电势
已经有账户了?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/electric-potential/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
测试
有关……
你知道为什么有斜坡的时候水会流动吗?原因是两个地区的高度不同,这意味着在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/calculating-the-potential-energy-of-gravity-2/" class="wiki_link" title="势能"target="_blank">势能一个>,使水流动,使一种状态<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/equilibrium/">平衡一个>是获得。
但是什么是潜力呢?嗯,我们已经在我们的机械师维基上看到了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/evaluating-gravitational-potential-energy/" class="wiki_link" title="定义"target="_blank">定义一个>我们知道它是能量的一种形式。
<年代p一个n class="image-caption center">从电位较高的地区流向电位较低的地区的水<年代p一个n class="katex"> [1]年代p一个n>
但它在物理学中有许多不同的形式,本维基关注的是这个术语的电定义<年代trong>潜在的年代trong>和它的应用程序。由于势能是能量的一种形式,能量是一个标量,因此计算起来比计算力是一个矢量容易。电势的基本定义是点移动时所做的功<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/charges-wild/" class="wiki_link" title="负责"target="_blank">负责一个>在一个常数下从一点到另一点<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/field-lines-field-strength/" class="wiki_link" title="电场"target="_blank">电场一个>,我们发现公式是<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>=年代p一个n>W年代p一个n>/年代p一个n>问年代p一个n>.
gydF4y2B一个动机决定了:能量是一个标量,比坚持力更容易计算。
介绍
引力势年代trong>
让我们开始我们关于电势能的旅程,将它与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/evaluating-gravitational-potential-energy/" class="wiki_link" title="重力势能"target="_blank">重力势能一个>因为电势和重力势是密切相关的。根据牛顿平方反比定律
<年代p一个n class="katex-display"> F年代p一个n>g年代p一个n> =年代p一个n>−年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>G年代p一个n>米年代p一个n>米年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>.年代p一个n>
我们也知道,物体从一点升起时所获得的势能<年代p一个n class="katex"> h年代p一个n>一个年代p一个n>来<年代p一个n class="katex"> h年代p一个n>B年代p一个n>通过高度<年代p一个n class="katex"> Δ年代p一个n>h年代p一个n>等于把物体带到那一点所做的对抗重力的功:
<年代p一个n class="katex-display"> W年代p一个n>g年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>F年代p一个n>g年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>年代年代p一个n> =年代p一个n>−年代p一个n>∫年代p一个n>h年代p一个n>一个年代p一个n>h年代p一个n>B年代p一个n>米年代p一个n>g年代p一个n>⋅年代p一个n>d年代p一个n>h年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>米年代p一个n>g年代p一个n>Δ年代p一个n>h年代p一个n>.年代p一个n>
现在我们试着定义一个函数<年代trong>引力势的差异年代trong>两个点之间。但我们如何定义它呢?我们只要假设某一点的引力场是<年代p一个n class="katex"> 米年代p一个n>F年代p一个n>g年代p一个n>=年代p一个n>g年代p一个n>.然后
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>g年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∫年代p一个n>h年代p一个n>一个年代p一个n>h年代p一个n>B年代p一个n>米年代p一个n>F年代p一个n>g年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>年代年代p一个n> =年代p一个n>∫年代p一个n>h年代p一个n>一个年代p一个n>h年代p一个n>B年代p一个n>g年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>年代年代p一个n> .年代p一个n>
电势年代trong>
现在,让我们试着把引力势和我们关心的话题联系起来。如果你读过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/coulombs-law/" class="wiki_link" title="库仑定律"target="_blank">库仑定律一个>你可能会遇到这个方程它给出了两个电荷之间的力
<年代p一个n class="katex-display"> F年代p一个n>e年代p一个n> =年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>1年代p一个n>问年代p一个n>2年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>
我们也可以对电势定义相同的函数,然后求<年代trong>电势差年代trong>,在那里<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>e年代p一个n>电位差是定义从一点移动测试电荷所做的负功的函数吗<年代p一个n class="katex"> 一个年代p一个n>来<年代p一个n class="katex"> b年代p一个n>:
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>e年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>b年代p一个n>问年代p一个n>F年代p一个n>e年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> =年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>b年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> .年代p一个n>
我们以前定义过电势是电场使一个点电荷移动一定距离所做的功。我们也知道电场和功的定义是
<年代p一个n class="katex-display"> E年代p一个n> =年代p一个n>问年代p一个n>F年代p一个n> ,年代p一个n>W年代p一个n>=年代p一个n>F年代p一个n> ×年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> ⟹年代p一个n>V年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>b年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> =年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>b年代p一个n>问年代p一个n>F年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> =年代p一个n>问年代p一个n>W年代p一个n>.年代p一个n>
电势与电场的关系
电场和势之间有重要的关系。要理解这一点,请务必阅读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/charge-and-electric-fields/" class="wiki_link" title="电场"target="_blank">电场一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/electrostatics/" class="wiki_link" title="静电学"target="_blank">静电学一个>.
