持有人不平等gydF4y2Ba

持有人不平等gydF4y2Ba一个关于序列的陈述概括了gydF4y2Bacauchy - schwarz不平等gydF4y2Ba到多个序列和不同的指数。gydF4y2Ba

Hölder的不等式表示，对于序列gydF4y2Ba ${a_i}， {b_i}， \ldots， {z_i}，gydF4y2Ba$的不平等gydF4y2Ba

$(a_1 + a₂+ \ cdots + an) ^ {\ lambda_a} \ cdots (z_1 + z_2 + \ cdots + z_n) ^ {\ lambda_z} \组a_1 ^ {\ lambda_a} b_1 ^ {\ lambda_b} \ cdots z_1 ^ {\ lambda_z} + \ cdots + an ^ {\ lambda_a} b_n ^ {\ lambda_b} \ cdots z_n ^ {\ lambda_z}gydF4y2Ba$

持有所有人gydF4y2Ba $\lambda_a + \lambda_b + \cdots + \lambda_z = 1gydF4y2Ba$例如，就……而言gydF4y2Ba $\lambda_a = \lambda_b = frac{1}{2}，gydF4y2Ba$Hölder的不平等减少为gydF4y2Ba

$(a_1 + a₂+ \ cdots + an) ^{\压裂{1}{2}}(b_1 + b_2 + \ cdots + b_n) ^{\压裂{1}{2}}\组(a_1 b_1) ^{\压裂{1}{2}}+ (a₂b_2) ^{\压裂{1}{2}}+ \ cdots + (an b_n) ^{\压裂{1}{2}},gydF4y2Ba$

这是gydF4y2Bacauchy - schwarz不平等gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

Hölder的不平等可以通过使用来证明gydF4y2Ba詹森不等式gydF4y2Ba。特别地，我们可以试图证明Hölder不等式的以下形式:gydF4y2Ba

$z \ prod _ {j = 1} ^ \离开(int \ f _j (x) ^ {p_j} \, dx \右)^ {1 / p _j} \通用电气\ int \刺激_ {j = 1} ^ z f _j (x) \, dx,gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\压裂{1}{p _j} = \λ_j \ \ sum_ {j = 1} ^ z \λ_j = 1,大\ \ \ {f _1 (x_i) ^ {p _1} dx大\ \}=大\ \ {a_1,, \点,an,大\ \},大\ \ \ {f _2 (x_i) ^ {p _2} dx大\ \}=大\ \ {b_1、b_2 \点,b_n大\ \},\点,gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $大\ \ {f _z (x_i) ^ {p _z} dx大\ \}= \ {z_1、z_2 \点,z_n \}。gydF4y2Ba$

首先，请参考维基百科文章中的证据gydF4y2Ba持有人不平等gydF4y2Ba更简单的例子gydF4y2Ba $左(\ \ int f p d \μ^ \右)^ {1 / p} \离开(\ intμg ^ q d \ \右)^ {1 / q} \通用电气\ int fg \ d \μgydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $\frac {1} {p} +\frac {1} {q} = 1gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

