切比雪夫不等式gydF4y2Ba

切比雪夫不等式gydF4y2Ba是关于gydF4y2Banonincreasing序列gydF4y2Ba；即序列gydF4y2Ba $A_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_ngydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $B_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_ngydF4y2Ba$．它可以被看作是gydF4y2Ba重排的不平等gydF4y2Ba，使它有助于分析gydF4y2Ba点积gydF4y2Ba这两个序列中的一个。gydF4y2Ba

切比雪夫不等式说明gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始dfrac {a_1b_1 + a_2b_2 + \ cdots + a_nb_n} {n} & \通用电气& \ dfrac {a₁+ a₂+ \ cdots + an} {n} \ * \ dfrac {b_1 + b_2 + \ cdots + b_n} {n} \ \ & \通用电气& \ dfrac {a_1b_n + a_2b_ {n} + \ cdots + a_nb_1} {n},{对齐}\结束gydF4y2Ba$

或者说,gydF4y2Ba

${\压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}{b} _{我}}}{n} \通用电气\压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}}}{n} \ * \压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n} {{b} _{我}}}{n} \通用电气\压裂{\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}{b} _ {n +我}}}{n}}。gydF4y2Ba$

直觉上，成对乘积的和被a最大化gydF4y2Ba贪婪算法gydF4y2Ba由gydF4y2Ba重排的不平等gydF4y2Ba，这就保证了gydF4y2Ba $a_1b_1 + a_2b_2 + \ cdots + a_nb_ngydF4y2Ba$为成对乘积相加的最大可能结果。切比雪夫不等式给出了一个有用的下界gydF4y2Ba $a_1b_1 + \ cdots + a_nb_ngydF4y2Ba$可以。gydF4y2Ba

契比雪夫不等式的证明非常类似于gydF4y2Ba重排的不平等gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

自gydF4y2Ba $A_1 \ge a_2\ge cdots\ge a_ngydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $B_1 \ge b_2\ge \cdots \ge b_n，gydF4y2Ba$以下是适用于任何gydF4y2Ba $我gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $jgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$\离开({}_{我}-{一}_ {j} \) \离开({b} _{我}- {b} _ {j} \) \通用电气0 \ Rightarrow{一}_{我}{b} _{我}+{一}_ {j} {b} _ {j} \通用电气{一}_{我}{b} _ {j} +{一}_ {j} {b} _{}。gydF4y2Ba$

添加所有gydF4y2Ba $n ^ 2gydF4y2Ba$的不平等,我们有gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始和_{我}^{}{\总和_ {j }^{ }{ ({ 一个}_{我}{b} _{我}+{一}_ {j} {b} _ {j }) } } &\ 通用电气\总和_{我}^{}{\总和_ {j }^{ }{ { ( 我一个}_ {}{b} _ {j} +{一}_ {j} {b} _{我 }) } } \\ 2 n \ _{我总和 }^{ }{ { 我一个}_ {}{b} _{我}}& \通用电气\ _{我总和 }^{ }{ { } _{我}}\ _{和j }^{ }{ { b} _ {j}} + \ _{和j }^{ }{ { } _ {j}} \ _{我和} ^ {} {{b} _{我}}\ \ 2 n \总和_{我}^{}{现代{我}{b} _{我}}& \通用电气2左(\ \ _{我和 }^{ }{ { } _{我}}\右)左(\ \ _{和j }^{ }{ { b} _ {j}} \) \ \ n \总和_ {i = 1} ^ {n}{现代{我}{b} _{我}}& \通用电气\离开(\总和_ {i = 1} ^ {n}{{一}_{我}}\)\离开(\总和_ {j = 1} ^ {n} {{b} _ {j}} \右)。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

这就完成了证明。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

重排不等式还可以用来证明切比雪夫不等式:gydF4y2Ba

通过重新排列，我们有gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i & \组a_1b_1 + a_2b_2 + \ cdots + a_nb_n \ \ \ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i & \组a_1b_2 + a_2b_3 + \ cdots + a_nb_1 \ \ \ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i & \组a_1b_3 + a_2b_4 + \ cdots + a_nb_2 \ \ & \ vdots \ \ \ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i & \组a_1b_n + a_2b_1 + \ cdots + a_nb_ {n},结束\{对齐}gydF4y2Ba$