V年代p一个n>一个年代p一个n>−年代p一个n>V年代p一个n>b年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>b年代p一个n>E年代p一个n> .年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n>
如果电场<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n> 在各点已知时,可用上式计算任意两点之间的电位差。在某些情况下,我们可能需要求某一点的电势而不是电位差。在这种情况下,电势的计算方法是将一个单位正电荷从无穷远处带到给定点所做的功。
我们有
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>一个年代p一个n>−年代p一个n>V年代p一个n>∞年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>∞年代p一个n>E年代p一个n> .年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> .年代p一个n>
我们知道<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>∞年代p一个n>=年代p一个n>0年代p一个n>.所以这个方程可以写成
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>一个年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∫年代p一个n>∞年代p一个n>一个年代p一个n>E年代p一个n> .年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> .年代p一个n>
在某些情况下,这一点的势是已知的,我们需要求出这一点的电场。在这种情况下,我们有关系
E年代p一个n> =年代p一个n>−年代p一个n>∇年代p一个n> V年代p一个n>.年代p一个n>
这是阅读<年代p一个n class="katex"> ”年代p一个n>E年代p一个n> 的负梯度是多少<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>.年代p一个n>"年代p一个n>的数量<年代p一个n class="katex"> ∇年代p一个n> V年代p一个n>叫做势梯度。
保守字段可以写成<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gradient/" class="wiki_link" title="梯度"target="_blank">梯度一个>标量势的<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>作为
<年代p一个n class="katex-display"> E年代p一个n> =年代p一个n>∇年代p一个n>V年代p一个n>.年代p一个n>
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/electric-potential/" class="wiki_link" title="电场的标量势"target="_blank">电场的标量势一个>众所周知<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>=年代p一个n>r年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>.的梯度<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/spherical-geometry/" class="wiki_link" title="球坐标"target="_blank">球坐标一个>是<年代p一个n class="katex"> ∇年代p一个n>=年代p一个n>∂年代p一个n>r年代p一个n>∂年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>r年代p一个n>1年代p一个n>∂年代p一个n>θ年代p一个n>∂年代p一个n>θ年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>r年代p一个n>罪年代p一个n>θ年代p一个n>1年代p一个n>∂年代p一个n>φ年代p一个n>∂年代p一个n>φ年代p一个n>^年代p一个n>,所以
<年代p一个n class="katex-display"> ∇年代p一个n>V年代p一个n>=年代p一个n>∂年代p一个n>r年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>r年代p一个n>1年代p一个n>∂年代p一个n>θ年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>θ年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>r年代p一个n>罪年代p一个n>θ年代p一个n>1年代p一个n>∂年代p一个n>φ年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>φ年代p一个n>^年代p一个n>.年代p一个n>
评估每一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/partial-derivatives/" class="wiki_link" title="偏导数"target="_blank">偏导数一个>标量势方程,<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>=年代p一个n>r年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>:年代p一个n>
∂年代p一个n>r年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>∂年代p一个n>θ年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>∂年代p一个n>φ年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>=年代p一个n>0年代p一个n>=年代p一个n>0年代p一个n>.年代p一个n>
用这些偏导数和梯度的定义,只是<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>^年代p一个n>分量保留,因为其他分量包含等于0的偏导数:
<年代p一个n class="katex-display"> E年代p一个n> =年代p一个n>∂年代p一个n>r年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>r年代p一个n>1年代p一个n>∂年代p一个n>θ年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>θ年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>r年代p一个n>罪年代p一个n>θ年代p一个n>1年代p一个n>∂年代p一个n>φ年代p一个n>∂年代p一个n>V年代p一个n>φ年代p一个n>^年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>.年代p一个n>
注意:年代trong>负号是电场和标量势之间关系为的原因
下面的例子是势函数的应用:
在<年代p一个n class="katex"> x年代p一个n>y年代p一个n>-平面,即某一点的电势<年代p一个n class="katex"> (年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>)年代p一个n>是由关系给出的吗<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>(年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>x年代p一个n>2年代p一个n>y年代p一个n>3.年代p一个n>+年代p一个n>x年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>.求这一点的电场向量<年代p一个n class="katex"> (年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>.
