经典的不平等

的经典的不平等是代数中广泛使用的一些广义不等式。它们通常用于确定函数的最小值和最大值。虽然最大值和最小值可以用微积分，经典不等式的应用往往是一种更简单的方法。

主要文章:AM-GM不平等

的AM-GM不平等叙述了算术平均值(上午)到几何平均数(通用)。AM-GM不等式通常用于竞争数学中寻找多变量函数或表达式的最大值或最小值。

给定非负实数\(a_1,a_2，\cdots,a_n，\)，这些数的几何平均值不能超过算术平均值，当且仅当所选数都相等时，它们相等。也就是说,

\[\压裂{a₁+ a₂+ \ cdots + an} {n} \通用电气\ sqrt [n] {a_1 a₂\ ldots an} \]

等价的当且仅当\(a_1=a_2=\cdots =a_n\)。

更准确地说,

\[\压裂{\ displaystyle \总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}}}{n} \通用电气\ sqrt [n] {\ prod _ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}}}。广场\ _ \ \]

如果\(x，\) \(y，\)和\(z\)是正实数，使得\(xyz=1，\)那么\(4xy^2+2x^2y+27z^3 ?\)的最小值是多少?

---

请注意，给定的方程包含变量的乘积，而最小化表达式是项的和。这些表达式可以通过AM-GM不等式联系起来:

\[\开始{对齐}\压裂{4 xy ^ 2 + 2 x ^ 2 y + 27 z ^ 3}{3} & \通用电气\ sqrt[3]{\离开(4 xy ^ 2 \) \左(右2 x ^ 2 y \) \ (z ^ 3 \ 27日左右 )} \\ \\ \ 压裂{4 xy ^ 2 + 2 x ^ 2 y + 27 z ^ 3}{3} & \通用电气\ sqrt [3] {216 x ^ 3 y z ^ 3 ^ 3} \ \ \ \ \压裂{4 xy ^ 2 + 2 x ^ 2 y + 27 z ^ 3}{3} & \通用6 xyz \ \ \ \ 4 xy ^ 2 + 2 x ^ 2 y + 27 z ^ 3 & \通用电气18。结束\{对齐}\]

因此，表达式的最小值是\(\boxed{18}.\)

此外，只有当

\ [4 xy ^ 2 = 2 x ^ 2 y = 27 z ^ 3。\]

解这个方程组给出\ (x = \ sqrt [3] {6}, \) \ (y = \压裂{\ sqrt[3]{6}}{2}, \)和\ (z = \压裂{\ sqrt[3]{6}}{3} \) \广场(_ \ \)

的加权AM-GM不等式是AM-GM不等式的推广。它把加权算术平均数和加权几何平均数联系起来。

对于非负数\(a_1，…，a_n \) and non-negative weights \( \omega_1,...,\omega_n, \)

\[\ \large\dfrac {\displaystyle\sum \omega_i a_i}\ geq \sqrt[\sum\omega_i]{\displaystyle\prod a_i ^ {\omega_i}}\]

等价的当且仅当\(a_1=a_2=\cdots =a_n.\)

假设\(x，\) \(y，\)和\(z)是正实数，使得\(x^3y^2z=108，\) \(x+y+z)的最小值是多少?

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注意，方程包含幂的乘积，最小化表达式包含线性项的和。该策略是为每个变量分配系数，以便这些表达式可以通过加权AM-GM不等式进行关联:

{对齐}\ \[\开始离开(\压裂{1}{3}x \右)^ 3 \离开(\压裂{1}{2}y \右)^ 2 z & = 108 \离开(\压裂{1}{3}\右)^ 3 \离开(\压裂{1}{2}\右)^ 2 \ \ & = 1。结束\{对齐}\]

现在这些表达式可以与加权AM-GM不等式联系起来:

\[开始\{对齐}\压裂{3 \离开(\压裂{1}{3}x \右)+ 2 \离开(\压裂{1}{2}x \右)+ 1 z}{3 + 2 + 1} & \通用电气\ sqrt(3 + 2 + 1){\离开(\压裂{1}{3}x \右)^ 3 \离开(\压裂{1}{2}y \右)^ 2 z } \\ \\ \ 压裂{x + y + z}{6} & \通用电气\ sqrt [6] {1} \ \ \ \ x + y + z & \通用6。结束\{对齐}\]

因此，\(x+y+z\)的最小值为\(\boxed{6}.\)

\[\压裂{1}{3}x = \压裂{1}{2}y = z。\]

解此方程组得到\(x=3，\) \(y=2，\)和\(z=1.\) \(_\square\)

