年轻的不平等
年轻的不平等是特例吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean-geometric-mean/" class="wiki_link" title="加权AM-GM不等式" target="_blank">加权AM-GM不等式一个>.它在实际分析中非常有用,包括作为一种证明工具<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holders-inequality/" class="wiki_link" title="持有人不平等" target="_blank">持有人不平等一个>.它也是一个特殊的情况,一个更一般的不等式被称为杨氏不等式的增加函数。
不等式陈述
让 正实数令人满意 如果 都是非负实数, 当且仅当
证明1(使用加权AM-GM不等式):让 加权AM-GM不等式说明了这一点 但 左边是 右边是 当且仅当 也直接从加权AM-GM不等式的表述中得出。证明2(用对数):它足以证明定理 这个函数 是向下凹的,所以都是正的 而且 等式成立当且仅当
现在设置 所以 两边取幂。
这个案子 只是AM-GM的不平等吗 :
应用程序
让 为正整数。求的最小值 对于正实数
这可以由AM-GM来完成 在 而且 的副本 但杨氏不等式也适用:除以 得到 请注意 满足 这意味着乘以 : 现在我们 然后 所以 事实上,平等在什么时候成立 或
在引言中提到,杨氏不等式在证明中是必不可少的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holders-inequality/" class="wiki_link" title="持有人不平等" target="_blank">持有人不平等一个>;详见维基百科。
杨氏函数递增不等式
产品的杨氏不等式是递增函数的杨氏不等式的一个特例:
让 是为非负实数定义的连续递增函数 与 假设 正实数是这样吗 在的范围内 而且 是在形象上的 然后 当且仅当相等
证明非常简洁: 的图片 是相似的。相等只在没有多余面积的情况下成立,也就是
这是照片让 然后 而且 所以 而且 是 我们得到了杨氏不等式:
参考文献
- 杜克,N。年轻的不平等.检索2011年7月28日,从<一个href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Young_inequality.svg">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Young_inequality.svg一个>