回忆起gydF4y2Ba詹森不等式gydF4y2Ba对于凸函数gydF4y2Ba $x ^ pgydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$它是凸的，因为很明显gydF4y2Ba $p \ geq1):gydF4y2Ba$ $\ int h \ d \ν\ leq \离开(\ int h ^ pd \ν\右)^{\压裂{1}{p}}gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $\νgydF4y2Ba$有没有概率分布和gydF4y2Ba $hgydF4y2Ba$是任何gydF4y2Ba $\νgydF4y2Ba$可测函数。让gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$不管用什么方法gydF4y2Ba $\νgydF4y2Ba$密度W.R.T.分布gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$成正比gydF4y2Ba $g ^问gydF4y2Ba$,即gydF4y2Ba $D \nu = frac{g^q}{int g^q\， D \mu} D \mugydF4y2Ba$。然后是，使用gydF4y2Ba $\ \压裂{1}{p} +压裂{1}{q} = 1gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $p (1 q) + q = 0gydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba $h = fg ^ {1 q}gydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba $\ int fg \ d \μ= \离开(\ int g ^ q \ d \μ\)\ int \ underbrace {fg ^ {1 q}} _h \ underbrace{\压裂{g ^ q} {\ int g ^ q \ d \μ}d \μ}_ {d \ν}\ leq \离开(\ int g ^ qd \μ\)\离开(int \ \ underbrace {f ^ pg ^ {p (1 q)}} _ {p h ^} \ underbrace{\压裂{g ^ q} {\ int g ^ q \ d \μ}\,d \μ}_ {d \ν}\右)^{\压裂{1}{p}} = \离开(\ int g ^ q \ d \μ\)\离开int(\ \压裂{f p ^} {\ intg ^问\ \μ}\ d \μ\右)^{\压裂{1}{p}}。gydF4y2Ba$最后,我们得到gydF4y2Ba $\ int fg \ d \μ\ leq \离开(\ int f p ^ \ d \μ\右)^{\压裂{1}{p}} \离开(\ int g ^ q \ d \μ\右)^{\压裂{1}{q}}gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

$$
接下来，我们证明它gydF4y2Ba $左(\ \ int f p d \μ^ \右)^ {1 / p} \离开(\ intμg ^ q d \ \右)^ {1 / q} \通用电气\离开(\ int (fg) ^ r d \μ\右)^ {1 / r}gydF4y2Ba$对于任何gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $问\ gt 0gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $\frac {1} {p} +\frac {1} {q} = \frac {1} {r}gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

因为gydF4y2Ba $\ frac {r} {p} + \ frac {r} {q} = \ frac {r} {r} = 1gydF4y2Ba$,因此gydF4y2Ba $^{F ^{p /r} d\mu \right) ^{r /p} left(G ^{q /r} d\mu \right) ^{r /q} ge \int FG\， d\mugydF4y2Ba$，将上面的证明用于更简单的情况。gydF4y2Ba
现在,让gydF4y2Ba $f = f ^{1/r}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $g = g ^{1/r}gydF4y2Ba$。通过代数运算，我们可以看出gydF4y2Ba $^{1/r} ^{1/r} ^{1/r} ^{1/r} ^{1/r} ^{1/r}gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

根据上面的情况，我们可以证明gydF4y2Ba

$左(\ \ int f _1 ^ {p _1} d \μ\右)^ {1 / p _1} \离开(\ int f _2 ^ {p _2} d \μ\右)^ {1 / p _2} \离开(\ int f _3 ^ {p _3} d \μ\右)^ {1 / p _3} \通用电气\离开(\ int (f _1 f _2) ^{\压裂{1}{(1 / p _1) + (1 / p _2)}} d \μ\右)^ {(1 / p _1) + (1 / p_2)} \离开(\ int f _3 ^ {p _3} d \μ\右)^ {1 / p _3} \通用电气\离开(\ int (f _1 _2 f _3) ^{\压裂{1}{(1 / p_1) + (1 / p _2) + (1 / p _3)}} d \μ\右)^ {(1 / p _1) + (1 / p_2) + (1 / p _3)}。gydF4y2Ba$

事实上,定义gydF4y2Ba $S (m) = \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{p _j}。gydF4y2Ba$鉴于gydF4y2Ba

$\ prod _ {j = 1} ^ {m - 1} \离开(\ int f _j ^ {p _j} d \μ\右)^ {1 / p _j} \通用电气\离开(int \ \左(\ prod_ {j = 1} ^ {m - 1} f _j \右)^{\压裂{1}{年代(m - 1)}} d \μ\右)^{年代(m - 1)},gydF4y2Ba$

我们有gydF4y2Ba

$\ prod _ {j = 1} ^ {m - 1} \离开(\ int f _j ^ {p _j} d \μ\右)^ {1 / p _j} \离开(\ int f _m ^ {p _m} d \μ\右)^ {1 / p _m} \通用电气\离开(int \ \左(\ prod_ {j = 1} ^ {m - 1} f _j \右)^{\压裂{1}{年代(m - 1)}} d \μ\右)^{年代(m - 1)} \离开(\ int f _m ^ {p _m} d \μ\右)^ {1 / p _m} \通用电气\左(int \ \左(\ prod_ {j = 1} ^ {m} f _j \右)^{\压裂{1}{年代(m)}} d \μ\右)^{年代(m)}。gydF4y2Ba$