主要文章:cauchy - schwarz不平等

的cauchy - schwarz不平等将平方和的乘积与乘积和的平方联系起来。像AM-GM不等式一样，Cauchy-Schwarz不等式通常用于竞争数学中寻找多变量函数或表达式的最小值或最大值。

给定实数\(a_1,a_2，\cdots,a_n\)和\(b_1,b_2，\cdots,b_n \)，我们有

左(\ \ [\ sum_ {i = 1} ^ ^ 2 \ n a_i右)\离开(\ sum_ {i = 1} ^ n b_i ^ 2 \) \通用电气\离开(\ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i \右)^ 2,\]

其中等式成立当且仅当\(\frac{a_i}{b_i}=k\)对于某个常数\(k\in\mathbb{R}^+\)，对于所有具有\(a_ib_i \neq 0 \)的\(1\le i\le n\)。\ \(_ \广场)

给定实数\(a，\) \(b，\)和\(c)使\(a^2+b^2+c^2=1，\) \(12a+4b+3c?\)的最大值是多少?

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请注意，给定的方程包含一个平方和，而最大化表达式是乘积的和。这些表达式可以通过Cauchy-Schwarz不等式联系起来:

\[开始\{对齐}\大(12 ^ 2 + 4 ^ 2 + 3 ^ 2 \大)、大(^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \大)& \通用电气(12 + 4 b + 3 c) ^ 2 \ \(169)(1) & \通用电气(12 + 4 b + 3 c) ^ -13 & \ \ \ \ \ \ Rightarrow le 12 + 4 b + 3 c \勒13。结束\{对齐}\]

因此，\(12a+4b+3c\)的最大值为\(\boxed{13}.\)

此外，只有当

\[\压裂{一}{12}= \压裂{b}{4} = \压裂c{}{3}。\]

解这个方程组给出\(= \压裂{12}{13},\)\ (b = \压裂{4}{13},\)和\ (c = \压裂{3}{13}。\)\广场(_ \ \)

主要文章:三角不等式

的三角不等式表示三角形的边长。

设\(a，\) \(b，\)和\(c)为三角形的边长，其中\(a\le b \le c.\)

\ [a + b > c。\]

7和11是三角形的边长。第三条边的长度间隔是多少?

---

设第三条边的长度为\(x.\)

案例1:第三条边是最长的边。
根据三角形不等式，

\[开始\{对齐}7 + 11 & > x 18 & > \ \ \{对齐}结束\]。

案例2:第三条边不是最长的边。
那么11一定是最长边的长度。根据三角形不等式，

\[\begin{align} 7+x &> 11 \\ x &> 4;结束\{对齐}\]

第三条边的长度间隔是\((4,18).\)\(_\square\)

在闭合区间上定义的凸函数和凹函数总是在区间的一个端点处(分别)有一个最大值或最小值。

给定一个在区间\([a,b]，\)上定义的凸连续函数\(f(x)\)

\ [f (x) \ le \马克斯\大f (f (a)、(b) \大)\文本所有}{x \ [a, b]。\]

这个凸函数的最大值是\(f(b)\)

类似地，给定一个凹连续函数\(f(x)\)定义在区间\([a,b]，\)上

\ [f (x) \通用电气\敏\大f (f (a)、(b) \大)\文本所有}{x \ [a, b]。\]

这个凹函数的最小值是\(f(a)\)

进一步推广了这些关系詹森不等式．

主要文章:权力平均不平等(QAGH)

的QM-AM-GM-HM不平等，有时被称为QAGH不平等，概括了不同类型均值之间的关系(二次平均，算术平均值，几何平均数,调和平均数)．它由AM-GM不等式和Cauchy-Schwarz不等式导出。

给定一列\(k \)正实数\(a_1， \ldots, a_k \)，设\(f_{\text{QM}} \)表示二次平均值，\(f_{\text{AM}} \)表示算术平均值，\(f_{\text{GM}} \)表示几何平均值，\(f_{\text{HM}} \)表示谐波平均值。然后

\ [f文本{QM}} {\ \ f{\文本{我}}\组的组f{\文本{通用}}\ f{\文本{HM}}组。\]

此外，当且仅当\(a_1 = \cdots = a_k。＼)

如果\(x，\) \(y，\)和\(z)是正实数，使得\(x^2+4y^2+9z^2=27，\)，那么\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{3z} ?\)

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注意，这个方程包含一个平方和，而要最小化的表达式包含一个倒数和。这些表达式可以分别写成二次均值和调和均值的形式。因此，它们可以通过QAGH不等式联系起来:

大概{\[\开始{对齐}\ \压裂{x ^ 2 + y ^ 2 4 + 9 z ^ 2}{3}} & \通用电气\压裂{3}{\压裂{1}{x} + \压裂{1}{2 y} + \压裂{1}{3 z}} \ \ 3 & \通用电气\压裂{3}{\压裂{1}{x} + \压裂{1}{2 y} + \压裂{1}{3 z}} \ qquad &文本(\{注:表达式在分母上是积极的。})\ \ \压裂{1}{x} + \压裂{1}{2 y} + \压裂{1}{3 z} & \通用电气1。结束\{对齐}\]

的最小值\ \压裂{1}({x} + \压裂{1}{2 y} + \压裂{1}{3 z} \) \是(\盒装{1}\)。

此外，只有当

\ [x = 2 y = 3 z。\]

解这个方程组给出\ (x = 3, \) \ (y = \压裂{3}{2},\)和\ (z = 1。\)\广场(_ \ \)

的权力意味着不平等推广幂和的根之间的关系。

对于正的\(a_1， \ldots, a_k， \)，其中\(f_n \)定义为

\ [fn = \ sqrt [n]{\压裂{a_1 ^ n + \ cdots + a_k ^ n} {k}}, \]

如果\(m > n， \

\[f_m \geq f_n， \]

等式成立当且仅当\(a_1 = \cdots = a_k。＼)

鉴于\ (x \)和\ (y \)是正实数,这样\ (x + \压裂{3}{x} + \压裂{1}{x ^ 2} + y ^ 2 + 3 y + \压裂{1}{y} = 48 \)的最大价值是什么\ (x ^ {2/3} + 2 x ^ {1/3} + x ^ {4/3} + y ^ {4/3} + 2 y ^ {1/3} + y ^ {2/3} ? \)

---

要最大化的表达式可能看起来令人生畏，但仔细观察会将其表示为平方和:

\ [x ^ {2/3} + 2 x ^ {1/3} + x ^ {4/3} + y ^ {4/3} + 2 y ^ {1/3} + y ^{2/3} = \离开(x ^ {1/3} + x ^{2/3} \右)^ 2 + \离开(y ^ {2/3} + y ^{1/3} \右)^ 2。\]

对这些二项式进行三次运算得到的表达式与给定方程中的表达式几乎相同:

{对齐}\ \[\开始离开(x ^ {1/3} + x ^{2/3} \右)^ 3 + \离开(y ^ {2/3} + y ^{1/3} \右)^ 3 & = x + 3 + \压裂{3}{x} + \压裂{1}{x ^ 2} + y y ^ 2 + 3 + 3 + \压裂{1}{y} \ \ & = 54。结束\{对齐}\]

平方和和和可以用幂均不等式联系起来:

\[开始\{对齐}\ sqrt[3]{\压裂{\离开(x ^ {1/3} + x ^{2/3} \右)^ 3 + \离开(y ^ {2/3} + y ^{1/3} \右)^ 3}{2}}& \通用电气\ sqrt{\压裂{\离开(x ^ {1/3} + x ^{2/3} \右)^ 2 + \离开(y ^ {2/3} + y ^{1/3} \右)^ 2}{2 }} \\ \\ \ √6[3]{\压裂{54}{2}}& \通用电气\√6{\压裂{x ^ {2/3} + 2 x ^ {1/3} + x ^ {4/3} + y ^ {4/3} + 2 y ^ {1/3} + y ^{2/3}}{2}} \ \ \ \ 18 & \通用电气x ^ {2/3} + 2 x ^ {1/3} + x ^ {4/3} + y ^ {4/3} + 2 y ^ {1/3} + y ^{2/3}。结束\{对齐}\]

因此，表达式的最大值是\(\ boxb{18}.\)，只有当

\ [x ^ {1/3} + x ^ {2/3} = y ^ {2/3} + y ^{1/3} \]。

使表达式最大化的\(x\)和\(y\)值不容易用手工求解。计算机软件的使用产生多个可能的有序对\((x,y)\)，使表达式最大化。\ \(_ \广场)

主要文章:舒尔不等式

舒尔不等式关联三个非负实数。

对于非负实数\(x，\) \(y，\)和\(z，\)和正实数\(t\)，

\ [x ^ t (x - y) (x z) + y ^ t (x) (- z) + z ^ t (z x) (z-y)通用电气\ 0,\]

当且仅当\(x=y=z\)相等，或者\(x\)、\(y\)、\(z\)中的两个相等且第三个为0。

当\(t=1，\)出现以下特殊情况:

\[x^3+y^3+z^3+3xyz \ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).\]