gydF4y2Ba我们已知<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>(年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>x年代p一个n>2年代p一个n>y年代p一个n>3.年代p一个n>+年代p一个n>x年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>.使用的关系<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n> =年代p一个n>−年代p一个n>∇年代p一个n> V年代p一个n>,年代p一个n>
E年代p一个n> =年代p一个n>−年代p一个n>∂年代p一个n>x年代p一个n>∂年代p一个n>[年代p一个n>x年代p一个n>2年代p一个n>y年代p一个n>3.年代p一个n>+年代p一个n>x年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>]年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>∂年代p一个n>y年代p一个n>∂年代p一个n>[年代p一个n>x年代p一个n>2年代p一个n>y年代p一个n>3.年代p一个n>+年代p一个n>x年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>]年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>[年代p一个n>2年代p一个n>x年代p一个n>y年代p一个n>3.年代p一个n>+年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>]年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>[年代p一个n>3.年代p一个n>x年代p一个n>2年代p一个n>y年代p一个n>2年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>x年代p一个n>y年代p一个n>4年代p一个n>]年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>.年代p一个n>
用点<年代p一个n class="katex"> (年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>(年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>,年代p一个n>
E年代p一个n> ∣年代p一个n>∣年代p一个n>∣年代p一个n>E年代p一个n> ∣年代p一个n>∣年代p一个n>∣年代p一个n>⇒年代p一个n>E年代p一个n> =年代p一个n>−年代p一个n>[年代p一个n>2年代p一个n>⋅年代p一个n>2年代p一个n>⋅年代p一个n>(年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>3.年代p一个n>+年代p一个n>(年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>5年代p一个n>]年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>[年代p一个n>3.年代p一个n>⋅年代p一个n>(年代p一个n>2年代p一个n>)年代p一个n>2年代p一个n>⋅年代p一个n>(年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>2年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>⋅年代p一个n>(年代p一个n>2年代p一个n>)年代p一个n>⋅年代p一个n>(年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>4年代p一个n>]年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>5年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>2年代p一个n>2年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>=年代p一个n>2年代p一个n>5年代p一个n>+年代p一个n>4年代p一个n>8年代p一个n>4年代p一个n> =年代p一个n>5年代p一个n>0年代p一个n>9年代p一个n> =年代p一个n>5年代p一个n>0年代p一个n>9年代p一个n> r年代p一个n>^年代p一个n>,年代p一个n>
在哪里<年代p一个n class="katex">
r年代p一个n>^年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>5年代p一个n>0年代p一个n>9年代p一个n>
5年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>5年代p一个n>0年代p一个n>9年代p一个n>
2年代p一个n>2年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>.年代p一个n>
在三维空间中,某一点的电场为
<年代p一个n class="katex-display"> E年代p一个n> =年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>5年代p一个n>y年代p一个n>2年代p一个n>x年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>.年代p一个n>
如果<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>一个年代p一个n>和<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>b年代p一个n>这些点的电势是多少<年代p一个n class="katex"> 一个年代p一个n>=年代p一个n>(年代p一个n>1年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>和<年代p一个n class="katex"> B年代p一个n>=年代p一个n>(年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>2年代p一个n>)年代p一个n>,年代p一个n>分别找到<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>b年代p一个n>−年代p一个n>V年代p一个n>一个年代p一个n>已知这一点的势<年代p一个n class="katex"> (年代p一个n>0年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>,年代p一个n>0年代p一个n>)年代p一个n>是5伏。
