times 7\times10^4\textrm{kg}\ times left(8\times 10^3\textrm{m/s}\right)^2 \\ &= 2.2\times10^9\textrm{kJ}，\end{aligned}GydF4y2Ba$这是相当多的。当它减速时，这种能量会进入很多东西，比如把大气中的气体推开，形成冲击波，甚至是着陆时的轮胎和地面。然而，绝大多数的能量都在飞行路径前面的激波形成过程中丢失了。冲击波中的物质由于高压而变得非常热，其中一些热量会加热轨道飞行器。GydF4y2Ba

相比之下，航天飞机的轨道能量大约相当于一天内照射到整个亚利桑那州的所有阳光所能获得的能量，大约是广岛原子弹释放能量的三十分之一。GydF4y2Ba

在轨道飞行器降落地球时保持凉爽是保证机组人员安全的一个重要问题。GydF4y2Ba

上GydF4y2Ba沿斜面的运动页面GydF4y2Ba我们指出了物体在重力作用下沿斜面向下移动的距离与物体末端的速度之间的关系。因为这是一个非常有利可图的例子，我们回到计算上来。GydF4y2Ba

这是一个开放思想的巧合GydF4y2Ba

在恒定加速度下，物体会移动一段距离GydF4y2Ba $DGydF4y2Ba$当时GydF4y2Ba $大概{t = \ \压裂{2 d}{一}}GydF4y2Ba$. 对于斜面上的滑雪者，此时间由GydF4y2Ba $大概{\ \压裂{2 d} {g \罪\θ}}GydF4y2Ba$．从坡道顶端的休息开始，滑雪者有速度GydF4y2Ba $V = at = g\sin\ sqrt{\frac{2d}{g\sin\}} = sqrt{2dg\sin\}GydF4y2Ba$在斜坡的底部。GydF4y2Ba

考虑动能GydF4y2Ba $\ frac12 mv ^ 2GydF4y2Ba$. 在斜坡顶部，这个量等于零，在斜坡底部，这个量等于GydF4y2Ba $dmg \罪\θGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

现在，考虑另一个量GydF4y2Ba $F \ cdot年代GydF4y2Ba$,在那里GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$重力是沿斜面的吗GydF4y2Ba $sGydF4y2Ba$是沿斜坡向下行驶的距离。具有GydF4y2Ba $F =毫克\罪\θGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $s = dGydF4y2Ba$,我们发现GydF4y2Ba $F cdot s = dmg sinGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

这是奇怪的。在斜坡下降的过程中，滑雪者获得的动能等于作用在粒子上的力和粒子移动的距离的乘积。人们可能会假设作用于某一距离的力赋予物体动能。GydF4y2Ba

从数学上讲，GydF4y2Ba

$\vec{F}\cdot\vec{d} = \Delta \textrm{KE} = \frac12mv_f^2-\frac12mv_i^2。GydF4y2Ba$

这表明，滑雪者受到重力的累积拉力产生了粒子的动能。这种关系在一般情况下是非常有用的，但到目前为止，这只是我们在计算中注意到的一个很好的巧合。接下来，我们来看看牛顿定律，寻找一种将其建立在坚实基础上的方法。GydF4y2Ba

牛顿定律：工作的基础GydF4y2Ba

根据第二定律，速度变化与合力之间有以下关系(为了简单起见，我们在一维中计算，尽管结果很容易推广)GydF4y2Ba

$\begin{aligned}F\utextrm{net}&=ma\\&=m\frac{\Delta v}{\Delta t}\end{aligned}GydF4y2Ba$

重新安排,我们GydF4y2Ba

$\begin{aligned}F\uxtrm{net}\Delta t&=m\Delta v\\&=\Delta p\end{aligned}GydF4y2Ba$

因为GydF4y2Ba $x = v tGydF4y2Ba$，我们可以写GydF4y2Ba $x / v = m \ vGydF4y2Ba$或GydF4y2Ba

${F_\textrm{net} \Delta x = m v\Delta v}。GydF4y2Ba$

这个关系表明，如果物体以速度运动GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$它被推过一小段距离GydF4y2Ba $\δxGydF4y2Ba$与力平行GydF4y2Ba $F\uTextRM{net}GydF4y2Ba$，它将提高附加速度GydF4y2Ba $Delta v = frac{F_\textrm{net}\Delta x}{mv}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

在三维空间中，我们的结果是GydF4y2Ba $\vec{F}\uxtrm{net}\cdot\Delta\vec{x}=m\vec{v}\cdot\Delta\vec{v}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

这个关系为我们上面的猜想提供了基础，即力可以做功赋予粒子动能。现在我们将利用这个关系来证明功动能定理。GydF4y2Ba

Work-kinetic能量定理GydF4y2Ba

物体上的净力所做的功等于其动能的变化。GydF4y2Ba

如果我们把所有的增量推加起来GydF4y2Ba $F_uux\textrm{net}\Delta xGydF4y2Ba$粒子在一定距离内接收的GydF4y2Ba $DGydF4y2Ba$,我们得到GydF4y2Ba $函数x =函数x，函数x =函数x，函数x =函数x，函数x =函数xGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