因此,用归纳法,gydF4y2Ba

$\ prod _ {j = 1} ^ {z} \离开(\ int f _j ^ {p _j} d \μ\右)^ {1 / p _j} \通用电气\离开(int \ \左(\ prod_ {j = 1} ^ {z} f _j \右)^{\压裂{1}{年代(z)}} d \μ\右)^{年代(z)}。gydF4y2Ba$

如果gydF4y2Ba $(z) = 1gydF4y2Ba$，我们得到了我们试图证明的原始主张。gydF4y2Ba

Hölder的不平等也可以通过使用来证明gydF4y2Ba年轻的不平等gydF4y2Ba。杨氏不平等理论认为gydF4y2Ba $p, qgydF4y2Ba$正实在令人满意吗gydF4y2Ba $\ \压裂{1}{p} +压裂{1}{q} = 1gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba

$ab \ leq \压裂{^ p} {p} + \压裂{b ^ q} {q}gydF4y2Ba$

对于所有非负实数gydF4y2Ba $a、bgydF4y2Ba$。gydF4y2Ba

它是从gydF4y2Ba凹度gydF4y2Ba的gydF4y2Ba对数gydF4y2Ba函数与Jensen不等式;特别是,gydF4y2Ba

$左(\ \ log \压裂{1}{p} ^ {p} + \压裂{1}{q} b ^问\)\组\压裂{1}{p} \ log ^ p + \压裂{1}{q} \ log日志a + b ^ q = \ \ log b = \ log abgydF4y2Ba$

求幂得到杨氏不等式。gydF4y2Ba

Hölder的不等式通常用于处理不等式表达式的平方根(或更高次幂)，因为这些可以通过连续乘法消除。下面是一个例子:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$积极，真实，令人满意gydF4y2Ba $a + b + c = 3gydF4y2Ba$。的最小可能值是多少gydF4y2Ba

$\压裂{1}{\ sqrt{一}}+ \压裂{1}{\ sqrt {b}} + \压裂{1}{\ sqrt {c}} ?gydF4y2Ba$

---

持有人的不平等,gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始离开(\压裂{1}{\ sqrt{一}}+ \压裂{1}{\ sqrt {b}} + \压裂{1}{\ sqrt {c}} \右)^{1/3}\离开(\压裂{1}{\ sqrt{一}}+ \压裂{1}{\ sqrt {b}} + \压裂{1}{\ sqrt {c}} \右)^ {1/3}(a + b + c) ^{1/3} & \组1 ^ {1/3}+ 1 ^ {1/3}+ 1 ^ {1/3}\ \ & = 3 \ \ \ Rightarrow左(\ \压裂{1}{\ sqrt{一}}+ \压裂{1}{\ sqrt {b}} + \压裂{1}{\ sqrt {c}} \) \离开(\压裂{1}{\ sqrt{一}}+ \压裂{1}{\ sqrt {b}} + \压裂{1}{\ sqrt {c}} \右)(a + b + c) & \组3 ^ 3。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

自gydF4y2Ba $a + b + c = 3gydF4y2Ba$的最小可能值gydF4y2Ba $\压裂{1}{\ sqrt{一}}+ \压裂{1}{\ sqrt {b}} + \压裂{1}{\ sqrt {c}}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

(国际海事组织，2001，问题2)gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$是正数。证明gydF4y2Ba

$\压裂{一}{\√6{一个^{2}+公元前8}}+ \压裂{b}{\√6 b {^ {2} + 8 ca}} + \压裂{c}{\√6 c ^ {{2} + 8 ab}} \通用电气1。gydF4y2Ba$

---

持有人的不平等,gydF4y2Ba

$左(\ \ \压裂{一}和{\√6{一个^{2}+公元前8}}\)\离开(\ \压裂{一}和{\√6{一个^{2}+公元前8}}\)\离开(\总和(^ {2}+ 8 bc) \) \通用电气(a + b + c) ^{3}。gydF4y2Ba$