gydF4y2Ba使用的关系<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>(年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>,年代p一个n>z年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> +年代p一个n>c年代p一个n>,年代p一个n>
V年代p一个n>(年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>,年代p一个n>z年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>[年代p一个n>y年代p一个n>5年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>−年代p一个n>5年代p一个n>y年代p一个n>2年代p一个n>x年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>]年代p一个n>⋅年代p一个n>[年代p一个n>d年代p一个n>x年代p一个n>我年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>d年代p一个n>y年代p一个n>j年代p一个n>^年代p一个n>+年代p一个n>d年代p一个n>z年代p一个n>k年代p一个n>^年代p一个n>]年代p一个n>+年代p一个n>c年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>[年代p一个n>5年代p一个n>y年代p一个n>d年代p一个n>x年代p一个n>−年代p一个n>5年代p一个n>y年代p一个n>2年代p一个n>x年代p一个n>d年代p一个n>y年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>d年代p一个n>z年代p一个n>]年代p一个n>+年代p一个n>c年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>[年代p一个n>5年代p一个n>y年代p一个n>2年代p一个n>y年代p一个n>d年代p一个n>x年代p一个n>−年代p一个n>x年代p一个n>d年代p一个n>y年代p一个n>]年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>z年代p一个n>+年代p一个n>c年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>[年代p一个n>5年代p一个n>d年代p一个n>y年代p一个n>x年代p一个n>]年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>z年代p一个n>+年代p一个n>c年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>⋅年代p一个n>y年代p一个n>x年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>z年代p一个n>+年代p一个n>c年代p一个n>(伏)年代p一个n>.年代p一个n>
考虑到<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>(年代p一个n>0年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>,年代p一个n>0年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>,<年代p一个n class="katex"> 5年代p一个n>=年代p一个n>0年代p一个n>+年代p一个n>0年代p一个n>+年代p一个n>c年代p一个n>⟹年代p一个n>c年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>,年代p一个n>
V年代p一个n>(年代p一个n>x年代p一个n>,年代p一个n>y年代p一个n>,年代p一个n>z年代p一个n>)年代p一个n>V年代p一个n>一个年代p一个n>V年代p一个n>b年代p一个n>V年代p一个n>b年代p一个n>−年代p一个n>V年代p一个n>一个年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>⋅年代p一个n>y年代p一个n>x年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>z年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>=年代p一个n>V年代p一个n>1年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>,年代p一个n>1年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>⋅年代p一个n>1年代p一个n>1年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>(年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>=年代p一个n>1年代p一个n>8年代p一个n>=年代p一个n>V年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>2年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>⋅年代p一个n>2年代p一个n>2年代p一个n>+年代p一个n>8年代p一个n>(年代p一个n>2年代p一个n>)年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>=年代p一个n>5年代p一个n>+年代p一个n>1年代p一个n>6年代p一个n>+年代p一个n>5年代p一个n>=年代p一个n>2年代p一个n>6年代p一个n>=年代p一个n>2年代p一个n>6年代p一个n>−年代p一个n>1年代p一个n>8年代p一个n>=年代p一个n>8年代p一个n>(伏)年代p一个n>.年代p一个n>
在不同条件下寻找电势
由点电荷引起的电势年代trong>
我们来计算任意点的势<年代trong>一个年代trong>位于…的距离<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>一个年代p一个n>点电荷<年代trong>问年代trong>.
gydF4y2B一个使用我们的关系<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>一个年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∫年代p一个n>∞年代p一个n>一个年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> ,年代p一个n>我们可以很容易地解出来。<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n> 对于一个点电荷是<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n> =年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>.代入方程<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>一个年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∫年代p一个n>∞年代p一个n>一个年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> ,年代p一个n>我们得到了