然而，我们证明了这一点GydF4y2Ba $F_\textrm{net}\ x = vGydF4y2Ba$，所以我们也有GydF4y2Ba $函数f = m\ textrm{netGydF4y2Ba$，速度增量的总和。GydF4y2Ba

现在让我们来计算GydF4y2Ba $mv \δvGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

首先,当GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$是零,，GydF4y2Ba $mvGydF4y2Ba$是零;最后，它等于GydF4y2Ba $mv_fGydF4y2Ba$．如果我们把增长分成GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$小块的，速度增加GydF4y2Ba $\三角洲vGydF4y2Ba$都是由GydF4y2Ba $\压裂{1}{n} v_fGydF4y2Ba$，我们可以把它们从总和中取出，这样总和就变成GydF4y2Ba $\压裂{v_f} {n} \和vGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

现在，总数GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$从GydF4y2Ba $0GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $v_fGydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$同样大小的块很简单GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$乘以的平均值GydF4y2Ba $vGydF4y2Ba$超出范围：GydF4y2Ba $\ \和limits_ {v = 0} ^ {v_f} v = n \压裂{v_f} {2}GydF4y2Ba$

因此,GydF4y2Ba $\和mv \δvGydF4y2Ba$等于GydF4y2Ba $\ displaystyle \压裂{mv_f} {n} \ \ limits_总和{v = 0} ^ {v_f} \δv = \压裂{mv_f} {n} \压裂{v_f} {2} = \ frac12 mv_f ^ 2GydF4y2Ba$

我们有GydF4y2Ba $f \ textrm{净}d = \ frac12 mv_f ^ 2GydF4y2Ba$

这证明了如果我们作用于一个有质量的物体GydF4y2Ba $MGydF4y2Ba$，用力GydF4y2Ba $F\uTextRM{net}GydF4y2Ba$在一段距离内GydF4y2Ba $DGydF4y2Ba$最终得到动能GydF4y2Ba $\压裂12 mv_f^2GydF4y2Ba$，其中速度GydF4y2Ba $v_fGydF4y2Ba$是由GydF4y2Ba $f \ \√6 {2 textrm{净}d / m}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

因此，我们证明了作用在物体上的力通过一段距离将动能传递给了该物体，我们称这个量为，GydF4y2Ba $W_\textrm{net} = vec{F}\cdot \vec{d}GydF4y2Ba$,工作。在无摩擦系统中，功等于由力引起的动能变化:GydF4y2Ba $W_\textrm{net} = Delta \left(\frac12 mv^2\right)GydF4y2Ba$

这是另一种证明方法:GydF4y2Ba

我们知道GydF4y2Ba $W=\int\vec F\cdot d\vec s。GydF4y2Ba$自GydF4y2Ba $(1) (1) (2) (2) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4)GydF4y2Ba$由此可见,GydF4y2Ba $\从{{对齐的}开始开始{{{对齐的}开始{开始{开始{开始{开始{开始{开始{开始{开始}W{{{{{{开始{W{{{{{int \ int \ int \ int \门门门门券的一一一个警察{int \ \ \[[[[[[[[[[[[[[[[[[[3]基基基]民民民民民民民民民民民民民民]的一一一）的一一一一一）的[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[d]手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手手{KE}、\end{aligned}GydF4y2Ba$这证明了GydF4y2Ba $\Delta\textrm{KE}=W。GydF4y2Ba$

我们刚刚证明了合力可以对物体做功，增加它的动能。这种情况经常发生，例如，当蒸汽机推动拖船的桨时，或者当骑自行车的人转动曲柄加速时。有时候,我们现在想做的工作,这样我们可以花精力后,如很方便如果电能通过水流可以存储在一个大坝,直到客户想使用它,这是至关重要的喷气燃料的能源是没有公布,直到点燃的引擎。当功被积累时，储存的能量就被调用GydF4y2Ba势能GydF4y2Ba．GydF4y2Ba

从这个角度来看，势能是一种货币，可以用来购买过程(如将电梯拉到顶层)、转换(如将冰融化成水)和其他物理现象。当人们过着薪水对薪水的生活时，他们挣到的任何钱都被立即用于支付他们眼前的需要，他们能做的事情就非常有限。然而，当人们可以把每个月的工资存入一个储蓄账户时，新的可能性就向他们打开了，比如度假、买车、订阅BrilliantGydF4y2Ba $^ 2GydF4y2Ba$等。GydF4y2Ba

类似地，随着时间的推移，势能的积累，而不是立即将其转化为动能，使各种物理现象得以发生，否则这些现象是不可能发生的。一些例子包括火山爆发(累积压力的快速释放)、心跳(细胞间离子梯度的快速放松)和饥饿时的生存(从糖原化学键中释放能量，细胞用来储存多余的葡萄糖)。GydF4y2Ba

因此，我们可以假设功动能定理的推广，其中功可以导致运动（动能）或未来运动（势能）。GydF4y2Ba

功能定理GydF4y2Ba

对粒子所做的功(在没有摩擦的情况下)会产生动能和/或储存的势能。GydF4y2Ba $\Delta W=\Delta\textrm{K.E.}+\Delta\text{P.E.}GydF4y2Ba$