因此，证明这一点就足够了gydF4y2Ba

$(a + b + c) ^{3} \通用^ {3}+ b ^ {3} + c ^ {3} + 24 abc,gydF4y2Ba$

这是紧接着著名的不等式(顺便说一句，用Hölder很容易证明)gydF4y2Ba

$(a + b) (b + c) (c + a) \通用电气8 abc。\ _ \广场gydF4y2Ba$

也可以使用循环策略，如Hölder的不平等意味着AM-GM:gydF4y2Ba

持有人的不平等,gydF4y2Ba

$(a_1 + a₂+ \ ldots + an) ^{\压裂{1}{n}} (a₂+ a_3 + \ cdots + a_1) ^{\压裂{1}{n}} \ cdots (an + a_1 + \ cdots +现代{n}) ^{\压裂{1}{n}} \ n组\ sqrt [n] {a_1a_2 \ cdots an},gydF4y2Ba$

立即重新安排到AM-GM。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

另一个有用的策略是插入常数(特别是1)作为序列的成员，特别是为了“减少”幂。例如,gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a、bgydF4y2Ba$是正数。表明,gydF4y2Ba

$4大\ (^ 3 + b ^ 3 \大)\组(a + b) ^ 3。gydF4y2Ba$

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持有人的不平等,gydF4y2Ba

$大\ (^ 3 + b ^ 3 \大)^{\压裂{1}{3}}(1 + 1)^{\压裂{1}{3}}(1 + 1)^{\压裂{1}{3}}\组\大(3 ^ \大)^{\压裂{1}{3}}1 ^{\压裂{1}{3}}1 ^{\压裂{1}{3}}+ \大(b ^ 3 \大)^{\压裂{1}{3}}1 ^{\压裂{1}{3}}1 ^{\压裂{1}{3}},gydF4y2Ba$

重新排列成期望的不等式。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

闵可夫斯基不等式很容易从霍尔德不等式推导出来。gydF4y2Ba

闵可夫斯基不等式gydF4y2Ba州gydF4y2Ba

$左(\ \和_ {n = 1} ^ {k} ({x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ \右页)^{\压裂{1}{p}} \ le \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}} + \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{y} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}}gydF4y2Ba$

为gydF4y2Ba $p > 1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba ${x} _ {n}, {y} _ {n} \ ge0。gydF4y2Ba$

我们知道gydF4y2Ba

$\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ {p} = \ displaystyle \总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} ({x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ {p - 1}}} + \ displaystyle \总和_ {n = 1} ^ {k} {{y} _ {n} ({x} _ {n} + {y} _ {n}}) ^ {p - 1}。gydF4y2Ba$

让我们来定义gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $A = {p}{p-1}，gydF4y2Ba$然后根据霍尔德不等式gydF4y2Ba

$\ sum_ {n \ mathop = 1} ^ k x_n \离开({x_n +最大}\右)^ {p - 1} + \ sum_ {n \ mathop = 1} ^ k最大\离开({x_n +最大}\右)^ {p - 1} \ le \离开\[左(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}} + \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{y} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}} \右]左\[\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ {p}}^{\frac {1}{a}}。gydF4y2Ba$

除以gydF4y2Ba $左\[\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ {p}} \右]^{\压裂{1}{一}},gydF4y2Ba$我们得到了gydF4y2Ba

$左(\ \和_ {n = 1} ^ {k} ({x} _ {n} + {y} _ {n}) ^ \右页)^{\压裂{1}{p}} \ le \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{x} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}} + \离开(\总和_ {n = 1} ^ {k} {{y} _ {n} ^ {p}} \右)^{\压裂{1}{p}}。gydF4y2Ba$因此证明。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

• 不等式-凸性参数gydF4y2Ba

• 经典不等式问题解决-基本gydF4y2Ba

• 经典不等式问题解决-中间gydF4y2Ba

• 经典不等式问题解决-高级gydF4y2Ba