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>一个年代p一个n>=年代p一个n>r年代p一个n>一个年代p一个n>k年代p一个n>问年代p一个n>.年代p一个n>
两电荷间电位年代trong>
潜在的内部导体年代trong>
由偶极子引起的电位年代trong>
球面对称势
为了解决与本课题相关的问题,我们将使用牛顿的壳层定理。虽然它适用于引力场,我们也可以在这里应用它。
内外带电壳电势:年代trong>
对于球壳的势,即带有电荷的球形电荷配置<年代trong>统一年代trong>分布在身体表面,我们将考虑两种情况。第一种情况会讨论由于壳层在壳层内外的势能,而第二种情况会讨论壳层内的势能。
考虑一个有半径的球壳<年代p一个n class="katex"> R年代p一个n>,收费<年代p一个n class="katex"> 问年代p一个n>随电荷密度均匀分布于其表面<年代p一个n class="katex"> σ年代p一个n>.现在,根据壳层定理,整个电荷可以考虑在这个构型的中心,即点'<年代trong>O年代trong>”。所以,我们已经成功地将复杂的带电体转换成一个简单的构型<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/coulombs-law/" class="wiki_link" title="库仑定律"target="_blank">库仑定律一个>可以很容易地应用。
案例1:年代trong>所以,根据库仑定律,电场是由距离上的点电荷形成的<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>从它是给予<年代p一个n class="katex-display"> E年代p一个n> =年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>o年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>问年代p一个n>r年代p一个n>^年代p一个n>,年代p一个n>因此它的势能是<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>(年代p一个n>r年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>r年代p一个n> =年代p一个n>∫年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>问年代p一个n>2年代p一个n>d年代p一个n>r年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>−年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>问年代p一个n>.年代p一个n>既然壳层定理对我们的构型成立,这种情况下的电势也是由<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>(年代p一个n>r年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>r年代p一个n> =年代p一个n>∫年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>问年代p一个n>d年代p一个n>r年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>−年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>问年代p一个n>,年代p一个n>在哪里<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>将作为球的中心到要计算电势的点的距离。这个也可以写成<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>(年代p一个n>r年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>−年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>σ年代p一个n>(年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>R年代p一个n>2年代p一个n>)年代p一个n>=年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>−年代p一个n>1年代p一个n>r年代p一个n>σ年代p一个n>R年代p一个n>2年代p一个n>,年代p一个n>在哪里<年代p一个n class="katex"> σ年代p一个n>是壳层的电荷密度。
案例2:年代trong>对于第二种情况,我们将从证明一个小事实开始,它将带来一个著名的结果,即在一个球壳内有电场<年代trong>零年代trong>.考虑一个假设的半径壳内的球面面积<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>0年代p一个n>.既然这个假设的球体里面没有任何电荷,那么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gauss-law/" class="wiki_link" title="高斯定律"target="_blank">高斯定律一个>,我们可以很容易地说,电通量,因此电场由于这个面积=<年代p一个n class="katex"> 0年代p一个n>.这可以适用于壳内无限的假设区域,这给了我们最后的论证<年代trong>带电球壳内的电场= 0年代trong>."
<年代p一个n class="katex">
利用这个结果,由于壳内的电场是零,在任何一点由于外部电场的势是<年代p一个n class="katex"> ∫年代p一个n>E年代p一个n>⋅年代p一个n>d年代p一个n>r年代p一个n>,球壳内部的电势是一个常数,这个常数等于球壳表面的电势,也就是。<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>内部年代p一个n>=年代p一个n>V年代p一个n>表面年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ε年代p一个n>0年代p一个n>−年代p一个n>1年代p一个n>R年代p一个n>问年代p一个n>.年代p一个n>
带电球体内外电位:年代trong>
让我们试着把它分成<年代p一个n class="katex"> 3.年代p一个n>用例。首先,让我们计算球外的势;第二,让我们计算表面上的电位;最后,让我们计算球内的势。我们有一个有半径的球面<年代p一个n class="katex"> R年代p一个n>电荷密度一致<年代p一个n class="katex"> σ年代p一个n>携带电荷<年代p一个n class="katex"> 问年代p一个n>.