重力势能GydF4y2Ba

一部无质量的电梯可以把两名乘客从大楼的一层送到二十层。每层楼是GydF4y2Ba $d = 2GydF4y2Ba$米高，每个人都很重GydF4y2Ba $m_p=100GydF4y2Ba$公斤。网络对人们做了什么?它们的势能增加了多少?GydF4y2Ba

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重力的外力将乘客用力往下拉GydF4y2Ba $\向量{F}g=-2m_pg\hat{z}GydF4y2Ba$．为了以恒定的速度把他们提升到顶层，电梯用相等而相反的力把他们推上去GydF4y2Ba $\vec{F}e=-\vec{F}g=2m\u pg\hat{z}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

因此，当电梯运行时GydF4y2Ba $2次m\u p g\次19 dGydF4y2Ba$功J，重力执行GydF4y2Ba $-2乘以m_p g乘以19 dGydF4y2Ba$J。GydF4y2Ba

如果我们把整个宇宙看作是我们的系统，就不会对乘客做净功，因为来自电梯的力平衡了重力。然而，电梯对人们做了抵抗重力的功。我们的想法是,当内力停止代理(电梯停止支持自己的体重),地球的外部引力会工作的人们,使他们获得动能相等大小的工作带到二十楼的电梯。GydF4y2Ba

因此，如果我们限制我们的系统包括人和电梯，而不是地球，那么无论从什么意义上说，电梯确实好像在未来给了他们动能。这种储存的能量叫做势能。GydF4y2Ba

正如最后一个例子所示，我们可以将宇宙划分为我们感兴趣的系统GydF4y2Ba $\ Gamma_SGydF4y2Ba$，以及宇宙的其他部分GydF4y2Ba $\ Gamma_RGydF4y2Ba$，我们可以通过物体来识别功GydF4y2Ba $\ Gamma_SGydF4y2Ba$抵抗来自GydF4y2Ba $\ Gamma_RGydF4y2Ba$产生势能GydF4y2Ba $\ Gamma_SGydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

我们可以看到，势能的增加与乘客到达二十楼的方式无关，也就是说，无论他们是走上楼梯，被电梯提升，还是乘坐喷气式飞机飞到二十楼，他们最终仍然会得到相同数量的重力势能GydF4y2Ba $毫克\δhGydF4y2Ba$这些钱现在可以花了。此外，我们看到任何物体在高度GydF4y2Ba $\δhGydF4y2Ba$在地球上方，每单位重量有相同的势能。GydF4y2Ba

通过这种方式，我们可以设想地球上方的一系列水平面，物体可以在这些水平面之间移动。如果一个物体从一个较高的层次下降到一个较低的层次，它会消耗一些势能作为动能。同样地，为了达到一个水平，必须进行工作来购买额外的势能。在同一水平面内移动物体（以恒定速度），即横向移动而不改变我们离地面的高度，这可以在不消耗任何能量的情况下完成。GydF4y2Ba

一名跳伞者被直升机带到上图中的红圈。它们跳出（以零速度）并在穿过黄环之前不拉降落伞。如果GydF4y2Ba $h_0=4.25GydF4y2Ba$公里，他们拉滑道时的速度是多少？假设与大气没有摩擦。GydF4y2Ba

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在红色的环上，跳伞者的势能是GydF4y2Ba $3 mgh_0GydF4y2Ba$在黄环上等于GydF4y2Ba $mgh_0GydF4y2Ba$．因此，在飞行过程中，跳伞者的势能降低了GydF4y2Ba $2 mgh_0GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

如果我们考虑地球在我们的系统之外GydF4y2Ba $\ Gamma_SGydF4y2Ba$,我们有GydF4y2Ba $δ\ \ textrm{动向} = - \三角洲\ textrm{体育}GydF4y2Ba$因此GydF4y2Ba $\frac12 m v_f^2 = 2mgh_0GydF4y2Ba$,GydF4y2Ba

$\begin{aligned} v_f &= sqrt{4gh_0} \\ &= sqrt{4\times10\textrm{m/s}^2\times4.25\times10^3\textrm{m}} \\ & \大约408\textrm{m/s} \end{aligned}GydF4y2Ba$

如果我们认为地球在我们的系统内，我们有GydF4y2Ba $\δW=\δ\frac12 mv^2=Fd=mg\δhGydF4y2Ba$，回答同样的问题。因此，我们看到势能相当于一个记录跳伞者在重力场中的位置的簿记装置。无论我们是从跳伞者有势能的角度，还是从下落过程中地球对他起作用的角度，我们都会得到相同的答案。它通常是GydF4y2Ba很GydF4y2Ba从能量的角度来看工作更简单。GydF4y2Ba

注意，这个速度比人类在地球大气层中的终极速度要快得多，但这是一个人在没有大气层的情况下所能达到的速度。例如，菲利克斯·鲍姆加特纳从太空边缘跳伞时，最高速度达到了377.1米/秒。GydF4y2Ba