主要文章:詹森不等式

詹森不等式是关于凸函数和凹函数值的一种推广。

设实值函数\(f\)在区间\(I\)上为凸。让\ (x_1,……，x_n\in I\) and \(\omega_1,...,\omega_n\ge 0\). Then we have

\ [\ dfrac {\ omega_1 f \离开(x_1 \右)+ \ omega_2 f \离开(x_2 \右)+ \ cdots + \ omega_n f \离开(x_n \右)}{\ omega_1 + \ omega_2 + \ cdots + \ omega_n} \ f通用电气\离开(\ dfrac {\ omega_1x_1 + \ omega_2x_2 + \ cdots + \ omega_nx_n} {\ omega_1 + \ omega_2 + \ cdots + \ omega_n} \右)。\]

如果\(f\)是凹的，则不等式的方向反转。

特别地，如果我们取权重\(\omega_1=\omega_2=\cdots=\omega_n=1\)，我们得到不等式

\ [\ dfrac{\左(x_1 \右)+ f \离开(x_2 \右)+ \ cdots + f \离开(x_n \右)}{n} \ f通用电气\离开(\ dfrac {x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n} \右)。\]

函数\(f(x)\)具有以下属性:

• 它是区间上的连续凸函数\([2,11];\)
• \ (f (2) = 6; \)
• \ (f (5) = 3; \)
• \ \ (f (11) = 15)

使用Jensen不等式为\(f(6)的可能值提供一个上界。

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使用所有权值都等于\(1，\)的Jensen不等式的特殊情况

\[开始\{对齐}\压裂{f (2) + (5) + f (11)} {3} & \ f通用电气\离开(\压裂{2 + 5 + 11}{3}\)\ \ \ \ 8 & \通用电气f(6)。结束\{对齐}\]

因此，\(f(6)\)可能值的上界是\(8)。\ \ _ \广场)

点状图显示，可以找到一个较小的上限:

主要文章:年轻的不平等

年轻的不平等是特例吗加权AM-GM不等式．

设\(p,q)为正实数满足\(\frac1{p} + \frac1{q} = 1.\)则如果\(a,b)为非负实数，

\[ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}，\]

等式成立当且仅当\(a^p=b^q.\)

给定\(x\)和\(y\)为正实数，使得\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1，\) \(\frac{2^x}{x}+\frac{3^y}{y}?\)

---

这些表达式可以直接与Young不等式相关:

\[(2)(3) \le \frac{2^x}{x}+\frac{3^y}{y}.\]

因此，表达式的最小值是\(\boxed{6}.\)而且，只有当

\ [x = 2 ^ 3 ^ y。\]

解此方程组得到\(x=\log_2{6}\)和\(y=\log_3{6}.\) \(_\square\)

主要文章:持有人不平等

持有人不平等作为Cauchy-Schwarz不等式的推广。

对序列\ \ \}{a_i, \ {b_i \} \ ldots, \ {z_i \} \),不平等

\ [(a_1 + a₂+ \ cdots + an) ^ {\ lambda_a} \ cdots (z_1 + z_2 + \ cdots + z_n) ^ {\ lambda_z} \组a_1 ^ {\ lambda_a} b_1 ^ {\ lambda_b} \ cdots z_1 ^ {\ lambda_z} + \ cdots + an ^ {\ lambda_a} b_n ^ {\ lambda_b} \ cdots z_n ^ {\ lambda_z} \]

适用于所有\(\lambda_a+\lambda_b+\cdots+\lambda_z=1\)。例如，在\(\lambda_a=\lambda_b=\frac{1}{2}\)的情况下，Hölder的不等式可以简化为

\ [(a_1 + a₂+ \ cdots + an) ^{\压裂{1}{2}}(b_1 + b_2 + \ cdots + b_n) ^{\压裂{1}{2}}\组(a_1b_1) ^{\压裂{1}{2}}+ (a_2b_2) ^{\压裂{1}{2}}+ \ cdots + (a_nb_n) ^{\压裂{1}{2}},\]

也就是Cauchy-Schwarz不等式。

与其他一些经典不等式不同，Hölder的不等式不保证最大值或最小值，只是一个上界或下界。

给定实数\(a\)和\(b\)使\(a^6+b^6=64，\)使用Hölder的不等式建立表达式\(3a^2b+4ab^2.\)的上界

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通过Hölder的不等式将表达式联系起来:

\[开始\{对齐}\大(3 ^ 2 + 4 ^ 2 \大)^ \压裂{1}{2}\大(^ 6 + b ^ 6 \大)^ \压裂{1}{3}\大(b ^ 6 + ^ 6 \大)^ \压裂{1}{6}& \通用电气3 ^ 2 b + 4 ab 25 ^ ^ 2 \ \ \压裂{1}{2}\ cdot 64 ^ \压裂{1}{3}\ cdot 64 ^ \压裂{1}{6}& \通用电气3 ^ 2 b + 4 ab ^ 2 \ \ 40 & \通用电气3 ^ 2 b + 4 ab ^ 2。结束\{对齐}\]