<年代p一个n class="image-caption center">带Q电荷的实心球的势能年代p一个n>
为了计算导体外任意点的电势,我们要算出<年代trong>潜在的差异年代trong>在任意两点之间<年代p一个n class="katex"> 一个年代p一个n>和<年代p一个n class="katex"> b年代p一个n>位于距离<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>一个年代p一个n>和<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>b年代p一个n> (年代p一个n>r年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个n>r年代p一个n>b年代p一个n>)年代p一个n>,年代p一个n>然后我们假设其中一个是无穷大。所以两点之间的电位差是
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>一个年代p一个n>−年代p一个n>V年代p一个n>b年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>一个年代p一个n>b年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> =年代p一个n>∫年代p一个n>r年代p一个n>一个年代p一个n>r年代p一个n>b年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>r年代p一个n>2年代p一个n>问年代p一个n>d年代p一个n>r年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>问年代p一个n>r年代p一个n>1年代p一个n>∣年代p一个n>∣年代p一个n>∣年代p一个n>∣年代p一个n>r年代p一个n>一个年代p一个n>r年代p一个n>b年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>问年代p一个n>(年代p一个n>r年代p一个n>一个年代p一个n>1年代p一个n>−年代p一个n>r年代p一个n>b年代p一个n>1年代p一个n>)年代p一个n>.年代p一个n>
现在,让我们假设<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>b年代p一个n>→年代p一个n>∞年代p一个n>,年代p一个n>然后<年代p一个n class="katex"> V年代p一个n>b年代p一个n>=年代p一个n>0年代p一个n>.因此导体外任何一点的电势是
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>外年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>问年代p一个n>r年代p一个n>一个年代p一个n>1年代p一个n>.年代p一个n>
现在,我们可以推导出第二种情况的公式,也就是球面上的势,通过代入<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>一个年代p一个n>=年代p一个n>R年代p一个n>,我们就会得到这个方程
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>表面年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>问年代p一个n>R年代p一个n>1年代p一个n>.年代p一个n>
最后,我们知道球体内部的电场是零因为电荷总是在表面聚集,所以<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n> =年代p一个n>0年代p一个n>因此,均匀带电的实心球体内部的电势是
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>任何时候在年代p一个n>−年代p一个n>V年代p一个n>表面年代p一个n>V年代p一个n>任何时候在年代p一个n>⇒年代p一个n>V年代p一个n>任何时候在年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>任何时候在年代p一个n>表面年代p一个n>E年代p一个n> ⋅年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n> =年代p一个n>0年代p一个n>=年代p一个n>V年代p一个n>表面年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>问年代p一个n>R年代p一个n>1年代p一个n>.年代p一个n>
上面的图表显示了带电球体内部或周围的电势作为的函数<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>它表示到球体中心的距离。如果球的半径是<年代p一个n class="katex"> R年代p一个n>0年代p一个n>,年代p一个n>下列哪个陈述是正确的?
一个)带电的球体带正电。
b)带电球内部的电场强度为零。
c)点的电场强度<年代p一个n class="katex">
r年代p一个n>=年代p一个n>2年代p一个n>R年代p一个n>0年代p一个n>是那个的两倍大吗<年代p一个n class="katex">
r年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>R年代p一个n>0年代p一个n>.年代p一个n>
应用程序
闪电:年代trong>
我们都见过闪电。它是天气不太好的时候,天空中的火花。但是相信我,它并不像看起来那么无聊!我们都知道,从先前讨论的主题,两个有电位差的物体总是会导致电荷从更高的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/electric-potential/" class="wiki_link" title="潜在的"target="_blank">潜在的一个>一个较低的区域。这就是闪电!
<年代p一个n class="image-caption center">
在暴风雨或潮湿的天气里,云层之间以及云层和地面之间的空气会部分消散<年代trong>电离年代trong>,即它允许<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/charge-and-electric-fields/" class="wiki_link" title="负责"target="_blank">负责一个>不像炎热天气里的中性空气。因此,这就造成了两个表面之间的电位差,进一步引起电荷的流动,从而以a的形式产生了电击<年代trong>曲折的年代trong>弹一个>.这种类型的突然放电发生的原因是两个物体都拥有非常多的电荷,因此它们变得非常不稳定,因此它们通过这个过程达到平衡。
<年代trong>现在,最基本的问题是,“为什么走之字形?”年代trong>
原因很简单。最小路径<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ohms-law/" class="wiki_link" title="电阻"target="_blank">电阻一个>是闪电中每一次冲锋的动机。此外,整个大气随湿度而变化,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/specific-heat/" class="wiki_link" title="温度"target="_blank">温度一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ideal-gas-law/" class="wiki_link" title="压力"target="_blank">压力一个>当我们沿着它移动时,什么不是呢?这导致了它的电阻的波动,因此它的路径永远不会是直的,相反,这是一个可能的数百万种可能的闪电浪潮!