并添加这些gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$不平等给出了结果。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

由于切比雪夫不等式需要了解变量的顺序，所以在很多情况下不能直接使用它。例如，看看下面的问题:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a, b, c, x, y, zgydF4y2Ba$积极面对现实gydF4y2Ba $a + b + c = 7gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $x + y + z = 15gydF4y2Ba$．的最小可能值是多少gydF4y2Ba $ax + by + cz吗?gydF4y2Ba$

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虚假的解决方案:gydF4y2Ba根据切比雪夫不等式gydF4y2Ba

$\压裂{ax + by + cz}{3} \组\压裂{a + b + c} {3} \ cdot \压裂{x + y + z}{3} = \压裂{35}{3},gydF4y2Ba$

所以可能的最小值gydF4y2Ba $ax + by + czgydF4y2Ba$是35。gydF4y2Ba

上面的解决方案可以gydF4y2Ba不gydF4y2Ba因为它隐含地假设gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $x, y, zgydF4y2Ba$都是相似的，但不一定是这样。事实上,在gydF4y2Ba $A =4 b=2 c=1 x=4 y=5 z=6gydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba $ax + by + cz = 32gydF4y2Ba$，比假定的最小值35要小得多。gydF4y2Ba

因此，切比雪夫公式只能在给定或确定变量的顺序时使用。这意味着它通常是通过假定一个特定的顺序而不丧失一般性来应用的gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$如。gydF4y2Ba $A \geq b \geq cgydF4y2Ba$检验一个不等式链。需要记住的两个常见例子包括:gydF4y2Ba

• $A \geq b \geq c \意味着A +b \geq A +c \geq b+cgydF4y2Ba$
• $A \geq b \geq c \意味着\frac{1}{A} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{c}。gydF4y2Ba$

这些可以组合起来:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$是正数。表明,gydF4y2Ba

$\压裂{ab} {a + b} + \压裂公元前{}{b + c} + \压裂{ca} {c +} \ leq \压裂{3(公元前ab + + ca)} {2 (a + b + c)}。gydF4y2Ba$

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不失一般性地假设gydF4y2Ba $答案:cgydF4y2Ba$．这意味着gydF4y2Ba $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{c}gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $\压裂{1}{}+ \压裂{1}{b} \ leq \压裂{1}{}+ \压裂{1}{c} \ leq \压裂{1}{b} + \压裂{1}{c}gydF4y2Ba$．拿回的再给gydF4y2Ba

$\压裂{1}{\压裂{1}{}+ \压裂{1}{b}} \组\压裂{1}{\压裂{1}{}+ \压裂{1}{c}} \组\压裂{1}{\压裂{1}{b} + \压裂{1}{c}} \意味着\压裂{ab} {a + b} \组\压裂{ac} {a + c} \组\压裂公元前{}{b + c}gydF4y2Ba$

这也是真的gydF4y2Ba

$A +b \geq A +c \geq b+c。gydF4y2Ba$

将切比雪夫不等式应用到这两个序列上，得到gydF4y2Ba

$(a + b) \左(\压裂{ab} {a + b} \右)+ (a + c) \离开(\压裂{ac} {a + c} \右)+ (b + c) \左(\压裂公元前{}{b + c} \) \组\压裂{1}{3}\大((a + b) + (b + c) + (c + a)大)\ \离开(\压裂{ab} {a + b} + \压裂{ac} {a + c} + \压裂公元前{}{b + c} \右),gydF4y2Ba$

重新排列到期望的结果。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

还有一个契比雪夫不等式的连续版本:如果gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$是两个非递增函数还是两个非递减函数gydF4y2Ba $[0, 1]gydF4y2Ba$，两者在这个区间上是可积的gydF4y2Ba

$\ int_0 ^ 1 f (x) g (x) \, dx \组\ int_0 ^ 1 f (x) \, dx \ int_0 ^ 1 g (x) \, dx。gydF4y2Ba$

• 重排的不平等gydF4y2Ba