三角不等式

的三角不等式三角形任意两条边的长度之和大于剩下的一条边的长度之和。

这是因为直线是两点之间最短的路径。如果三角形是非负的，不等式是严格的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/degenerate/" class="wiki_link" title="简并" target="_blank">简并(意味着它有一个非零区域)。

如果一个非简并三角形的两条边长都等于 $6$，第三条边可能的长度是多少?

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让第三条边有长度 $X$，然后由三角不等式得到 $6 + 6 > X$而且 $6 + X > 6$,这意味着 $0 < X < 12。$任何实数 $X$这样 $0 < X < 12$是第三条边的可能长度。 $_ \广场$

如果一个非简并三角形的两条边长分别为9和15，第三条边可能的长度是多少?

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让第三条边有长度 $X > 0$．三方必须满足

$\{数组}{c}开始x < 15 9 + 15日< x + 9,和9 < x + 15。\{数组}结束$

第三个不等式是完全正确的，前两个不等式是正确的 $6 < x < 24$． $_ \广场$

如果三角形的三条整数边由 $x + 2$， $2 x + 7$， $4 x + 1$的最大可能价值是什么 $x$?

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通过三角形不等式

$\{对齐}开始(x + 2) + (2 x + 7) > (4 x + 1) & \ Rightarrow x < 8 \ \ (x + 2) + (4 x + 1) > (2 x + 7) & \ Rightarrow x > \压裂{4}{3}\ \ (2 x + 7) + (4 x + 1) > (x + 2) & \ Rightarrow x > - \压裂{6},{5}\{对齐}结束$

这意味着 $\ displaystyle{\压裂{4}{3}< x < 8}。$的最大整数值 $x$是 $7$． $_ \广场$

鉴于 $5$不同长度的木棍 $1、3、5、9$而且 $10$三根棍子可以组成多少个不同的三角形?

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如果三角形的一条边长是 $1$，那么就没有可能组合成三角形。事实上，如果三角形的三条边都是不同的整数长度，那么就不可能有一条边是单位长度。

如果一条边的长度是 $3.$，唯一可能的组合是 $(3、9、10)$．
如果一条边的长度是 $5$，唯一可能的组合是 $(5、9、10)$．
如果一条边的长度是 $9$，可能的组合为 $(9、3、10)$而且 $(9、5、10)$．
如果一条边的长度是 $10$，可能的组合为 $(3) 10、9日$而且 $(5) 10、9日$．

因为改变边的顺序不会改变三角形本身，我们可以形成 $2$不同的三角形。 $_ \广场$

三角形不等式有如下公式<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vector-introduction/" class="wiki_link" title="向量" target="_blank">向量在 ${} \ mathbb R ^ n$：

让 $\ mathbf x$而且 $\ mathbf y$是向量 ${} \ mathbb R ^ n。$让 $\ | \ cdot \ |$表示向量的模。然后 $\ | {x} \ mathbf + {\ mathbf y} \ | \ \ | {\ mathbf x }\| + \|{\ mathbf y} \ |。$

两边平方然后相减: ${对齐}\ \开始离开(\ | {\ mathbf x }\| + \|{\ mathbf y} \ | \右)^ 2 - \ | {x} \ mathbf + {\ mathbf y} \ | ^ 2 & = \ | {x} \ mathbf \ | ^ 2 + \ | {\ mathbf y} \ | ^ 2 + 2 \ | {x} \ mathbf \ | \ | {\ mathbf y} \ | - - - - - - ({x} \ mathbf + {\ mathbf y}) \ cdot ({\ mathbf x} + {\ mathbf y }) \\ &= \|{\ mathbf x} \ | ^ 2 + \ | {\ mathbf y} \ | ^ 2 + 2 \ | {x} \ mathbf \ | \ | {\ mathbf y} \ | - - - - - - ({x} \ mathbf \ cdot {x} \ mathbf)——({\ mathbf y} \ cdot {\ mathbf y}) - 2 ({x} \ mathbf \ cdot {\ mathbf y}) \ \ & = 2 \ | {x} \ mathbf \ | \ | {\ mathbf y} \ | - 2 ({x} \ mathbf \ cdot {\ mathbf y})通用电气\ \ & \ 0结束\{对齐}$由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-schwarz-inequality/" class="wiki_link" title="cauchy - schwarz不平等" target="_blank">cauchy - schwarz不平等． $_ \广场$

注意，柯西-施瓦茨定理中等式成立当且仅当向量是平行的，这是三角形简并的条件。

上面的证明本质上与使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cosine-rule/" class="wiki_link" title="余弦定律" target="_blank">余弦定律:如果 $a, b, c$是三角形的边， $C²= a²+b²-2ab\cos(\theta)，$右边是最大的 $\ cosθ(\)$是最小的，也就是什么时候 $1,$所以 $C²\le a²+b²-2ab(-1) = (a+b)²。$因此, $C \le a+b$当且仅当边长的夹角相等 $一个$而且 $b$是 $180 ^{\保监会}。$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间

三角形不等式是广义距离函数的一个基本性质指标，用于构造<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间．度规是一个函数 $d (x, y)$从一个集合中取两个参数 $X$并产生一个非负实数，具有以下性质:

• $D (x,y) = 0$当且仅当 $x = y。$
• $d (x, y) = d (y、x)。$
• $D (x,y)+ D (y,z) \ge D (x,z)。$

这第三个性质是三角不等式，它在证明许多<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑" target="_blank">拓扑度量空间的性质。