电容器:年代trong>
读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/capacitors/" class="wiki_link" title="电容器"target="_blank">电容器一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/capacitors-series-parallel/" class="wiki_link" title="串联和并联电容器"target="_blank">串联和并联电容器一个>来了解它的公式。
基本上,电容器是储存电荷的仪器;它用一个简单的原理储存电荷。让我们看看电容器是如何工作的。一顶帽子(我们称之为帽子)里面只有两根金属棒;它们充当它的电荷存储。
gydF4y2Ba这些金属棒,当连接到电池的两个端子时,开始在端子上各自积累电荷,即连接正极的棒积累正电荷,连接负极的棒积累负电荷。这样就在两根电极之间产生了电位差,因此电极帽就充当了临时电池的角色。
<年代p一个n class="image-caption center">电容器内极板年代p一个n>
现在让我们制定一些有用的公式。假设我们有一个电容器,它有两个板的面积相等<年代p一个n class="katex"> 一个年代p一个n>每个盘子都储存了电荷<年代p一个n class="katex"> ±年代p一个n>问年代p一个n>电荷密度是均匀的<年代p一个n class="katex"> σ年代p一个n>.假设它们之间有距离<年代p一个n class="katex"> d年代p一个n>它们之间有介电常数<年代p一个n class="katex"> ϵ年代p一个n>0年代p一个n>.我们现在可以说板之间的电压是
<年代p一个n class="katex-display"> V年代p一个n>但年代p一个n>V年代p一个n>⇒年代p一个n>E年代p一个n>d年代p一个n>E年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>0年代p一个n>d年代p一个n>E年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n>=年代p一个n>∫年代p一个n>0年代p一个n>d年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>σ年代p一个n>d年代p一个n>l年代p一个n>=年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>一个年代p一个n>问年代p一个n>d年代p一个n>=年代p一个n>E年代p一个n>d年代p一个n>=年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>一个年代p一个n>问年代p一个n>d年代p一个n>=年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>一个年代p一个n>问年代p一个n>.年代p一个n>
现在,
<年代p一个n class="katex-display"> ϵ年代p一个n>0年代p一个n>一个年代p一个n>问年代p一个n>=年代p一个n>d年代p一个n>V年代p一个n>⟹年代p一个n>问年代p一个n>=年代p一个n>d年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>一个年代p一个n>V年代p一个n>⟹年代p一个n>问年代p一个n>=年代p一个n>C年代p一个n>V年代p一个n>.年代p一个n>
等电位面和屏蔽装置:年代trong>
你可以很容易地从等势面中看出我们要讨论的,等势面。
偶极子由两个点电荷组成<年代p一个n class="katex"> +年代p一个n>问年代p一个n>和<年代p一个n class="katex"> −年代p一个n>问年代p一个n>的距离<年代p一个n class="katex"> d年代p一个n>分开。把第一个电荷放在原点,第二个放在<年代p一个n class="katex"> r年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>d年代p一个n>.电势就是每个电荷的电势之和:
<年代p一个n class="katex-display"> ϕ年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>1年代p一个n>(年代p一个n>r年代p一个n>问年代p一个n>−年代p一个n>∣年代p一个n>r年代p一个n>+年代p一个n>d年代p一个n>∣年代p一个n>问年代p一个n>)年代p一个n>.年代p一个n>
更准确地说,电场就是两个点电荷产生的电场之和。电场不是球对称的。主要订单贡献由组合控制<年代p一个n class="katex"> p年代p一个n>=年代p一个n>问年代p一个n>d年代p一个n>.这种性质称为偶极电矩。它从负电荷指向正电荷。偶极子的电场<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∇年代p一个n>ϕ年代p一个n>=年代p一个n>4年代p一个n>π年代p一个n>ϵ年代p一个n>0年代p一个n>1年代p一个n>(年代p一个n>r年代p一个n>3.年代p一个n>3.年代p一个n>(年代p一个n>p年代p一个n>⋅年代p一个n>r年代p一个n> )年代p一个n>r年代p一个n> −年代p一个n>p年代p一个n>)年代p一个n>+年代p一个n>⋯年代p一个n>.正弦<年代p一个n class="katex"> ϕ年代p一个n>为常数,则导体表面必须是等电位。这意味着任何<年代p一个n class="katex"> E年代p一个n>=年代p一个n>−年代p一个n>∇年代p一个n>ϕ年代p一个n>垂直于曲面。电场的任何分量在表面的切线上都会使表面电荷移动。电场的符号取决于它在空间中的位置。力在某些部分是引力,在另一些部分是排斥力。
参考文献
[1] GIF来自http://gifloop.tumblr.com/post/15018621452通过giphy.com
[2]图片来自http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elepe.html Hyperphysics。
[3.]图片来自https://en.m.wikipedia.org/wiki/File:Lightnings
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[5]PDF文件https://www.math.ksu.edu/~dbski/writings/shell.pdf作为参考。
jgydF4y2Ba·d·杰克逊的经典电动力学。
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