因此，表达式的上限是\(\boxed{40}.\)。通过计算机软件，当\(a \约1.76652\)和\(b \约1.79645.\)\(_\square\)时，表达式的实际最大值是\(\约39.6217，\)

闵可夫斯基不等式以下是Hölder的不等式:

左(\ \[\总和_ {n = 1} ^ {k} ({x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ \右页)^{\压裂{1}{p}} \ le \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}} + \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{y} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}} \]

对于\(p>1\)和\({x}_{n}，{y}_{n}\ge0.\)

主要文章:重排的不平等

的重排的不平等描述非递增实数序列各元素乘积的和。

给出两个序列\(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\)和\(b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n\)，

\ [a_1b_1 + a_2b_2 + \ cdots + a_nb_n \组a_1b_{\π(1)}+ a_2b_{\π(2)}+ \ cdots + a_nb_{\π(n)} \组a_1b_n + a_2b_ {n} + \ cdots + a_nb_1, \]

\(\π(1)\π(2),\ ldots \π(n) \)的排列\ (1 2 \ ldots n \)。

主要文章:逆向重排不等式

的逆向重排不等式描述非递增实数序列元素和的乘积。人们可以看到它与重排不等式的相似之处;加法和乘法的运算仅仅是交换，不等号也颠倒了。

给定两个非负实数序列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，它们的顺序相似，

\ [\ prod_ {k = 1} ^ n (a_k + b_k) \ le \ prod_ {k = 1} ^ n \大(a_k + b_{\σ(k)} \大)\ le \ prod_ {k = 1} ^ n (a_k + b_ {n - k + 1}), \]

其中\(\sigma(1)，\sigma(2)，\ldots， \sigma(n)\)分别是\(1,2，\ldots, n，\)的排列。\ \(_ \广场)

主要文章:切比雪夫不等式

切比雪夫不等式是重排不等式的扩展。它是对非递增实数序列之间关系的推广。

给定非递增实数序列\(\{a_i\}\)和\(\{b_i\}，\)

\[{\压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}{b} _{我}}}{n} \通用电气\压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}}}{n} \ * \压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n} {{b} _{我}}}{n} \通用电气\压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}{b} _ {n +我}}}{n}}。\]

主要文章:Muirhead不等式

假设\ \ {ai \} \和\ \ {b_i \} \是实数序列,这样\ \ {ai \} \)majorizes\(\{b_i\}.\)也就是，

• \ \ {ai \} \和\ \ {b_i \} \是无添加,每个\ (n \)非负的条件;
• \ (\ \ limits_总和{j = 1} ^ {k} a_j \通用电气\总和\ limits_ {j = 1} ^ {k} b_j, \)等所有整数\ (k \), le k < n; \ [1 \ \)
• \ \(和\ limits_ {j = 1} ^ {n} a_j = \ \ limits_总和{j = 1} ^ {n} b_j \)。

那么对于所有非负的\(x_i，\)

\ [\ sum_ {sym}}{\文本x_1 ^ {a_1} \ cdots x_n ^ {an} \通用电气\ sum_ {sym}}{\文本x_1 ^ {b_1} \ cdots x_n ^ {b_n}。\]

假设\(x，\) \(y，\)和\(z\)是非负实数。用Muirhead不等式表示\(x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+xy^3z+xyz^3.\)

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注意不等式的两边都是等次的对称多项式。与不等式左侧相关的非递增序列为\(\{5,0,0\}.\)与不等式右侧相关的非递增序列为\(\{3,1,1\}.\)可以表明，左侧序列主要化右侧序列:

\[开始\{对齐}5 & > 3 \ \ 5 + 0 & > 3 + 1 \ \ 5 + 0 + 0 & = 3 + 1 + 1。结束\{对齐}\]

由于Muirhead不等式的条件满足，下面的不等式对于所有非负的\(x，\) \(y，\)和\(z:\)都成立

\[x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+xy^3z+xyz^3。广场\ _ \ \]

• 牛顿的不平等

• 麦克劳林的不平等

• Popoviciu不等式

• 伯努利不等式